METODA

4.3.Алгебраические свойства векторного произведения

Свойство 1 (антикоммутативность).

r

uur

r

a ×b = −(b×a).

Доказательство. Если векторы a

и

b

коллинеарны,

то

формула

справедлива. Предположим, что a не коллинеарен b и обозначим

r

r r

и

ur

r

r

c

= a ×b

m

= b×a.

Тогда из определения векторного произведения следует:

во-первых,

r

=

ur

(1-ое условие определения),

c

m

во-вторых,

r

r r

и

ur

r r

r

c

a,b

m a,b (2-ое условие определения ), т.е. векторы

c и m

ur

ur

коллинеарны. Таким образом, возможны два случая: либо c = m , либо

с = −m .

Но первое невозможно, т.к. в этом случае в силу определения векторного

произведения (3-е условие определения ) обе тройки

urur

и

r r r

- правые, что

a, b, c

b, a, c

неверно. Значит,

r

ur

с = −m .

Свойство 2.

Для скалярного множителя λ справедливо

(λar)

×br

= λ

(ar

×br),

ar×(λbr)= λ(ar×br).

Доказательство. Во-первых, если первое равенство справедливо, то

справедливо и второе. Действительно,

ar×(λbr)= −(λbr)×ar = −λ(br×ar)= λ(ar

×br).

Таким

образом,

в

доказательстве нуждается

только

первое

равенство.

Выберем любой прямоугольный декартов базис

r

r

(т.е. базис, векторы

i, j, k ,

которого имеют единичнуюrдлину и ортогональны друг другу).

Для любого вектора

c

очевидно

r

rr

r

r

r

α = cx ,

аналогично,

,

r

,

где

сx , cy , cz

- компоненты

ci

=

c

i

cosα

=

c

cos

c j = cy

ck = cz

вектора

r

в базисеur.

с

r

r

r

r

Обозначим

m =

(λa)×b,

n = λ(a ×b).

urr

r

r

r

rrr

rrr

Очевидно,

mx

= mi

= (λa)×b i = λabi = λ(abi).

Аналогичноn

rr

rr

r

r

r

rr

rr

, т.е. m

= n

.

x

= ni

= λ(ab)×b

×i

= λa bi

= λ(abi)

x

x

r r

r

r

на

получим

Совершенно аналогично, умножая скалярно векторы m, n

j

и k ,

my = ny , mz = nz .

ur

r

Следовательно,

m

= n .

Свойство 3 (свойство дистрибутивности).

(ar +br)×cr = (ar×cr)+(br×cr), ar×(br +cr)= (ar×br)+(ar×cr).

21

Доказательство. Аналогично доказательству свойства 2. Покажем, что 2-ое равенство является следствием 1-го.

Действительно, если 1-ое справедливо, то в силу свойства

антикоммутативности

ar×(br +cr)= −(br+cr)×ar = −(br×ar)−(cr×ar)= = (ar×br)+(ar×cr).

Таким образом, в доказательстве дается только 1-ое свойство.
Пусть	r r	r	-	прямоугольный декартов базис.
	i, j, k
Обозначим			ur	r	r		r	r	r r	r r
			m = (a +b)×c,					n	= a ×c +b×c.
Тогда	mz		urr	r	r	rr	rrr		rrr	в силу правил действия над смешанным
		= mi = (a +b)ci					= aci		+bci
произведением.		r		r r r		rrr		rrr
rr	r
nx = ni	= (a ×c)i +(b×c)i					= aci		+bci.

Следовательно, mx = nx .

Аналогично получим my = ny , mz = nz m = n .

Отметим, что алгебраические свойства векторного произведения определяют правила действия при векторном умножении.

4.4.Векторное произведение в декартовых координатах

r r

Пусть два вектора a и b определены своими декартовыми прямоугольными

координатами. ar = (x1, y1, z1 ),

br = (x2 , y2 , z2 ).

Умножим векторно a на b , используя алгебраические свойства векторного

произведения. Получим

ar×br = (x1si + y1 rj + z1 kr)×(x2ri + y2 rj + z2 kr)= x1x2 (ri ×ri)+ x1 y2 (ri ×rj )+ x1z2 (ri ×kr)+ +y1x2 (rj ×ri)+ y1 y2 (rj ×rj)+ y1z2 (rj ×kr)+ z1x2 (kr×ri)+ z1 y2 (kr×rj)+ z1z2 (kr×kr).

Составим таблицу векторного умножения базисных векторов

ri ×ri = 0r			rj ×ri = −kr
r	r	r	r	r	r
i	× j = k		j × j = 0
r	r	ur	r	r	r
i	×k	= − j,	j ×k		= i,

kr×ri = rj
r	r	r
k	× j = −i
r	r	r
k	×k	= 0.

С учетом таблицы умножения получается ar×br = (y1z2 − z1 y2 )ri +(z1x2 − z2 x1 )rj +(x1 y2 − x2 y1 )kr,

или r r	− z1 y2 , z1x2 − z2 x1, x1 y2 − x2 y1 ).
a ×b = (y1z2

22

Для запоминания этой формулы удобно использовать символический

определитель			r	r	r
r	r	=	i	j	k	.
a	×b		x1	y1	z1
			x2	y2	z2

Действительно, раскрывая его по первой строке, мы получим выражение эквивалентное найденному выше.

Пример. Пусть ar = (1,0, 2), br = (0, −1,1).

r	r	=		ri	rj	kr		=
a	×b			1	0	2
				0	−1	1

r		0	2		r		1	2		r		1
= i		−1	1		− j		0	1		+ k		0

0		r	r r	.
				= (2, −1, −1).
−1		= 2i	− j −k

4.5.Смешанное произведение в координатной форме

Пусть	векторы	r r r	заданы своими прямоугольными декартовыми
		a,b, c
координатами
ar = (x1, y1, z1 ), br = (x2 , y2 , z2 ), cr = (x3 , y3 , z3 ).

				r	r
Вычислим смешанное произведение abc
rrr	r	r			x1 y2 − x2 y1 )(x3 , y3 , z3 )=
abc = ar	×b	c = (y1z2	− y2 z1, z1x2	− z2 x1,

= x3 (y1z2 − y2 z1 )+ y3 (z1x2 − z2 x1 )+ z3 (x1 y2 − x2 y1 ).

Или используя определители 2-го порядка можно записать

rrr

y1

z1

− y

x1

z1

+ z

x1

y1

.

abc = x

3

y

2

z

2

3

x

z

2

3

x

y

2

2

2

Но данное выражение является разложением по последней строке определителя

x1

y1

z1

y1

z1

x1

z1

x1

y1

.

x2

y2

z2

= x3

− y3

+ y3

y

2

z

2

x

z

2

x

y

2

x3

y3

z3

2

2

rrr

x1

y1

z1

.

Таким образом,

abc =

x2

y2

z2

x3

y3

z3

4.6.Двойное векторное произведение

23

Выражения (ar×br)×cr и a ×(br×cr) называют двойным векторным

произведением. Вычислять двойное векторное произведение можно последовательно выполняя операции векторного умножения с соблюдением их порядка. Следует при этом помнить, что векторное умножение не обладает

свойством ассоциативности, т.е.

(ar×br)×cr ≠ ar×(br×cr).

Упражнение. Привести пример нарушения свойства ассоциативности. Облегчить вычисление двойного векторного произведения можно с

	помощью формулы сокращенного умножения
	r r	r	r	rr	r		r			(4.1)
	(a ×b)×c = b(ac)				−a	(bcr),					r
	которая дает разложение двойного векторного произведения по векторам
											a,b .
	Коэффициентами разложения здесь служат скалярные произведения								rr	r
									ac	и bc .
	Выражение ar					×(br×cr) можно вычислить по формуле
	r	r	r	r	rr		r	rr
	a ×(b×c)= b(ac)−c							(ab).

Докажем формулу сокращенного умножения (4.1).

br

Выберем прямоугольную систему координат так, чтобы a лежал на оси Ох,

- в плоскости Оху. Тогда

ar

= (x1, 0, 0), br

= (x2 , y2 , 0), cr = (x3 , y3 , z3 ).

Вычислим правую и левую части соотношения (4.1) и убедимся в их

равенстве.

r

r

r

r

r

i

j

k

= (0, 0, x1 y2 ),

(a

×b)=

x1

0

0

x2

y2

0

(ar×br)×cr =

ri

rj

kr

= (−x1 y2 y3 , x1x3 y2 , 0).

0

0

x1 y2

x3

y3

z3

С другой стороны

r

rr

(x2

, y2 , 0)x1x3 = (x1x2 x3 , x1 y2 x3 , 0),

b

(ac)=

r

rr

(x1,0,0)(x2 x3 + y2 y3 )= (x1x2 x3 + x1 y2 y3 ,0,0),

a

(bc)=

r(rr) r(rr)

b ac −a bc = (−x1 y2 y3 , x1 y2 x3 , 0).

24

5.МАТРИЦЫ

Таблица из m строк и n столбцов

a		a		...	a
	11		12			1n
A = a21		a22		...	a2n
		...		...	...
...
a	m1	a	m2	...	a
						mn

называется прямоугольной матрицей порядка или размера mхn. Часто в обозначении матрицы вместо квадратных скобок употребляют круглые. Размеры матрицы иногда удобно указать в обозначении – Amхn. Если m=n, то матрица называется квадратной матрицей порядка n.

Матрицы А и В называются равными (A=B) если они одинаковых размеров и их соответствующие элементы совпадают, т.е. aij = bij .

Нулевой матрицей О называют матрицу, все элементы которой нулевые, т.е.

	0	0 ...	0
		0 ...	0
	0
O =		... ...		.
	...		...
	0	0 ...	0

Сложение матриц. Операция сложения вводится только для матриц имеющих одинаковые размеры. Суммой матриц А и В называется матрица С такая, что

cij = aij +bij , i =1,K, m; j =1,..., n.

Т.е. при сложении матриц складываются их соответствующие элементы. Например,

1	0	−1 3 0			3
		+		=	.
2	3		4 7	6	10

Легко проверить, что операция сложения матриц удовлетворяет условиям:

1)A+B =B+A ,

2)(A+B) +C=A+ (B+C),

3)A+О=A.

Умножение матрицы на число. Чтобы умножить матрицу на число, надо умножить на это число все элементы матрицы. Произведение матрицы А на числоα обозначается α А

Пример. Пусть

25

α = −3 , A =	1	0	.
	2	−1
Тогда
αA =	−3 3
			.
	−6	0

Матрицу (-1)А называют противоположной к матрице А и обозначают: -А, выражение А-В = А + (-В) иногда называют разностью матриц.

5.1.Умножение матриц

Произведение АВ матриц А и В определяется только в том случае, когда матрица А согласована с матрицей В, т.е. когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

Например A = 1	2	3	1
			согласована с B = 2		, но В не согласована с А.
0	1	0
			0

Значит, существует произведение АВ, но не существует ВА.

Квадратные матрицы одного порядка очевидно всегда взаимно согласованы. Определение. Произведением матрицы Am×n на матрицу Bn×p называется

матрица Cm×p , каждый элемент сij которой равен сумме произведений элементов

i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-ого столбца матрицы В, т.е.

cij = ai1b1 j + ai2bj 2 +... + ainbnj .

Коротко эту сумму записывают следующим образом:

n

cij = ∑aikbkj ,

k=1

апроизведение матриц обозначают С=АВ.

Пример. Пусть

1		−4			1		1	1
	2	7		,
A =					B =	0	1	0	.
	3	0

Тогда

	1	−3	1			6		3
	2	9	2		,
C = AB =						D = BA =	2	7	.
	0	3	3

Из примера видно, что для матричного умножения закон коммутативности АВ=ВА не справедлив.

Следует отметить, что произведение двух ненулевых матриц может быть нулевой.

Например

26

1	1 1 1 0			0	, но	1 1 1		1		2 2	= 2		1 1	≠ O .
			=						=
1	1 −1	−1	0	0		−1	−1 1	1		−2 −2			−1 −1

При умножении квадратных матриц особое значение имеет единичная матрица

1	0	0
	1	0		,
E = 0
	0
0		01

у которой на главной диагонали – единицы, а все остальные элементы нулевые. Легко проверить, что АЕ=ЕА=А для любой матрицы А того же порядка, что и Е.

Матричное умножение обладает следующими свойствами:

1)(АВ)С= А(ВС),

2)(А+В)С=АС+ВС, А(В+С)=АВ+АС,

3)α (АВ)=( α А)В=А(α В),

4)(АВ)*=В*А*, где знак * означает транспонирование,

5)|АВ| =|А||В|, т.е. определитель произведения квадратных матриц равен произведению их определителей.

5.2.Обратная матрица

Обратная матрица определяется только для квадратных матриц. Если А – квадратная матрица, то обратной к ней называется матрица того же размера А-1, удовлетворяющая условию АА-1=А-1А=Е.

Если определитель матрицы А равен нулю, то матрица А называется вырожденной, в противном случае невырожденной.

Пусть дана квадратная матрица

a11		a12		...	a1n
a		a		...	a
A =	21		22			2n .
				...	...
... ...
a	n1	a	n2	...	a
						nn

Составим матрицу из алгебраических дополнений элементов матрицы А:

A11		A12	...	A1n
A		A	...	A
B =	21	22		2n
			...	...
... ...
A		A	...	A
	n1	n2		nn

и протранспонируем ее, т.е. (т.е. поменяем местами соответствующие строки и столбцы).

Получается матрица В* (операция транспонирования обозначается звездочкой)

27

A11	A21	...	An1
A	A	...	A
B* = 12	22		n2	.
... ...		... ...
A	A	...	A
1n	2n		nn

Лемма. AB* = B* A = E|A|.

Доказательство. Обозначим C = AB* , т.е.

a11		a12	...	a1n A11			A21	...	An1
a	21	a	...	a	A		A	...	A
C =		22		2n		12	22		n2	.
... ...			...	... ...			...	... ...
		a	...	a			A	...	A
a	n1				A
		n2			nn	1n	2n		nn

Элемент сij матрицы С равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответсвующие элементы j-го столбца В*. Очевидно, для элементов сij матрицы С, стоящих на главной диагонали, получим сумму произведений элементов i-ой строки на их алгебраические дополнения, что равно определителю матрицы А. Для остальных элементов сij (i ≠ j ) получим сумму произведений

элементов i-ой строки матрицы А на алгебраические дополнения элементов j-ой строки, что равно 0. Значит

A

0 K

0

A

0

K

0

AB* =

=

A

E .

K K K

0

0

K 0

A

Аналогично получается В*A= A Е.

Теорема 5.1. Для того чтобы для матрицы А существовала обратная матрица необходимо и достаточно чтобы матрица А была не вырожденной.

Доказательство. Необходимость. Пусть обратная матрица А-1 существует.

Тогда

AA−1 = A A−1 = E ,

но E =1 ≠ 0 A ≠ 0 .

Т.е А – невырождена.

Достаточность. Пусть А – невырождена, т.е. A ≠ 0. докажем, что матрица

C =	B*				является обратной для А.
		A

Действительно, в силу леммы АС= Е и СА=Е. Следовательно С= А-1.

В процессе доказательства теоремы найдено выражение для обратной матрицы

A−1 = 1A B*

или

28

				A11	A21	...	An1
A−1 =	1			A12	A22	...	An2	.
	A		...		...	... ...
				A	A	...	A
				1n	2n		nn

Теорема 5.2. Для невырожденной матрицы существует единственная обратная матрица.

Доказательство. Предположим противное.

Пусть A1−1 и A2−1 матрицы обратные А. Тогда AA1−1 = E . Умножим равенство на

A2−1 слева. Получим

A2−1 AA1−1 = A2−1E (A2−1 A)A1−1 = EA2−1 = A1−1 A2−1 = A1−1 .

Упражнения. Показать, что

1)A−1 = 1A ,

2)(A−1 )−1 = A,

3)(An )−1 = (A−1 )n ,

4)(AB)−1 = B−1 A−1.

Пример. Найдем обратную матрицу для матрицы

					1		2
				A =			.
					1		3
Получаем
	А		= 3 −2 =1,			А11 = 3, А12			= А21 = −2, А22 =1.
Отсюда								−2
				3	2	=	3
	А−1 =			2				.
					1		−1	1
Проверка:							3 −2 1 0
	АА−1 =			1 2							,	аналогично А−1	А= Е .
								=
				1 3			−1 1 0 1

5.3.Матричная запись системы линейных уравнений

Пусть дана система n-линейных уравнений с n неизвестными

a x +a x +K+ a x = b
	11	1		12 2	1n n	1
a21x2 + a22 x2 +K+ a2n xn = b2
............................................
a	x	2	+a	x	+K+ a x	= b .
	n1			n2 2	nn n	n

29

Выпишем матрицу системы

a11

a12 ...

a1n

a

21

a ...

a

A =

22

2n

...

... ... ...

a

n1

a

n2

...

a

nn

и обозначим

x1

b1

X =

x

,

b

2

B = 2

.

...

...

x

b

n

n

Тогда система (5.1) равносильна матричному уравнению

АХ=B. (5.2)

Если матрица А не вырождена, то решение уравнения (5.2), а значит и системы (5.1), можно найти следующим образом.

Умножим на А-1 слева обе части равенства (5.2). Получим

А-1АХ=А-1В,

Откуда

			Х=А-1В.					(5.3)
		Пример. В предыдущем разделе показана невырожденность матрицы
				1	2
		A =				.
				1	3
Рассмотрим систему
x +2x			=1
1		2	= −1,
x1 +3x2
матрицей которой является А. Тогда систему можно записать в виде
1	3	x			1
			1	=		.
1 2		x2			−1
Откуда					−1
x		1 2				1	3 2 1 5	,
1	=			=			=
x2		2 3				−1	−1 1 −1 −2

т.е. x1 = 5, x2 = −2.

Следовательно, мы имеем еще один способ решения систем линейных уравнений – матричный.

Упражнение. Вывести формулы Крамера из формулы (5.3).

30