bfa

1537

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

"Липецкий государственный технический университет"

Кафедра высшей математики

В.А. Скопин, М.Н. Орешина, Г.В. Китаева

Топологические структуры функционального анализа

Методические указания к самостоятельной работе

Липецк 2008

ÓÄÊ 517.9 C443

Скопин, В.А. Топологические структуры функционального анализа [Текст]: методические указания к самостоятельной работе./ В.А. Скопин, М.Н. Орешина, Г.В. Китаева. Липецк: ЛГТУ, 2008. 16 с.

Методические указания предназначены для студентов первого и второго курсов специальности 351500 "Математическое обеспечение и администрирование информационных систем". Приведены основные сведения о метри- ческих и топологических пространствах, а также необходимые сведения из теории множеств. Рассмотрены такие понятия, как счетность, открытость и замкнутость, непрерывность, компактность. Приведен ряд конкретных примеров.

Библиогр.: 5 назв. Рецензент В.М. Тюрин

c Липецкий государственный

технический университет, 2008

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

"Липецкий государственный технический университет"

Кафедра высшей математики

В.А. Скопин, М.Н. Орешина, Г.В. Китаева

Топологические структуры функционального анализа

Методические указания к самостоятельной работе

Липецк 2008

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

"Липецкий государственный технический университет"

Кафедра высшей математики

В.А. Скопин, М.Н. Орешина, Г.В. Китаева

Топологические структуры функционального анализа

Методические указания к самостоятельной работе

Утверждаю к печати	Проректор по учебной работе
Объем 1 п.л.			П.И. Внуков
Тираж 100 экз.				2008

Липецк 2008

Множества

Пусть A и B множества. Отображение ' : A ! B называют взаимно

однозначным èëè биекцией, åñëè

1)каждый элемент b 2 B имеет прообраз, т.е. 9a 2 A такой, что '(a) = b;

2)этот прообраз единственный, т.е. если a1 6= a2, то '(a1) 6= '(a2). Множества A и B называют эквивалентными (A B), если существует биекция ' : A ! B. Упрощенно говоря, это означает, что множества A и B

"имеют одинаковое количество элементов". Каждому множеству A поставим в соответствие объект m(A), называемый мощностью множества A. При этом если A B, то m(A) = m(B). Если A эквивалентно некоторому подмножеству множества B, то полагают m(A) m(B). Если при этом неверно, что m(B) m(A) (т.е. B не эквивалентно никакому подмножеству A), то полагают m(A) < m(B). Очевидно, все множества, имеющие одно и то же конечное число n элементов, попарно эквивалентны и мощностью каждого из них считают это число n. Множество называют счетным, если оно эквивалентно множеству N = 1; 2; 3; : : : натуральных чисел, т.е. его элементы можно пронумеровать целыми положительными числами.

Пример.

1.Множество всех рациональных чисел Q счетно.

2.Объединение конечного или счетного числа счетных множеств счетно.

3.Множество (отрезок) I = [0; 1] несчетно (более чем счетно). Действитель-

но, предположим, что все элементы множества I можно представить в виде

I = fx1; x2; : : : g. Разделим отрезок I на три равные части и обозначим через [a1; b1] ту часть, которая не содержит точку x1. Аналогично разделим отре- çîê [a1; b1] на три равные части и обозначим через a2; b2 ту его часть, кото- рая не содержит точку x2 и т.д. Получим бесконечную последовательность вложенных друг в друга отрезков [a1; b1] [a2; b2] [an; bn] : : : ,

3

причем xn 2= [an; bn]. Согласно известной теореме анализа существует точка, принадлежащая каждому из отрезков [an; bn]. Но тогда не может совпадать ни с одним из xn. Это означает, что в отрезке [0; 1] точек больше, чем натуральных чисел. Говорят, что [0; 1] имеет мощность континуума.

Пусть A некоторое множество и R A A отношение на A. Если

(a; b) 2 R (a и b находятся в отношении R), будем использовать обозначение a b. Отношение R называют отношением частичного порядка на A, если:

1.8a 2 A a a;

2.åñëè a b è b a, òî a = b;

3.åñëè a b è b c, òî a c.

В этом случае множество A называют частично упорядоченным отношением " ". Элементы a и b называют сравнимыми, если a b или b a. Множество A называют упорядоченным, если любые два его элемента сравнимы.

Пусть A частично упорядоченное отношением " " множество, B его некоторое подмножество. Говорят, что множество B ограничено сверху (или имеет верхнюю грань), если существует элемент a 2 A, такой, что b a для всех b 2 B.

Максимальным элементом множества A называют элемент m 2 A, обладающий свойством: если для какого-то a 2 A окажется, что m a, то a = m. Частично упорядоченное множество может не иметь максимального элемента (см. пример далее). Хорошо известно следующее утверждение относительно частично упорядоченных множеств.

Лемма Цорна. Пусть A непустое частично упорядоченное множество. Если каждое упорядоченное подмножество B A ограничено сверху каким-нибудь элементом множества A, то множество A имеет максимальный элемент.

4

Пример.

1. Пусть I2 = f(x; y) : 0 x 1; 0 y 1g единичный квадрат на плоскости. Положим (x1; y1) (x2; y2), åñëè x1 x2 è y1 y2. Легко проверить, что это отношение является отношением частичного порядка. Множество I2 лишь частично упорядочено, поскольку, например, элементы (0; 1) и (1=2; 1=2) не сравнимы. Примером упорядоченного множества может быть отрезок прямой между точками (0; 0) и (1=2; 1=2). Очевидно, любое упорядоченное подмножество в I2 имеет верхнюю грань (например, точку (1; 1)) и, следовательно, по лемме Цорна в I2 должен быть макси- мальный элемент. В данном случае утверждение леммы Цорна очевидно и этот максимальный элемент (1; 1) можно легко указать.

2. Очевидно, единичный круг без границы B = f(x; y) : x2 + y2 < 1g с отношением частичного порядка, определенным в предыдущем примере, является частично упорядоченным множеством. Легко видеть, что такое множество не имеет максимального элемента. Однако единичный круг с границей K = f(x; y) : x2 + y2 1g уже имеет бесконечно много максимальных элементов любой элемент окружности x2 + y2 = 1, лежащий в

первом октанте, будет максимальным.

Метрические пространства

Пусть X некоторое множество. Расстоянием или метрикой на X называют любую функцию двух переменных : X X ! R, обладающую свойствами:

1). 8x; y 2 X (x; y) = 0 , x = y невырожденность; 2). 8x; y 2 X (x; y) = (y; x) симметричность;

3). 8x; y; z 2 X (x; y) (x; z) + (z; y) неравенство треугольника. Положив в неравенстве треугольника x = y получим, что (y; z) 0 для всех y и z. Метрическим пространством называют пару (X; ), т.е. множество X, на котором задана метрика . Обычно с целью сокращения обозна-

5

чений метрику явно не указывают.

Пример.

1. На множестве Rn всех упорядоченных наборов, состоящих из n действительных чисел, можно задать различные метрики, например 1(x; y) =

				1=2
Полученные
kn=1 jxk ykj, 2(x; y) =		kn=1(xk yk)2 , 1(x; y) = maxk=1;:::;n jxk ykj.
P		P			R1 ,	R2 ,	R1 соответ-
	метрические пространства обозначают				n	n	n
ственно.
2. На произвольном множестве			X функция (x; y) =			1, åñëè x = y è

(x; y) = 0, если x 6= y является метрикой. Такую метрику называют дис-

кретной.

3. Множество C[a; b] всех непрерывных функций x : [a; b] ! R с метрикой

(x; y) = 1(x; y) = maxt2[a;b] jx(t) y(t)j является метрическим простран-

ством.

4. Пространство CLp[a; b], p 1, всех непрерывных функций x : [a; b] ! R

,

1=p

5. Пространство

, âñåõ

.

с метрикой (x; y) = p(x; y) =

ab jx(t) y(t)jp

lp = lp(N; R) pR

1

числовых последовательностей

(бесконечных векторов)

k=1

k

, для которых

1

p

ñ

p

k

.

P

x = (x1; x2; : : : )

1=p

k=1 jxkj < 1

следуют из

Сходимость ряда и нера-

метрикой (x; y) = (x; y) =

P

1

j

x

y

j

p

p

венство треугольника для

широко известного неравенства

Минковского для сумм

jxkjp!1=p +

1 jykjp!1=p :

1

jxk + ykjp!1=p

1

X

X

Xk

k=1

k=1

=1

Имеется неравенство Минковского и для интегралов

Z b 1=p Z b 1=p Z b 1=p

jx(t) + y(t)jpdt jx(t)jpdt + jy(t)jpdt ;

a a a

где x; y : [a; b] ! R интегрируемые функции. Из него легко получается

неравенство треугольника для p в пространстве CLp.

6

ñ центром

Пусть X метрическое пространство с метрикой . Говорят, что последовательность xn 2 X сходится к элементу a 2 X, если (xn; a) ! 0 ïðè

n ! 1. Заметим, что здесь (xn; a) числовая последовательность. Пример. Рассмотрим последовательность функций xn(t) = tn на отрезке

[0; 1]. Очевидно, xn 2 C[0; 1], à xn ! x в C[0; 1] означает, что 1(xn; x) = maxt2[0;1] jxn(t) x(t)j ! 0, т.е. последовательность функций xn сходится к функции x равномерно. Как известно, из равномерной сходимости следует сходимость в каждой точке: xn(t) ! x(t) при каждом t. Но xn(t) = tn ! 0 ïðè t 6= 1 è xn(1) = 1 ! 1, т.е. x(t) разрывная функция. Осталось заметить, что последовательность xn непрерывных функций не может рав- номерно сходиться к функции разрывной. Таким образом, xn не имеет пре- дела в C[0; 1]. В пространстве же CL1[0; 1] последовательность xn сходится к нулевой функции:

1(xn; 0) = Z0	1	jtn 0jdt = n + 1 ! 0 ïðè n ! 1:
			1

Различные типы множеств

Открытым шаром в метрическом пространстве X с центром в точке x0 ðà- диуса r называют множество B(x0; r) всех точек x 2 X, удовлетворяющих условию (x; x0) < r. Замкнутым шаром в метрическом пространстве X в точке x0 радиуса r называют множество B(x0; r) всех точек x 2 X, удовлетворяющих условию (x; x0) r. Открытый шар обычно

называют просто шаром. Открытый шар радиуса " с центром в точке x0 принято также называть "-окрестностью точки x0 и обозначать символом

U"(x0).

Множество M называют ограниченным, если оно целиком содержится в некотором шаре, т.е. 9x0 2 X 9r > 0 : M B(x0; r).

Точку x 2 X называют точкой прикосновения множества M X, если любая ее "-окрестность содержит хотя бы одну точку из M. Совокупность

7

всех точек прикосновения множества M обозначают символом M и называют замыканием этого множества. Точку x 2 X называют предельной точ- кой множества M X, если любая ее " окрестность содержит хотя бы одну точку из M, отличную от x. Точку x 2 M называют изолированной точкой

множества M, если найдется такая " окрестность этой точки, в которой нет точек множества M, отличных от x. Точку x 2 X называют гранич- ной точкой множества M, если в любой " окрестности этой точки имеются как точки, принадлежащие M, так и точки, не принадлежащие M. Множество всех граничных точек множества M называют границей множества

M и обозначают @ M. Множество F X называют замкнутым, если оно совпадает со своим замыканием, т.е. F = F .

Подмножество A множества B называют плотным èëè всюду плотным

в B, если B A. В частности, подмножество A метрического пространства

X называют всюду плотным (в X), если A = X. Множество A называют нигде не плотным, если оно не плотно ни в одном шаре, т.е. если в каждом любом шаре B X содержится шар B1, не имеющий с A ни одной общей

точки.

Точку x 2 G называют внутренней точкой множества G, если существует "-окрестность O"(x) этой точки, целиком содержащаяся в G. Множество всех внутренних точек множества G называют внутренностью и обозна- чают G0 или Int G. Множество G, все точки которого являются внутренними, называют открытым. Окрестностью точки называют всякое открытое множество, содержащее эту точку.

Приведем несколько свойств открытых и замкнутых множеств.

Теорема 1.

1.Множество U X открыто тогда и только тогда, когда его дополнение X n U замкнуто.

8