Высшая математика С.Ф. Кожухов контр №1
.docСУРГУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Для студентов заочного отделения
Экономического факультета
Дисциплина :Высшая математика (Линейная алгебра и аналитическая геометрия ).
Преподаватель : Кожухов С.Ф.
-
Содержание курса “Линейная алгебра и аналитическая геометрия”.
-
Матрицы и определители.
Числовые матрицы. Линейные операции над матрицами. Свойства операций над матрицами. Определители n- го порядка, свойства определителей. Миноры и алгебраичеие дополнения, теорема Лапласа, разложение определителя по строке (столбцу). Обратная матрица и правило её нахождения. Линейная зависимость строк (столбцов) матрицы. Ранг матрицы, вычисление ранга матрицы методом окаймления миноров и с помощью элементарных преобразований.
2.Системы линейных алгебраических уравнений.
Системы линейных уравнений, общий вид, матричная запись. Решение системы, совместные и несовместные системы, теорема Кронекера-Капелли. Однородные и неоднородные системы. Решение квадратных систем по правилу Крамера: с помощью определителей и с помощью обратной матрицы. Нахождение общего решения системы методом исключения Гаусса. Нахождение общего решения с помощью базисного минора. Фундаментальная система решений однородной системы, метод её нахождения.
-
Векторная алгебра. Система координат на плоскости и в пространстве.
Векторы, линейные операции над ними. Линейная зависимость векторов на плоскости и в пространстве. Базис, координаты вектора в базисе. Прямоугольная система координат. Преобразование прямоугольных координат. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов, их свойства, геометрический смысл, формулы их вычисления в прямоугольной системе координат.
-
Прямая и плоскость.
Общее уравнение прямой на плоскости, каноническое, параметрическое уравнения прямой на плоскости, уравнение с угловым коэффициентом между прямыми, условия параллельности и перпендикулярности прямых. Нормированное уравнение прямой, расстояние от точки до прямой. Деление отрезка в данном отношении. Общее уравнение плоскости, условие параллельности, перпендикулярности плоскостей. Нормированное уравнение плоскости, расстояние от точки до плоскости. Прямая линия в пространстве, способы её задания. Взаимное расположение двух прямых в пространстве, прямой и плоскости.
-
Что нужно уметь.
-
Умножать матрицы.
-
Вычислять определители любого порядка.
-
Находить обратную матрицу.
-
Вычислять ранг матрицы двумя способами: окаймлением миноров, с помощью элементарных преобразований. Находить базисный минор.
-
Решать квадратные системы по правилу Крамера: с помощью определителей, с помощью обратной матрицы.
-
Решать системы методом Гаусса.
-
Находить фундаментальную систему решений однородных систем.
-
Вычислять скалярное, векторное и смешанное произведение векторов через их прямоугольные координаты.
-
Определять длину вектора, угол между векторами, расстояние между точками.
-
Делить отрезок в данном отношении.
-
Находить уравнение прямой на плоскости (в пространстве), проходящей через данную точку, параллельно (перпендикулярно) заданной прямой.
-
Находить уравнение плоскости, проходящей через три заданных точки.
-
Находить угол между прямыми(плоскостями).
-
Находить расстояние от точки до прямой (плоскости).
-
Определять взаиморасположение прямых, плоскостей, прямой и плоскости.
-
-
Литература.
-
Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Аналитическая геометрия.
-
Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Линейная алгебра.
-
Беклимишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
-
Ефимов Н.В. Квадратичные формы и матрицы.
-
Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии.
-
Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
-
Курош А.Г. Курс высшей алгебры.
-
Щербаков Р.Н., Малаховский В.С. Курс аналитической геометрии.
-
Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии.
-
Баврин И.И., Матросов В.Л. Общий курс высшей математики.
-
-
Контрольная работа №1.
Задача №1. Дан определитель.
А) Вычислить определитель, разложив его по какой-либо строке (или столбцу).
Б) Вычислить определитель, получив предварительно нули в какой-либо строке (или столбце).
1.1.
|
2 -1 3 0 |
|
-2 0 -1 1 |
|
3 -4 6 7 |
4 1 2 -1 |
1.2. |
3 1 -2 1 |
1.3 . |
1 -2 3 4 |
|
-3 0 4 1 |
|
0 4 -1 3 |
|
5 -11 12 14 |
|
1 1 0 3 |
|
1 1 -2 1 |
|
8 -17 21 35 |
1.4.
|
1 2 3 5 |
|
1 1 2 5 |
|
1 0 4 3 |
2 2 -3 -4 |
1.5. |
3 4 5 1 |
1.6. |
2 2 3 -1 |
|
3 4 -1 -4 |
|
1 -1 -1 2 |
|
0 4 3 1 |
|
4 7 7 3 |
|
3 3 4 14 |
|
-2 -4 1 3 |
1.7.
|
-2 0 -1 -1 |
|
1 2 2 3 |
|
3 -4 6 7 |
||
-3 1 -2 1 |
1.8. |
2 5 2 -1 |
1.9. |
1 -2 3 4 |
|||
6 4 -1 3 |
|
2 5 -1 -6 |
|
5 -11 12 14 |
|||
-1 1 -2 1 |
|
1 2 -1 2 |
|
8 -17 21 35 |
|||
|
|||||||
1.10.
|
1 1 0 3 |
|
|||||
-1 -1 7 1 |
|
||||||
2 -2 -1 -1 |
|
||||||
2 -1 3 0 |
|
Задача №2. Решить систему.
А) Путём нахождения обратной матрицы.
Б) По правилу Крамера.
2.1. 2.2.
2.3. 2.4.
2.5. 2.6.
2.7. 2.8.
2.9. 2.10.
Задача №3. Дана система уравнений.
А) Найти её общее решение метом Гаусса.
Б) Для соответствующей ей однородной системы найти фундаментальную систему решений с помощью нахождения базисного минора.
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7
3.8
3.9
3.10
Задача №4. Даны координаты вершин тетраэдра ABCD. Найти :
А) Площадь основания АВС.
Б) Уравнение высоты тетраэдра DK.
В) Уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно высоте DK.
Г) Расстояние от точки С до грани ABD.
Д) Уравнение плоскости, проходящей через точки В и С перпендикулярно плоскости ABC.
Е) Длину ребра BD.
Ж) Объём тетраэдра ABCD.
З) Величину плоского угла при вершине С плоскости BCD.
И) Величину угла между ребром CD и плоскостью ABC.
4.1 A(1,1,1);B(2,2,2);C(2,3,4);D(2,4,7).
-
A(0,0,0);B(1,1,1);C(1,2,3);D(1,3,6).
4.3 A(0,1,2);B(1,2,3);C(1,3,5);D(1,4,8).
4.4 A(1,2,3);B(2,3,1);C(2,4,6);D(4,7,6).
4.5 A(0,0,0);B(1,2,3);C(1,1,-2);D(3,5,3).
4.6 A(1,1,-1);B(2,3,2);C(2,2,-3);D(4,6,2).
4.7 A(0,0,0);B(-1,4,7);C(0,2,8);D(1,-2,-1).
4.8 A(1,0,1);B(0,4,8);C(1,2,9);D(2,-2,0).
4.9 A(1,-1,0);B(0,3,7);C(1,1,8);D(2,-3,-1).
4.10 A(0,1,-1);B(1,2,-2);C(1,0,0);D(-1,2,0).