Предел функци_final
.pdf
Высшая математика для чайников. Виосагмир И.А.
№2. Посчитать пределы 0 , , 1
→ |
|
→ |
|
|
|
|
|||
|
|
|||
→ |
|
→ |
|
|
|
|
|||
|
|
Уверен, столько всего вы не запомните, так что лучше выучить график. Ok! Идем дальше…
sin
Функция носит свое название – синусоида.
№1. Посчитать предел
lim sin .
→
Что делать? На графике явно видно, что функция “прыгает” от одного значения до другого. Вывод: не существует такого предела. Давайте просто рассмотрим примеры, где функция стремится к разным значениям:
;
*67
Проделам то же самое косинусоиды.
№1. Посчитать предел:
lim cos .
→
Все те же размышления. Предела не существует! Вот, что у нас получается: |
||
lim cos |
{ lim cos 0 |
; |
lim cos 1 |
||
|
→ |
|
|
|
|
→ |
lim cos 1 |
|
→ |
|
|
|
z → |
|
Высшая математика для чайников. Виосагмир И.А.
89
*89
На рисунке представлены две функции:
}G и H}G .
Как видите, они очень похожи, поэтому очень важно, запомните Вы их или нет. Давайте проведем небольшой опыт. Попробуйте запомнить два графика. Как только будете уверены в том, что все выучили, прорешайте все пределы ниже, а потом проверьте себя по графикам.
№1. Посчитать пределы:
→ |
|
|
|
→ |
→ |
|
|
|
→ |
→ |
→ |
→ |
|
|
|
→ |
→ |
|
|
|
→ |
→ |
→ |
arcsin
arccos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
функции |
|
. |
– |
обратная |
функция |
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
sin |
|
– |
обратная |
функция |
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функции |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arccos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№1. Посчитать предел: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim arcsin . |
|
|
|
|
→ 0 |
|
|
||
Давайте посмотрим на график |
|
|
|
|
. Что мы видим? При |
функция принимает |
||||||||||
бесконечно много значений. Например, |
|
→ |
|
|
и |
|
→ |
|
|
и т.д. Делаем |
||||||
|
|
|
|
|
arcsin |
|
|
lim |
|
|
|
|
||||
вывод: у нашего графика есть период. |
lim |
arcsin 0 |
|
|
arcsin • |
|
||||||||||
|
→ |
|
|
|
r целое число, лежащее в промежутке |
∞, ∞ |
||||||||||
|
lim arcsin •r, |
|||||||||||||||
То же самое с arccos .
Высшая математика для чайников. Виосагмир И.А.
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
arcctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
tg |
|
|
– обратная функция к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
функции |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
ctg |
|
|
– обратная функция к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
функции |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№1. Посчитать предел: |
lim |
arctg r ∙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
r |
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
целое число, имеющее шаг 2. Т.е. → |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Можно записать |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
вот так: |
|
|
|
|
lim arctg 2 |
‡ 2 2 r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
→ |
|
• |
|
|
• • |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Заметим, что ˆ это произвольное целое число, которое мы задаем сами.
На этом, мы заканчиваем наш раздел – графики элементарных функций.
Высшая математика для чайников. Виосагмир И.А.
От автора:
Поздравляю! Вы смогли завершить первую главу “Предел функции” первой части “Предел и непрерывность функции”. Конечно, это не все. Я рассказал Вам лишь элементарные вещи. Далее нас будут ждать первый замечательный и второй замечательный приделы, правило Лопиталя и другие методы взятия пределов. Если Вы поняли все, что я здесь написал, то дальше будет только интересно! Ничего сверхсложного вас не ожидает…
Примечание от автора:
Надеюсь, вам понравился мой метод изложения математических вещей. Несомненно, я жду от Вас комментариев на мой почтовый ящик viosagmir@gmail.com. Это мой первый опыт в написании чего либо. Может быть, я изъясняюсь так, что просто даже не хочется читать. Продолжать писать или нет? Я не знаю и не могу знать. Поэтому я прошу вас писать отзывы. Может быть что-то не так, может быть где-то ошибка, может быть надо изменить структуру текста.
P.S. При копировании материала, просьба: указывать автора. Напоминаю, что электронная книга уже защищена, на всякий случай, авторскими правами.