От без­размерной координаты ζ (в)

Отсюда сле­дует, что зависимость s от ζ справедлива только до некоторого значения ζ = ζ_ф и при ζ_ф значение s должно изменяться скачком от s = s_ф, до s = s_св, где s_св - содержание связанной воды. Таким образом, для устранения двузначности допускаем существование скачка насыщенности и вводим понятие фронта вытеснения, а безразмерная координата ζ_ф является координатой фронта вы­теснения. Можно показать, что

(18)

откуда

(19)

Соотношение (19) выражает тангенс угла наклона каса­тельной к кривой f(s), проведенной из точки s = s_св, тогда абс­цисса точки касания К будет равна s_ф. Графически ζ_ф и s_ф можно определить из условия равенства площадей, заштрихо­ванных на рис.1, в горизонтальными линиями. Отметим, что на рис.1, в s_н и s_нф обозначают насыщенность породы под­вижной нефтью в водонефтяной зоне и на фронте вытеснения.

Средняя водонасыщенность в зоне вытеснения до прорыва воды из пласта равна нефтеотдаче, точнее коэффициенту вытес­нения, который можно представить так:

(20)

Равенство объемов закачанной в пласт воды и вытесненной оттуда нефти можно записать:

(21)

откуда

(22)

т. е. интеграл в уравнении (22) (площадь, заштрихованная на рис. 1, в вертикальными линиями) равен единице. Здесь V_{ф -} объем пласта в зоне вытеснения, а ζ_ф = mVф/Q_Σ .Тогда

(23)

или

(24)

Отсюда, учитывая уравнение (19), приходим к выводу, что коэффициент безводной нефтеотдачи увеличивается с уменьшением отношения μ₀, т. е. с увеличением вязкости вытесняющей фазы и (или) уменьшением вязкости нефти.

Полученные формулы справедливы в безводный период раз­работки пласта, когда фронт вытеснения не подошел еще к концу пласта. Продолжительность безводного периода можно определить так. Поскольку ζ_ф = mVф/Q_Σ, то при V_ф = FL_к, где L_к - длина пласта, найдем

(25)

а по нему в момент времени подхода фронта к концу пласта

t = t_обв.

Для расчетов в водный период, т. е. при t > t_обв, можно счи­тать, что фронт вытеснения перемещается дальше в фиктивном продолжении пласта. Водонасыщенность составит на фиктив­ном фронте s_ф, а при x = L_к величину s_к. Неизвестную величину s_к находят по s_ф, а затем по s_к вычисляют другие параметры.

Модель Баклея - Леверетта косвенно учитывает капилляр­ные силы через фазовые проницаемости. Капиллярные силы более полно учитываются в модели Рапопорта - Лиса через экспериментальную функцию насыщенности (функцию Леве­ретта). Анализ показывает, что капиллярные силы "размазы­вают" фронт, поэтому при их учете скачок насыщенности отсут­ствует и насыщенность изменяется непрерывно до насыщенно­сти связанной водой. Экспериментами было обнаружено, что при постоянной скорости вытеснения распределение насыщенности в переходной области вблизи фронта не меняется со вре­менем, т. е. образуется так называемая стабилизированная зона. Она перемещается, не изменяя своей формы.

Экспериментами В. В. Девликамова по вытеснению нефти водой из модели горизонтального однородного пласта установ­лено, что за счет действия гравитационных сил происходит опе­режающее продвижение воды вдоль его нижней части, т. е. вер­тикальный сначала фронт воды растекается в нефтяную часть по подошве пласта и искривляется.

Рассмотренные решения применяются при оценочных расче­тах технологических показателей разработки месторождений, а также могут служить тестами при оценке точности численных методов решения более общих задач (неодномерное движение, сжимаемость фаз и др.).

Однако теория непоршневого вытеснения нефти водой разра­ботана только применительно к модели однородного пласта. Ре­альные пласты неоднородны как по толщине, так и по простира­нию, т. е. проницаемость отдельных слоев изменяется не только при переходе от слоя к слою, но и по длине. Если пласт доста­точно хорошо изучен и различие отдельных участков его по пло­щади велико, то его можно разбить на отдельные элементарные объемы прямолинейного пласта длиной l, общей толщиной h и шириной b. Для каждого элементарного объема строится своя модель слоисто-неоднородного пласта. При недостаточной изу­ченности пласта создается единственная модель слоисто-неод­нородного пласта для всей залежи в целом. Отметим, что при использовании численных методов пласт также разделяется на некоторое число конечно-разностных ячеек, которое ограничи­вается вычислительными возможностями ЭВМ и сложностью решаемых задач. Одна ячейка может иметь размеры в не­сколько десятков и даже сотен метров.

Считается, что каждый элементарный объем состоит из слоев с абсолютной проницаемостью, распределение которой описывается одним из вероятностно-статистических законов. В свою очередь слоистую неоднородность представляется воз­можным просто и достаточно точно учесть с помощью так на­зываемых модифицированных относительных проницаемостей, что позволяет преобразовать слоисто-неоднородный пласт в од­нородный, а последний рассмотреть совместно с моделью не­поршневого вытеснения. В этой связи рассмотрим на простей­шем примере принцип построения модифицированных относи­тельных проницаемостей.

Расположим слои в штабель, начиная со слоя с наибольшей проницаемостью (k →∞). Так как длина модели l мала по срав­нению с размерами пласта, то считаем, что вода мгновенно за­полняет каждый слой, начиная со слоя с наибольшей проницае­мостью. Принимаем поршневое вытеснение нефти водой из каждого слоя. Таким образом, в какой-то момент времени вытесне­ние нефти произошло из слоев, суммарная толщина которых со­ставляет h_к, проницаемость каждого из которых не меньше k. В этих слоях фильтруется только вода при наличии остаточной нефтенасыщенности s_0н. В остальных же слоях движется только нефть; в них содержится связанная вода с насыщенностью s_св. Расход воды dq в слой элемента пласта толщиной dh_к при перепаде давления ∆р можно записать

(26)

В полностью водонасыщенный слой пласта (нефтенасыщенность равна нулю) расход воды составил бы

(27)

Эти уравнения можно переписать в виде

(28)

(29)

Тогда расходы воды в слои с суммарной толщиной h_к, кото­рой соответствует проницаемость k, и в полностью водонасы­щенный пласт с толщиной h будут выражаться интегралами:

(30)

(31)

Отсюда модифицированную относительную проницаемость пласта для воды определим в виде

(32)

Аналогично можно записать модифицированную относитель­ную проницаемость пласта для нефти

(33)

В выражениях (32) и (33) можно принимать различные зависимости относительных проницаемостей k_в и k_н от насыщенностей, которые являются функциями абсолютной проницае­мости пласта. Вместе с тем модифицированные относительные проницаемости - это функции модифицированной водонасыщенности. Объем воды в элементе пласта равен сумме объемов связанной воды в необводнившихся слоях и воды в обводнившихся слоях, т. е.

(34)

Так как поровый объем пласта V_n = mlbh, то модифициро­ванная водонасыщенность

(35)

Модифицированные относительные проницаемости опреде­ляют часто путем сопоставления расчетных и фактических дан­ных о процессе заводнения. Они косвенно учитывают также си­стему разработки, особенности эксплуатации скважин и др.