1.2 Отображение Пуанкаре

Существует множество методов исследования нелинейных систем. В данной задаче для исследования применялся один из самых эффективных и информативных методов - отображение Пуанкаре на фазовой плоскости. С помощью отображения Пуанкаре можно отличить друг от друга движения качественно различающихся типов, например: периодические, квазипериодические, хаотические и т.д.

Одним из видов математических моделей динамики является разностное уравнение, иначе называемое отображением. Дадим также другое, более точное, определение понятия отображения при математическом исследовании динамических систем.

Отображением называют временную выборку данных {x(t),x(),…x()},для которой вводят обозначение = x(). В простом детерминированном отображении величину x(n+1) можно найти по значению

: =f(). (4)

Мы будем рассматривать отображение Пуанкаре для систем с вынужденными колебаниями, тогда если x()и (),то последовательность точек фазового пространства будет представлять собой двумерное отображение:

= f(,)

= g(, ) (5)

Если моменты выборки подчиняются правилу:

= n*T+ (6)

Где Т - период вынуждающего движения, то это отображение называется отображением Пуанкаре. Перечислим классы структур, встречающиеся в отображениях Пуанкаре:

а) Конечный набор точек - периодическое или субгармоническое колебание.

б) Замкнутая кривая - квазипериодическое движение в присутствии несоизмеримых частот.

в) Фрактальный набор точек - "странный" аттрактор в трехмерном фазовом пространстве.

г) Бесформенный набор точек – Возможны четыре случая:

1) Динамическая система со слишком сильным случайным сигналом или шумом на входе.

2) "Странный" аттрактор, но диссипация в системе очень слаба.

3) "Странный" аттрактор в фазовом пространстве с более чем тремя измерениями.

4) Квазипериодическое движение с тремя или большим числом доминирующих несоизмеримых частот. [4]

Постановка задачи

Дано уравнение движения маятника с колеблющейся точкой подвеса (1).

За начальные условия, приняты следующие величины:

=0, =

Также начальным параметрам, которые в ходе исследования оставались неизменными, были следующие значения:

=0.25, =1, =1.56

Задача состояла в изучении поведения маятника при различных значениях амплитуды () колебания точки подвеса. Значениеизменялось на интервале[0,3] с шагом d = 0.001, от 3 до 5 с шагом 0.1, и далее от 5 до 8 с шагом 0.3, от 8 до 10 с шагом 0.5. Исследование проводилось при помощи фазового портрета системы и построения отображения Пуанкаре на фазовой плоскости.

Физической моделью данной системы является обычный физический маятник, точка подвеса которого совершает гармонические колебания с амплитудой 2. Уравнение движения данной системы представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка. Существует два способа его решения: аналитический и численный. Аналитическое решение (если оно, конечно, существует) очень сложно, и поэтому задача решалась только численно. В качестве численного метода решения задачи использовался метод Рунге - Кутта четвертого порядка. Алгоритм решения уравнения этим методом:

Сначала уравнение (1) представляется в виде системы двух уравнений первого порядка: =

= (7)

Или =()

= ()(8)

где: () =

() =

Далее по методу Рунге-Кутта вводятся для:

= ()

= ()

= ()(9)

= ()

и для :=()

= ()

= ()(10)

= ()

Далее определяем ипо формулам:

= ,=(11)

Обсуждение результатов

Анализ результатов показывает, что при малых значениях [0, 0.354] колебания являются затухающими. На рис. 1 изображен фазовый портрет таких колебаний при =0.15.

рис.1. = 0.15 – Затухающие колебания

Далее при [0. 355,0.423] колебания принимают субгармонический характер (удвоение периода). Пример фазового портрета таких колебаний изображен на рисунке 4.

При [0.424,0.478] наблюдаются затухающие колебания.

При [0.479,0.536] колебания становятся гармоническими.

Затем при [0.537,0.587] вновь наблюдается бифуркация (удвоение) периода. На отображении Пуанкаре две точки, изображенные на Рис. 2, которые означают, как уже говорилось, удвоение периода.

Рис. 2. =0.56 – Бифуркация Периода

При [0. 588,0.595] колебания принимают квазипериодический характер (утроение, учетверение периода).

При [0. 596,1.265] колебания принимают характер странного аттрактора, отображение Пуанкаре для которого при =0.65 изображено на рис 3.

рис.3. = 0.65 - "Странный" аттрактор

В точке = 0. 780 наблюдается особое явление переходного хаоса: при вырождении на отображении Пуанкаре восемь точек. Фазовый портрет системы и отображение Пуанкаре для данного случая изображены на рис. 4,1 и Рис. 4,2.

Рис. 4,1 Отображение Пуанкаре Рис. 4,2 Фазовый портрет

=0.78 - Восьмикратный период

При [1.265, 2.159] колебания становятся периодическими - на отображении Пуанкаре - одна точка.

При [2.160, 2,847] наблюдаются субгармонические колебания с двойным периодом.

При [2.848, 2.885] наблюдаются квазипериодические колебания с четверным периодом.

При [2.887, 2.888] наблюдаются квазипериодические колебания с восьмерным периодом.

При [2.889, 3] вновь наблюдался "странный" аттрактор.

Далее исследования проходили с шагом d = 0.1, отметить можно:

=3.4 - затухающие колебания.

[3.5, 5.5] - субгармонические колебания с двойным периодом.

={10.0} - периодические колебания, Фазовый портрет показан на рис. 5.

={9.9; 8.3} - хаос; динамическая система со слишком сильным сигналом или шумом на входе.

рис.5. =10.0 - Периодические колебания

Выводы

В результате выполнения задачи мы исследовали зависимость характера колебаний маятника с колеблющейся (в вертикальной плоскости) точкой подвеса в зависимости от амплитуды вынуждающей силы. Были подтверждены распределения областей значений нарастающих / затухающих изображенные на Рис. 1 – при [0, 0.354] и, затем при [0.424,0.478] колебания затухающие.

Были так же получены и определенны различные виды хаотических и не детерминированных движений системы:

а) Гармонического осциллятора ( [0.479,0.536] [1.265, 2.159]).

б) Субгармонический осциллятор ( [0. 355,0.423][2.160, 2,847] [3.5, 5.5]).

в) Квазипериодический осциллятор ( [0. 588,0.595] {0. 780}[2.848, 2.888]).

г) Хаотический осциллятор (Все остальное множество значений, подробно проанализированное по классам движений в нелинейных детерминированных системах в п. “ Обсуждение результатов ”).