6. Математические модели

движения жидкости

Для описания процессов гидродинамики используется уравнение Навье-Стокса. Однако следует признать, что использование его имеет ограничение по следующим моментам:

1. если имеет место турбулентное течение, уравнение может иметь не единое решение, поэтому количество критериев подобия может быть недостаточно;

2. сложным в математическом отношении является задание границ потока и определение краевых условий, поскольку понятие границы является весьма неточным в целом ряде случаев, например, стенка может быть нетвердая, водопроницаемая, размываемая;

3. сложность задания границ потока заставляет выполнять дополнительные эксперименты, что искусственно снижает точность применения математических моделей.

Последовательно рассмотрим уравнение сохранения массы и импульса, модель невязкой жидкости, модель вязкой жидкости, турбулентное течение жидкости.

Уравнение сохранения массы

Уравнение сохранения массы частиц для многофазных сред (с включением в жидкость твердых и газообразных включений) имеет следующий вид:

где W – объем среды;

ρ – плотность;

i – индекс среды.

Интегрируя это выражение по объему можно получить фундаментальный закон сохранения расхода

U_iW_i = const,

где U_i – скорость; W_i – живое сечение потока.

Закон сохранения импульса

Закон сохранения импульса представляет собой второй закон Ньютона в самом общем виде, но учитывающий силы поверхностного натяжения, возникших при изменении объема:

где σ – вектор поверхностного натяжения;

Ω – поверхность, ограниченная объемом.

Физический смысл: действующие на элементарный объем Δw_i силы F_i вызывают изменение скорости этого объема и обусловливают возникающую на его поверхности силу поверхностного натяжения. И наоборот, физический смысл уравнения может трактоваться по другому: возникающее под действием внутренних и внешних сил натяжение способствует изменению скорости жидкостного потока.

Уравнение сохранения импульса имеет самый общий характер и применимо для всех возможных случаев. Различия для каждого такого случая начинаются с раскрытия связи между натяжением жидкости и кинематическими характеристиками (сила, скорость, ускорение). Применив преобразование подобия к данному уравнению можно получить большинство критериев динамического подобия.

Невязкая жидкость

В случае невязкой жидкости можно получить гидродинамические модели достаточно хорошо приближающие результаты гидравлического моделирования к процессам на реальном объекте, особенно в тех случаях, когда диссипация (переход механической энергии в тепловую) не существенна, а основные силы представлены силами инерции и силами давления.

Силы давления представлен в этом случае силами внутреннего давления, в качестве которого выступает gradp и силами внешнего давления F. Эти силы влияют на изменения скорости, обусловленные изменением скорости во времени и изменением скорости в направлениях движения, т.о. уравнение для невязкой жидкости примет вид:

Преобразовав это уравнение, аналогично уравнению Навье–Стокса, получим соответствующие критерии подобия.

Физический смысл уравнения для невязкой жидкости состоит в следующем: изменения внешнего давления F и внутреннего p вызывают изменения скорости жидкости во времени и пространстве.

Вязкая реальная жидкость

Основное отличие от идеальной (невязкой) жидкости является наличие в ней процессов диссипации энергии, которые обусловлены наличием вязкого трения между частицами и слоями. Фактором, обусловливающим трение, является тензор напряжений слоев жидкости, имеющих разную скорость. Такой тензор (вектор напряжения) предполагает наличие в моделях для вязкой жидкости линейной функции от скорости деформации

При условии несжимаемости жидкости это выражение, дополненное исходным уравнением сохранения импульса, позволяет получить уравнение Навье-Стокса для вязкой жидкости:

где  - динамическая вязкость;

 - кинематическая вязкость, =/.

Физический смысл данного уравнения: изменение скорости течения жидкости во времени и пространстве обусловлено действием на элементарный объем комбинаций следующих сил:

• внешних сил F;

• градиентом внутреннего давления p;

• вязкостных сил ²U;

• диссипацией механических сил /3 grad divU.

Это уравнение реальной жидкости очень важно для получения основных критериев подобия, потому что позволяет учитывать диссипацию энергии с учетом реальных ее свойств. Это уравнение впервые дает нам при соответствующих преобразованиях значение универсального критерия Рейнольдса, который лежит в основе большинства процессов физического моделирования и позволяет трактовать в большинстве случаев процессы, происходящие на моделях и реальных объектах. Например, такой параметр, как отношение длины шлейфа завихрений после шарика, помещенного в движущуюся жидкость, к диаметру шарика с увеличением критерия Рейнольдса становится независимым от величины этого критерия.

В этом случае говорят об автомодельности, от какого-либо критерия. Такая независимость имеет место по достижении критерием своего критического значения. В этом случае стационарные течения со сложившимся распределением скоростей переходят в неустойчивые, так называемые турбулентные. На языке математики уравнение Навье-Стокса приобретает множество неоднозначных решений.

Турбулентные течения

Три признака турбулентности:

• наличие поперечного течения между слоями;

• случайный характер изменения скоростей и давления в потоке;

• наличие завихрений и высокая степень диссипации энергии.

Практическое отличие турбулентного течения от ламинарного в следующем: при многократном воспроизведении условий движения жидкости в одной и той же точке при одних и тех же начальных и конечных условиях мгновенное значение скорости и давления будет различно.

Это означает: дважды замеряя значения мгновенных давления и скорости в точке, получим разные значения, причем среднее значение одно и то же.

Турбулентность обусловливает и особенности уравнения Навье – Стокса при значениях Re, близких к критическим, а именно: неустойчивость стационарных решений и неоднозначность полученных результатов. В плане задач физического моделирования турбулентность заставляет увеличить число измерений и ввести в уравнение время и начальные условия. Проблема описания турбулентных течений состоит в замыкании системы уравнений Навье-Стокса. В самом общем случае в настоящее время вполне надежных способов этого не существует. Для плоского одномерного течения Прандтлем было предложено допущение, что амплитуда предельной скорости U пропорциональна его изменению. Это предложение распространили на поперечную скорость потока. В конечном виде было предложено понятие турбулентной вязкости, которая зависит от производных каждой составляющей скорости

где l² – линейная компонента турбулентного потока, так же как линейная компонента критерия Re.

Это уравнение, дополнительно привнесенное в уравнение Навье-Стокса, достаточно корректно позволяет учесть большинство турбулентных процессов, происходящих в жидкости.

Описанный способ учета турбулентности распространяется на все ядро потока, за исключением тонкого слоя, ограниченного стенками потока и его ядром, который носит название пограничного слоя. В этом случае действуют другие, более сложные соотношения.