3) Методы численных решений

В данной задаче используется два метода численных решений уравнения: метод Эйлера (1-й порядок точности) и метод Рунге-Кутта (4-й порядок точности). Эти методы заключаются в нахождении координат x и y в моменты времени, отстоящие друг от друга на dt (временной шаг), причем этот шаг меняется в зависимости от выбранной позволительной погрешности. Методы отличаются не сильно, а их результатами являются график x(t) и фазовый портрет y(x). Разница в результатах методов может изменяться в зависимости от выбранного начального шага и выбранной позволительной погрешности. Выбранная погрешность влияет на выбор следующего шага следующим образом: если шаг удовлетворяет условию

, где p – порядок точности метода,

то он остается неизменен, в противном случае шаг делится пополам и опять проверяется это условие.

Привожу здесь таблицы зависимости величины шага для обоих методов от величины задаваемой погрешности.

а) dt начальное = 1

	dt для Эйлера		dt для Рунге-Кутта
1	1	1e-4	1
1е-1	2,5e-1	1e-5	2,5e-1
1е-2	6,3e-2	1e-6	1,3e-1
1е-3	3,1e-2	1e-8	3,1e-2
1е-4	7,8e-3	1e-10	1,6e-2
1е-5	2,0e-3	1e-12	7,8e-3
1е-6	9,8e-4	1e-14	2,0e-3

б) dt начальное = 0,1

	dt для Эйлера		dt для Рунге-Кутта
1е-2	1e-1	1e-8	1e-1
1е-3	2,5e-2	1e-9	2,5e-2
1е-4	6,3e-3	1e-12	1,3e-2
1е-5	3,1e-3	1e-13	3,1e-3
1е-6	7,8e-4	1e-15	1,6e-3
1e-7	2,0e-4	1e-16	7,8e-4
1e-8	9,8e-5	1e-18	3,9e-4

Разные значения dt для одного и того же метода, одинаковых , но разных начальныхdt получаются из-за того, что при делении 1 и 0,1 (это верно для всех чисел a и b, ) на 2 никогда не получаться равные числа: для 1 – 0,5; 0,25; 0,125; 0,0625…, а для 0,1 – 0,05; 0,025…

4) Численное исследование задачи.

а) типичные фазовые портреты для свободных и вынужденных колебаний.

Первый типичный фазовый портрет – в окрестности точки (0,0), это устойчивый фокус при< 2 и устойчивый узел при. Рассмотрим первый случай, когда эта точка является фокусом.

y(0)=0

x(0)=0,01

начальный шаг =

погрешность =

Нетрудно видеть, что точка (0,0) является устойчивым фокусом.

Если же задать больше или равно двум, тогда эта точка будет устойчивым узлом:

Рис. 3 (0,0) – устойчивый фокус

y(0)=0

x(0)=0,01

начальный шаг =

погрешность =

Рис. 4 (0,0) – устойчивый узел

Следующая особая точка – (-1,0), она является неустойчивым седлом:

y(0)=0,05

x(0)=-1,05

начальный шаг =

погрешность =

Рис. 5 (-1,0) – неустойчивое седло.

Рассмотренные случаи относятся к свободным колебаниям, т.е. без вынуждающей силы. Для вынужденных колебаний характерным случаем является резонанс, когда совпадают собственная частота колебаний электрона и частота вынуждающей силы (т.е. =1, а остальные параметры те же, что и для прошлого случая):

Рис. 6 Резонанс

Как видно из рисунка 6, со временем колебания устанавливаются, это обусловлено тем, что через какое-то время собственные колебания электрона затухают, и он продолжает колебаться только за счет внешней силы.

Если же внешнюю силу сделать достаточно большой, то она может выбить электрон из орбиты, и он улетит:

y(0)=0

x(0)=0,1

начальный шаг =

погрешность =

рис. 7 Выбивание электрона с орбиты вынуждающей силой.

б) Амплитудно-частотные характеристики для трех основных компонент частотного спектра функции x(t).

Эти графики являются зависимостью величины трех первых компонент разложения функции в ряд Фурье (стационарной, линейной и нелинейной поляризации) от частоты вынуждающей силы.

Все амплитудно-частотные характеристики для компонент частотного спектра даны при одинаковых параметрах:

x(0)=0

y(0)=0

рис. 8 АЧХ стационарной компоненты

рис. 9 АЧХ линейной компоненты

рис. 10 АЧХ нелинейной компоненты

На рис. 9 изображена амплитудно-частотная характеристика для второй компоненты частотного спектра (линейная поляризация). Здесь так же, как и в предыдущем случае резонансное воздействие на электрон со стороны внешнего электрического поля (компонента достигает максимума) оказывается при частоте монохроматической световой волны, близкой к частоте собственных колебаний электрона в атоме. АЧХ второй компоненты отличается от АЧХ первой величиной максимума и пологостью ближе к пику. Нелинейная же компонента (рис. 10) имеет несколько другой вид: у нее появляется второй, чуть меньший, чем первый, пик.

в) Зависимость стационарной, линейной и нелинейной поляризации атома от амплитуды напряженности электрического поля падающей световой волны.

Рассмотрим зависимость тех же трех компонент от амплитуды электрического поля световой волны при резонансном воздействии, т.е. когда частота вынуждающей силы будет равна собственной частоте колебаний электрона. Все представленные ниже графики даны при параметрах:

ε = 0,1

Ω = 1

х(0) = 0,738

у(0) = 0

рис. 10 зависимость стационарной поляризации рис. 11 зависимость линейной поляризации

от амплитуды вынуждающей силы от амплитуды вынуждающей силы

рис. 12 зависимость нелинейной поляризации от амплитуды вынуждающей силы

На рис.10 изображена зависимость стационарной поляризации атома от амплитуды напряжённости внешнего электрического поля. Как видно из графика, значение стационарной поляризации возрастает до некоторого значения поля и затем достигает насыщения. На рис. 11 мы видим 11 зависимость линейной поляризации от амплитуды напряженности. Значение линейной поляризации пропорционально величине напряженности электрического поля световой волны, соответствующий график показывает, что при малых амплитудах поля так оно и есть. При больших амплитудах присутствует небольшое отклонение от линейной зависимости ввиду того, что большая сила дальше отклоняет электрон от положения равновесия, а при больших отклонениях в возвращающей силе начинает играть некоторую роль квадратичная компонентаx. Роль эта естественно мала, но достаточна для того, чтобы появились видимые отклонения от линейности. На рис. 12 показана зависимость нелинейной поляризации от амплитуды вынуждающей силы. Как и следовало ожидать из названия, эта зависимость очень близка к квадратичной, т.к. величина нелинейной поляризации зависит от квадрата напряженности электрического поля световой волны.