Линейная алг. Заочное

Система линейных уравнений с неизвестными

11 1 + 12 2 + + 1 + + 1 = 1

21 1 + 22 2 + + 2 + + 2 = 2

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . .

1 1 + 2 2 + + + + =

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .1 1 + 2 2 + + + + =

− коэффициенты при неизвестных;− свободные члены уравнений.

Краткая запись:

		= ,	= 1,

=1

Решение системы уравнений – совокупность чисел1 = 1, 2 = 2, , = , при подстановке которых в

систему уравнений каждое уравнение превращается в тождество.

системы уравнений

совмевстные	несовместные
есть решение	решений нет

определенные	неопределенные
единственное	больше
решение	одного решения

Равносильные системы

Системы уравнений называются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений.

Элементарные преобразования исходной системы, приводящие к равносильной системе:

1)вычеркивание уравнения вида 01 + 02 + + 0 = 0;

2)перестановка уравнений системы или слагаемых во всех уравнениях;

3)прибавления к обеим частям одного уравнения соответственно обеих частей другого уравнения этой системы, умноженных на любое действительное число;

4)удаление уравнений, являющихся линейной комбинацией других уравнений системы.

Матричная форма системы уравнений

						=
	где	11		12	1
						матрица системы
		21		22	2
	=					− (матрица коэффициентов
						при неизвестных)
		1		2
			1
	=		2 − матрица столбец неизвестных
		1
	=	2		− матрица столбец свободных членов

Системы линейных уравнений с неизвестными

Квадратные системы =

11 1 + 12 2 + + 1 + + 1 = 1

21 1 + 22 2 + + 2 + + 2 = 2

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .1 1 + 2 2 + + + + =

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы

=

Пусть ≠ 0

−1

Умножим слева обе части матричного равенства на −1.

−1 ∙ = −1 ∙ B

Преобразуем левую часть уравнения

−1 ∙ = −1 ∙ = == −1 ∙ B

Пример. Решить систему с помощью обратной матрицы

1 − 2 + 3 = 3 2 1 + 2 + 3 = 111 + 2 + 2 3 = 8

Решение.

Матричная форма записи системы:

	1	−1	1	1	3
	2	1	1	2	= 11
	1	1	2	3	8
1) =5	≠ 0	−1

2)Находим −1 = 15

3)= −1 ∙ B = 15

Ответ: 4; 2; 1

1	3	−2
−3	1	1
1	−2	3
1	3	−2	3	= 1
−3	1	1	11
1	−2	3	8	5

20	4
10	= 2
5	1

Метод Крамера

Теорема Крамера.

Пусть ∆– определитель матрицы системы А, а ∆ – определитель матрицы, получаемой из матрицы А заменой –го столбца столбцом свободных членов.

Тогда, если ∆≠ 0, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

	=	∆	,	= 1, (формулы Крамера)
		∆

Док-во: = −1 ∙ B

В развернутой форме

							11 21 1						1
1			1
2		=					12 22				2		2		=
							1 2
							+			21	+ +
1			1		11		2						1
			+							22	+ +
=			1		12		2						2
	∆		… … … … … … … … … … … … …
							+			2	+ +
			1		1		2	1
для = 1,						=						+		+ +
								∆
										1 1		2	2

Здесь 1 1 + 2 2 + + - разложение определителя по элементам столбца , но в качестве элементов столбца

используются свободные члены, т.е.

1 1 + 2 2 + + = ∆= ∆∆

1 − 2 + 3 = 3

Пример. Решить систему методом Крамера 2 1 + 2 + 3 = 111 + 2 + 2 3 = 8

Решение.

	1		−1	1				3	−1	1
∆=	2		1	1	=5≠ 0;	∆1=		11	1	1		= 20;
	1		1	2				8	1	2
	1		3	1				1	−1	3
∆2=	2		11	1	= 10;		∆3=	2	1	11		= 5
	1		8	2				1	1	8
=		∆1	= 20 = 4; =			∆2	= 10 = 2; =				∆3	= 5 = 1
1		∆	5		2	∆ 5			3		∆	5

Недостаток рассмотренных методов – большая трудоемкость (теоретический интерес);

реальные экономические задачи сводятся к системам с большим числом уравнений и переменных.