Линейная алг. Заочное
.pdfЛинейная алгебра
Матрицы
Определители Системы линейных уравнений
Матрицы Оглавление
1.Определение
2.Виды матриц
3.Операции над матрицами
4.Свойства операций
5.Возведение в степень
6.Транспонирование матрицы
Определение
Матрицей размера × называется прямоугольная таблица чисел, содержащая строк и столбцов.
Числа, составляющие матрицу, – элементы матрицы. Обозначение: − матрица, − элемент матрицы,
− № строки, − № столбца. |
|
|
|
|||||||
|
11 |
12 |
|
1 |
1 |
|
|
|
||
|
21 |
22 |
|
2 |
2 |
|
|
|
||
= |
|
, |
= 1, , |
= 1, . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
= |
|
|
, |
= 1, , |
= 1, . |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. = |
1 |
0 |
−1 |
размерность матрицы 2 × 3. |
||||||
|
|
2 |
1 |
3 |
|
|
|
|
||
Виды матриц
1. Матрица – строка = 11, 12 , , 1
|
11 |
|
2. Матрица – столбец = |
21 |
|
|
||
|
1
3.Квадратная матрица -го порядка: число строк равно числу столбцов и равно .
4.Элементы матрицы при = называют диагональными; они образуют главную диагональ матрицы.
Главная диагональ квадратной матрицы: 11, 22 , , . Диагональная матрица – квадратная матрица, у которой все недиагональные элементы равны 0.
2 |
0 |
0 |
Пример. = 0 |
4 |
0 |
0 |
0 |
1 |
5.Единичная матрица – диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны 1.
1 |
0 |
0 |
|
= 0 |
1 |
0 |
единичная матрица 3-го порядка |
0 |
0 |
1 |
|
6. Нулевая матрица – матрица любой размерности, все элементы которой равны 0.
= |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
7. Равные матрицы: = |
|
|
= |
, = 1, , = 1, |
|
|
|
|
|
Операции над матрицами
1. = λ = λ , = 1, , = 1,
умножение матрицы на число λ
Пример. Найти = 5 , если = |
1 |
|
3 . |
||||
|
1 |
3 |
|
2 |
5 |
4 |
15 |
= 5 ∙ |
= |
|
|
||||
|
2 |
4 |
|
10 |
|
20 |
|
Следствия:
1)Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.
10 |
6 |
12 |
= 2 |
5 |
3 |
6 |
8 |
0 |
4 |
|
4 |
0 |
2 |
2) 0 ∙ =
2. = + = + , = 1, , = 1,
сложение матриц (только одинаковой размерности)
Пример. Найти C = A + , если = |
1 |
2 |
|
3 |
, = |
1 |
0 |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
2 |
|
|
3 |
2 |
1 |
C = |
1 |
2 |
3 |
+ |
1 |
0 |
2 |
= |
2 |
|
2 |
5 |
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
|
3 |
2 |
1 |
|
3 |
|
3 |
3 |
|
|
|
Следствие: + = + =
3.Вычитание матриц.
= − = + −1 ∙
4.Умножение матриц.
= ∙ |
= |
|
∙ , |
= 1, , |
= 1, |
|
|
|
|
|
|
|
=1
Умножение матрицы на матрицу определено когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.
|
|
|
|
1 |
0 |
2 |
|
−1 |
0 |
1 |
Пример. Найти C = A ∙ , если = |
, = |
5 |
1 |
4 |
||||||
|
|
|
|
3 |
1 |
0 |
|
2 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. Проверяем размерность матриц |
|
|
|
|
|
|||||
2×3 ∙ 3×3 = 2×3 умножение определено. |
|
|
|
|
|
|||||
1 |
0 |
2 |
−1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
5 |
1 |
4 |
= |
|
|
|
|
|||
3 |
1 |
0 |
|
|
|
|
||||
2 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 ∙ |
−1 |
+ 0 ∙ 5 + 2 ∙ 2 |
1 ∙ 0 + 0 ∙ 1 + 2 ∙ 0 |
1 ∙ 1 + 0 ∙ 4 + 2 ∙ 1 |
||
3 ∙ |
−1 |
+ 1 ∙ 5 + 0 ∙ 2 |
3 ∙ 0 + 1 ∙ 1 + 0 ∙ 0 |
3 ∙ 1 + 1 ∙ 4 + 0 ∙ 1 |
||
|
|
|
= 3 |
0 |
3 |
|
|
|
|
2 |
1 |
7 |
|
Свойства операций
1.+ = +
2.+ + = + +
3.λ + = λ + λ
4.+ = +
5.+ = +
6.λ = λ = λ
7.=
8.≠ отличие от алгебры чисел
9.Из = не следует, что = или = тоже отличие
Рассмотрим отличия от алгебры чисел (свойства 8 и 9)
8. Из того что определено не следует, что определено
2×3 ∙ 3×3 = 2×3 умножение определено |
|
||||||||
3×3 ∙ 2×3 |
умножение не определено |
|
|||||||
|
2 |
1 |
1 , = |
0 |
3 |
|
|
||
Пример. = |
1 |
5 . |
|
|
|||||
|
0 |
3 |
2 |
|
−1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2×3 |
∙ |
= |
= 0 |
12 |
|
|
|
|
|
3×2 |
|
2×2 |
0 1 |
917 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
||
|
3×2 ∙ 2×3 = 3×3 = |
2 |
16 |
11 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
2 |
1 |
Если = матрицы и называются коммутативными
(перестановочными)
= =
9. Пример. = |
1 |
1 |
, = |
1 |
1 |
= |
0 |
0 |
= |
|
1 |
1 |
|
−1 |
−1 |
|
0 |
0 |
|