Математика 2й семестр Специальность – Промышленное и гражданское строительство
Номер варианта должен совпадать с последней цифрой номера зачетной книжки. Например, по номеру 0 зачетной книжки следует решать задачи № 10, 20, 30, 40, 50. В тетрадь переписывается условие задачи и уравнение из своего задания. Затем следует решение данной задачи.
I. Контрольная работа № 1 |
|
|
|
|
|
|||||||
№№ 10-19. Найти предел функции: |
|
|
x |
|||||||||
|
|
|
|
− |
|
|
|
1 |
−cos x |
x + 2 |
||
|
1 |
− x |
1+ x |
|
|
|||||||
10. а) lim |
|
|
|
|
|
|
б) lim |
|
|
в) lim |
|
|
|
|
|
x |
|
|
xsin x |
x −1 |
|||||
x→0 |
|
|
|
|
x→0 |
|
x→∞ |
|
|
|
|
−2 |
|
arcsin 2x |
|
2x −1 |
3x |
|
|
|
2 + x |
|
||||||
11. а)lim |
|
|
|
б) lim |
|
в) lim |
|
|
|
|
x −2 |
3x |
2x +3 |
||||||
x→2 |
x→0 |
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x +1 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
12. |
а) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) lim |
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 sinπx |
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
13. |
а) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) lim |
|
|
|
|
|
|
|
в) lim(2x +1)x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
1− |
|
1+ 2x |
|
|
|
|
x→0 arctgx |
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 −7 |
|
|
|
|
|
|
sin x −cos x |
|
|
|
|
|
|
|
3x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
14. |
а)lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
x2 −16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−tgx |
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2ctg |
3x |
|
|
|
|
x |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1+ 2x |
|
|
|
1− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
15. |
а) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 + x |
|
|
|
|
|
sin 2x |
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
x→∞ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1+ x3 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
1−cos 4x |
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а) lim |
|
в) lim |
|
|
г) lim |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−cos8x |
|
|
2x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1+ x − |
2 |
|
|
|
|
|
в) lim arctg2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
17. |
а) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) lim x e x |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
sin x |
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
4n −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln(1 + x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
18. |
а) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
г) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
ex −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
n→∞ 22n |
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→π3 |
|
|
|
cos x − |
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
19. |
а) lim( |
|
9x2 +1 −3x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
г) lim(2 − x)1−x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
в) lim 1−sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→2 cos |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
№№ 20-29. Провести полное исследование и построить графики функций: |
|
|
2x2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
20. |
y = |
x2 |
|
−1 |
. |
|
|
21. |
|
y |
= |
1− x |
2 |
|
. |
|
|
22. |
y = |
|
x3 |
. |
23. |
y = |
|
|
x2 −1 |
. |
24. |
y = |
1− |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
1+ x |
2 |
|
|
|
1− x2 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
−2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
y = |
1−2x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
= |
|
2x2 |
−1 |
|
|
|
y = |
|
4x3 |
|
|
|
y = |
|
|
x2 −1 |
|
|
y = |
|
x2 |
−5 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
25. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
26. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
27. |
|
|
|
|
|
28. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
29. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
x |
−1 |
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
x +1 |
|
|
2x + 2 |
|
x −3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№№ 30-39. Найти производную функции z = f (x, y) в точке M по направлению к точке N :
30. |
z = x3 −3x2 y +3xy 2 − y3 , |
|
|
|
|
|
M (1,1), N(2,2) . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
31. |
z = 6x2 +12xy + y 2 , |
|
|
M (0,1), N(0,2) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
32. |
z = arctg (xy), |
M (1,0), N(0,1) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
33. |
z = arctg |
y |
, |
|
M (0,1), N(1,0) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34. |
z = ln (x2 + 2y 2 ), |
|
|
M (1,1), N(0,0) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
35. |
z = sin(x −2y), |
M (0,0), N(2,1) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
36. |
z = x3 +12x2 y + xy2 , |
|
|
|
|
|
|
|
M (1,1), N(0,0) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
37. |
z = x ln (x2 + y 2 ), |
|
|
M (1,0), N(0,2) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
38. |
z = y ln (2x2 + y 2 ), |
M (0,2), N(0,1) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
39. |
z = (x − y) ln (x2 + y 2 ), |
|
|
M (1,0), N(2,0) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
№№ 40-49. Найти неопределенный интеграл |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
40. |
а) |
∫xsin 2x dx , |
|
|
б) |
|
|
∫ |
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
в) |
∫sin3 x cos2 xdx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x −1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
41. |
а) |
∫x cos 2x dx , |
|
б) |
|
∫ |
|
|
|
|
x |
, |
|
|
|
|
|
в) |
∫sin3 x cos2 xdx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
42. |
а) |
∫xe−3x dx , |
|
|
|
б) |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
, |
|
в) |
|
∫ cos3 xdx . |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
43. |
а) |
∫x arc ctgx dx , |
б) |
∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
, |
|
|
|
|
|
в) |
∫ |
|
|
|
|
dx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||
1− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−cos x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
44. |
а) |
∫ln(1+ x2 )dx , |
|
б) |
∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
, |
|
в) |
|
|
∫ |
sin x |
dx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+cos x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
45. |
а) |
∫ arcctg |
|
|
dx , б) |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
в) |
|
|
∫ |
|
cos x |
|
dx . |
||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−sin x |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
x +1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
46. |
а) |
∫x ln x dx , |
|
б) |
∫ |
|
dx |
|
|
|
|
|
, |
|
в) |
∫sin x (1−cos x) dx . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
47. |
а) |
∫ln2 x dx , |
б) |
∫ |
|
|
dx |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
∫ |
sin2 x |
dx . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
−x |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
48. |
а) |
∫xsin x2 dx , |
б) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
, |
|
|
|
|
в) |
∫ |
cos2 x |
dx . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
49. |
а) |
∫x cos x2 dx , б) |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
xdx |
|
, |
|
|
|
|
|
в) |
∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||
1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
sin |
|
|
x cos |
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II.Экзаменационные вопросы по математике (2й семестр)
1.Числовая последовательность.
2.Предел функции.
3.Производная функции.
4.Асимптоты графика функции.
5.Выпуклость функции.
6.Исследование функции и построение графика функции.
7.Функция двух переменных.
8.Производная по направлению. Градиент функции.
9.Экстремум функции двух переменных.
10.Первообразная и неопределенный интеграл.
11.Метод замены в интеграле.
12.Интегрирование по частям.
13.Интегрирование рациональных выражений.
14.Интегрирование тригонометрических выражений.
15.Интегрирование иррациональных выражений.
16.Определенный интеграл.
2
III. Литература
1.Баврин И.И. Курс высшей математики. М.: Владос, 2004
2.Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Т.2, Дифференциальное и интегральное исчисление. М. Дрофа. 2004.
3.Дубовик О.А., Совертков П.И. Математический анализ – II (функции нескольких переменных, интегральное исчисление функции одной переменной): методическое пособие для заочного отделения. Сургут, Изд-во СурГУ, 2009.
4.Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н. Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 1 курс. М.: Айрис-пресс, 2003.
5.Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н. Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 2 курс. М.: Айрис-пресс, 2003.
6.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. Т.1. М.: Наука,
1985.
7.Шипачев В.С. Высшая математика М.: Высшая школа.1996.
3
VI. Справочные материалы
1. Элементарная математика
|
|
|
0 |
|
|
π |
π |
|
|
π |
|
|
|
|
π 2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3π |
|
|
|
|
|
|
5π |
π 3π |
2π |
||||||||||||||||||||||||||||||
sin x |
|
|
|
|
|
6 |
|
4 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
-1 |
|
0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
cos x |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
0 |
|
1 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
− |
|
|
|
2 |
|
|
− |
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
tgx |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
∞ |
|
0 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
- |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctgx |
|
∞ |
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
∞ |
0 |
|
∞ |
||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
; sin |
2 |
α +cos |
2 |
α =1; 1 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
secα = |
|
|
|
; cosecα = |
|
|
|
|
|
|
+tg α = |
|
|
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cosα |
|
sinα |
|
|
|
cos2 |
α |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin(α ± β) = sinα cos β ±cosα sin β ; cos(α ± β) = cosα cos β sinα sin β ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
tg(α ± β) = |
|
|
tgα ±tgβ |
; tg2α |
= |
|
|
2tgα |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 tgα tgβ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−tg 2α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
sin 2α = 2sinα cosα ; cos 2α = cos2 α −sin 2 α ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2cos2 α = |
1+cosα |
; tg α |
= |
|
|
|
|
|
sinα |
|
|
|
= |
1−cosα |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1+cos |
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sinα |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2tg |
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
1−tg 2 α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
sinα = |
|
|
|
|
2 |
|
; cosα = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2 α |
|
1+tg 2 α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1+tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sinα sin β = cos(α − β) −cos(α + β) |
|
; cosα cos β = cos(α − β) +cos(α + β) |
; |
|
|
2 |
|
2 |
|
sinα cos β = sin(α + β) +sin(α − β) |
; |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
sin x = a |
x = (−1)k arcsin a + kπ , |
k Z ; |
|
|
cos x = a |
x = ±arccosa + 2kπ , k Z ; |
|
||
tgx = a |
x = arctga + kπ , k Z . |
|
|
|
2. Пределы и производная
lim sin x =1 - первый замечательный предел.
x→0 x
|
|
1 |
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
lim |
1+ |
|
= e |
- второй замечательный предел, |
lim(1 |
+ y) |
|
= e |
. |
|
x |
y |
|||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
y→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4
x sin x , |
|
|
|
x ~ tgx , |
|
cox 1 |
− |
x2 |
|
|
, |
|
|
ex |
(1+ x) , |
|
|
|
ax |
|
(1+ xln a), |
|
|
|
ln(1+ x) x , n |
|
|
1+ |
x |
- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
эквивалентные величины при x →0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
′ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для неопределенностей типа |
∞ |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
|
|
f |
(x) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
, |
|
|
используют правило Лопиталя |
lim |
= |
x→x0 |
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim g (x) |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
n |
′ |
|
|
|
|
|
|
n−1 |
|
|
|
|
1 ′ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(с) |
= 0, (x) |
=1, (x |
|
|
) |
|
= nx |
|
|
|
, |
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
, ( |
|
|
|
x ) |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
x ′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
(e |
|
) |
|
= e |
|
, (a |
) |
= a |
|
|
|
ln a , |
(ln x) |
|
= |
|
|
|
, |
|
(loga x) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
xln a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
(sin x) = cos x , |
(cos x) |
|
= −sin x , |
|
(tgx) |
= |
|
|
|
|
|
, |
|
|
(ctgx) = − |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(arcsin x)′ = |
|
|
1 |
|
|
|
|
, |
(arccos x)′ = − |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
1− x2 |
|
|
|
1− x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
(arctgx)′ = |
1 |
, |
|
|
|
|
|
(arcctgx)′ = − |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1+ x2 |
|
|
|
1+ x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
- таблица производных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
′ |
|
|
|
′ |
|
− fg |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
′ |
|
|
|
( f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= f |
|
± g |
, |
|
|
|
g ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fg |
, |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
(сf (x)) = cf ′(x) , ( f ± g ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= f g + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
- правила дифференцирования. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yt′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для параметрического задания x = x(t) , |
|
|
y = y(t) → |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xt′ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
yx |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
угла |
наклона |
|
|
с |
|
осью |
ox |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Геометрический смысл |
|
|
производной |
f |
(x) |
|
|
- |
|
|
|
тангенс |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tgϕ = f (x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
касательной в точке (x, f (x)) графика функции y = f (x) , т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y − f (x0 ) = f ′(x0 ) (x − x0 ) |
|
- уравнение касательной к линии y = f (x) в точке (x0 , y0 ) . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y − f (x ) = − |
|
1 |
|
|
|
|
|
(x − x ) - уравнение нормали к линии y = f (x) |
в точке (x , y ) . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
f ′(x0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Уравнение |
наклонной |
|
|
|
асимптоты |
|
|
y = kx +b |
|
|
для |
графика |
функции |
|
|
y = f (x) , |
где |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
k = lim |
f (x) |
, b = lim( f (x) −kx) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
смысл |
|
|
производной |
|
s (t) - |
скорость |
материальной точки, |
если путь |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Физический |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
определяется по закону s = s(t) , |
|
t - время. |
|
|
|
|
|
|
|
|
= f |
|
(x)dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Дифференциал функции |
|
f (x) |
равен df |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
f (x + ∆x) ≈ f (x) + f (x)∆x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Для приближенных вычислений используют формулу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = f (0) + |
|
f ′(0) |
x + |
|
|
f ′′(0) |
x2 |
+ |
|
f ′′′(0) |
x3 |
+... + |
f (n) (0) |
xn + R |
+1 |
(x) - формула Маклорена с |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
! |
|
|
|
|
|
|
|
3 ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
остаточным членом Rn+1 (x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
3. Функция двух переменных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
z′x = lim |
f (x + ∆x, y) − f (x, y) |
|
- частная производная функции z = f (x, y) в точке (x, y) по переменной x . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∆x→0 |
|
|
|
|
|
∆x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Другие обозначения этой производной: f x′, ддfx , ддxz , дхд f .
z′y |
= lim |
f (x, y + ∆y) − f (x, y) |
- частная производная функции z = f (x, y) в точке (x, y) по переменной y . |
|
∆y |
||||
|
∆y→0 |
|
Другие обозначения этой производной: f y′, ддfy , ддyz , ддy f .
5
|
z − z0 = f x′(x0 , y0 )(x − x0 ) + f y′(x0 , y0 )(y − y0 ) |
- |
уравнение |
касательной |
плоскости |
к |
поверхности, |
||||||
заданной уравнением z = f (x, y) в точке N(x0 , y0 , z0 ) |
поверхности, где z0 = f (x0 , y0 ) . |
|
|
|
|||||||||
|
x − x0 |
= |
y − y0 |
= |
z − z0 |
- уравнение нормали к поверхности, заданной уравнением |
z = f (x, y) |
в |
|||||
|
f x′(x0 , y0 ) |
f y′(x0 , y0 ) |
−1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
точке N(x0 , y0 , z0 ) поверхности, где z0 = f (x0 , y0 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Fx′(x0 , y0 , z0 )(x − x0 ) + Fy′(x0 , y0 , z0 )(y − y0 ) + Fz′(x0 , y0 , z0 )(z − z0 ) = 0 - уравнение касательной |
плоскости |
к |
|||||||||||
поверхности, заданной общим уравнением F(x, y, z) = 0 |
в точке |
N(x0 , y0 , z0 ) |
поверхности, |
т.е. |
для которой |
F(x0 , y0 , z0 ) = 0 .
x − x0 |
= |
y − y0 |
= |
z − z0 |
уравнение нормали . |
y |
|
Fx′(x0 , y0 , z0 ) |
Fy′(x0 , y0 , z0 ) |
Fz′(x0 , y0 , z0 ) |
M1 |
|
Производная функции z = f (M ) в точке M (x, y) |
в направлении вектора l : |
||||||||||
дz |
= lim |
∆z |
= |
lim |
f (M1 ) − f (M ) |
, где |
∆l = ± |
|
MM1 |
|
, |
т.е. длина отрезка MM1 , |
|
|
|||||||||||
дl |
∆l |
∆l |
|
|
||||||||
∆l→0 |
|
M1 →M |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
взятая со знаком (+), если MM1 ↑↑ l и со знаком (-), если MM1 ↑↓ l (рис 1).
Если l(cosα; cos β) , то
β |
l |
|
α |
|
x |
Рис. 1 |
дz |
= |
дz |
|
cosα + |
|
дz |
|
cos β |
– |
|
|
формула |
для |
вычисления |
производной |
в |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
дl |
дx |
|
дy |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
направлении вектора l . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
grad |
z = |
(z′x ; z′y )- градиент функции z = f (M ) |
в точке M (x, y) . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Градиент |
|
функции z = f (M ) |
|
в |
точке |
M (x, y) |
характеризует направление и величину максимальной |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
скорости возрастания этой функции в данной точке. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Для функции u = f (x, y, z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
дu |
= |
дu cosα + |
|
дu cos β + дu cos γ , |
где |
|
α, β,γ |
- углы, |
образованные |
вектором |
l |
соответственно с |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
дl |
|
дx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дy |
|
|
|
дz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
координатными осями Ox, Oy, |
Oz . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
grad u = |
(u′x ;u′y ;u′z |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
′′ |
= |
|
д2 z |
|
= |
|
д |
|
дz |
|
′′ |
|
|
|
д2 z |
= |
|
|
д |
дz |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
zxx |
|
дx |
2 |
|
дх |
|
|
|
|
zxy = |
|
дyдx |
|
дy |
дx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
дx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
′′ |
|
|
д z |
|
|
|
|
д |
|
дz |
|
′′ |
|
|
|
|
д z |
|
|
|
|
д |
дz |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= |
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
2 |
= |
|
|
|
|
|
- производные второго порядка от функции z = z(x, y) . |
||||||||||||||||||||
z yx |
|
дxдy |
|
дx |
|
дy |
|
z yy |
|
дy |
|
|
дy |
|
дy |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Если производные |
′′ |
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
(x, y) существуют в некоторой окрестности точки M (x, y) и непрерывны |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
zxy |
(x, y) , z yx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в самой точке M , то в этой точке |
|
′′ |
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
zxy |
= z yx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Функция |
|
|
|
z = f (x, y) |
имеет в точке |
|
|
M 0 (x0 , y0 ) |
локальный максимум (минимум), если существует такая |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
окрестность точки M 0 , в которой для любой точки M (x, y) выполняется неравенство |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f (x, y) ≤ f (x0 , y0 ) |
(f (x, y) ≥ f (x0 , y0 )). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Точки локального максимума и локального минимума называются точками экстремума. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Необходимое условие экстремума. Если функция z = f (x, y) |
имеет в точке M 0 (x0 , y0 ) |
экстремум и имеет |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в точке M 0 |
частные производные первого порядка, то в этой точке |
f x′(x0 , y0 ) = 0 и f y′(x0 , y0 ) = 0 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Точка, в которой выполняется условие |
|
f x′(x0 , y0 ) = 0 и |
f y′(x0 , y0 ) = 0 |
называется точкой возможного |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
экстремума (стационарной точкой). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Достаточные |
|
условия |
экстремума. Пусть |
M 0 (x0 , y0 ) |
|
- точка возможного экстремума функции |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z = f (x, y) и в |
|
|
некоторой |
окрестности |
этой |
точки |
существуют |
непрерывные |
частные |
производные второго |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
порядка. Обозначим |
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
(x0 , y0 ) = B , |
′′ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
f xx (x0 , y0 ) = A , |
f xy |
|
f yy (x0 , y0 ) = C . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Если AC − B 2 |
> 0 , то в точке |
M 0 |
|
|
|
функция имеет экстремум, |
причем при A < 0 - локальный максимум, при |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A > 0 - локальный минимум. Если AC − B 2 < 0 , то в точке M 0 нет экстремума. |
|
|
|
6