УМК. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
.pdf4.Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам / Д.Т. Письменный. – 5-е изд.
– М.: Айрис-пресс, 2010. – 287 c.
Дополнительнаялитература
1.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие / В.Е. Гурман. – 12-е изд. – М.: Юрайт, 2013. – 479 c.
2.Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб-
ник / Н.Ш. Кремер. – 3-е изд. – М.: ЮНИТИ, 2009. – 551 c.
Тема 6. Основы статистического описания и теория оценок
Занятия 9, 10
Вопросыдляобсуждения
1.Методы оценивания.
2.Точечная оценка параметров случайной величины.
3.Интервальная оценка параметров.
Основнаялитература
1.Вентцель Е.С. Теория вероятностей: учебник / Е.С. Вентцель. – 11-е
изд., стер. – М.: КНОРУС, 2013. – 658 c.
2.Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособие / В.Е. Гмурман. – 11-е изд., перераб. и доп. – М.: Юрайт, 2013. – 404 c.
3.Курзенев В.А. Основы математической статистики для управленцев: учеб. пособие / В.А. Курзенев. – СПб.: Изд-во СЗАГС, 2005. – 206 c.
4.Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам / Д.Т. Письменный. – 5-е изд.
– М.: Айрис-пресс, 2010. – 287 c.
Дополнительнаялитература
1.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие / В.Е. Гурман. – 12-е изд. – М.: Юрайт, 2013. – 479 c.
20
2.Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб-
ник / Н.Ш. Кремер. – 3-е изд. – М.: ЮНИТИ, 2009. – 551 c.
Тема 7. Проверка статистических гипотез
Занятия 11, 12
Вопросыдляобсуждения
1.Проверка гипотезы о среднем.
2.Проверка гипотезы о доле признака.
3.Проверка гипотезы о равенстве средних двух распределений.
4.Проверка гипотезы о дисперсии и среднеквадратическом отклонении.
5.Проверка гипотезы о законе распределения, Критерии согласия.
Основнаялитература
1.Вентцель Е.С. Теория вероятностей: учебник / Е.С. Вентцель. – 11-е
изд., стер. – М.: КНОРУС, 2013. – 658 c.
2.Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособие / В.Е. Гмурман. – 11-е изд., перераб. и доп. – М.: Юрайт, 2013. – 404 c.
3.Курзенев В.А. Основы математической статистики для управленцев: учеб. пособие / В.А. Курзенев. – СПб.: Изд-во СЗАГС, 2005. – 206 c.
4.Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам / Д.Т. Письменный. – 5-е изд.
– М.: Айрис-пресс, 2010. – 287 c.
Дополнительнаялитература
1.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие / В.Е. Гурман. – 12-е изд. – М.: Юрайт, 2013. – 479 c.
2.Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб-
ник / Н.Ш. Кремер. – 3-е изд. – М.: ЮНИТИ, 2009. – 551 c.
21
8. СЛОВАРЬ ТЕРМИНОВ
Вариационный ряд. Дискретным вариационным рядом называют упорядо-
ченную совокупность вариант признака с учетом их частоты. При большом числе различных вариант весь диапазон изменения признака разбивают на интервалы и результаты группировки сводят к интервальному вариационному ряду, в котором частоты относятся не к отдельным вариантам, а ко всему интервалу. Графическое представление вариационного ряда: для дискретного – полигон (ломаная линия), для интервального – гистограмма (столбограмма).
Вероятность события. Существует аксиоматическое, классическое и статистическое определение вероятности случайного события. Аксиоматическое определение состоит из трех аксиом и является определяющим. В классическом определении исходной схемой является полная группа равновозможных событий; в статистическом определении вероятности исходной схемой является схема независимых испытаний на практике. Под классической вероятностью понимают отношение числа благоприятных исходов к числу всех равновозможных исходов, а под статистической вероятностью – число, около которого колеблется частота события (отношение числа наступлений события к числу испытаний).
Генеральная совокупность. Статистической (генеральной) совокупно-
стью называют множество однородных объектов, подлежащих статистическому изучению на основе случайного эксперимента, эквивалентного равновероятному выбору элементов из множества с возвращением. Генеральную совокупность можно рассматривать как множество реализаций (наблюдений) некоторой случайной величины.
Дисперсия случайной величины есть математическое ожидание квадрата уклонения от среднего
DX = М(X −МX )2 = ∫(x −МX )2 p(x)dx, DX = ∑n (X i −МX )2 Pi .
i=1
22
Невозможным событием называют такой исход – событие, которое никогда не происходит при осуществлении данного эксперимента.
Достоверным событием называют такой исход, который всегда происходит при осуществлении данного эксперимента.
Независимость случайных величин. Случайные величины называют неза-
висимыми, если их совместная функция распределения (плотность распределения) может быть представлена в виде произведения одномерных функций распределения (плотностей распределения)
F (x, y)= F1 (x) F2 (y), p(x, y)= p1 (x) p2 (y).
Независимость событий. Независимыми событиями называют такие события, когда вероятность наступления одного не зависит от исхода другого.
Основные числовые характеристики случайных величин. Числовая ха-
рактеристика положения случайной величины, определяемая через операцию взвешенного суммирования (осреднения), называется математическим ожиданием или средним случайной величины.
МX = +∞∫x p(x)dx, |
МX = ∑n |
X i Pi . |
−∞ |
i=1 |
|
Оценка параметров генеральной совокупности. Под точечной оценкой параметра понимают числовую функцию результатов наблюдений, значение которой ближе всего к неизвестному параметру. Под интервальной оценкой параметра понимают доверительный интервал как интервал со случайными границами, где с заданной доверительной вероятностью находится неизвестный параметр.
Плотность распределения. Для непрерывных случайных величин (случайная величина может принять любое значение в заданном интервале) может быть задана плотность распределения. Это есть неотрицательная функция, несобственный интеграл от которой равен единице (как вероятность достоверного события), а вероятность попадания случайной величины в заданный интервал определяется через площадь криволинейной трапеции (через определенный интеграл с соответствующими пределами интегрирования).
23
p(x)≥ 0, |
+∞∫p(x)dx =1, P(a < x < b)= ∫b |
p(x)dx |
|
|
−∞ |
a |
. |
|
|
||
Понятие случайной величины. Под случайной величиной понимают вели-
чину, которая в зависимости от случая может принять то или иное значение, неизвестно заранее какое именно.
Противоположным событием к данному событию называют исход – событие, которое происходит только в том случае, если не происходит данное событие. События образуют полную группу, если они попарно несовместны, а их объединение (сумма) является достоверным событием.
Свойства вероятностей. При разных определениях вероятности случайного события вероятности имеют одинаковые свойства. Основными из них являются: а) вероятность не может быть меньше нуля и больше единицы; б) вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий; в) вероятность противоположного события находится как разность единицы и вероятности исходного события.
Связь и регрессия случайных величин. Связь условной средней одной случайной величины от соответствующих значений другой величины называется корреляционной связью, а уравнение связи называется урав-
нением регрессии.
Случайные события. Под случайным событием понимают всякий исход, который может произойти и не произойти в зависимости от случая.
Статистическим критерием называют однозначно определенное правило, руководствуясь которым проверяемую гипотезу отклоняют или не отклоняют. Под критериями согласия понимают статистические критерии для проверки гипотезы о согласованности выборочного распределения с теоретическим генеральным распределением.
Функция распределения случайной величины. Функция распределения
случайной величины есть вероятность события, что случайная величина примет значение, меньше заданного числа
F (x)= P(X < x)
24
9.ВОПРОСЫ К ЗАЧЕТУ
1.Понятие случайного события. Алгебра событий.
2.Определение вероятностей (классическое, статистическое).
3.Основные свойства вероятности.
4.Вероятностное пространство и аксиоматика.
5.Условная вероятность, формула умножения вероятностей.
6.Теорема о полной вероятности.
7.Формула Байеса.
8.Независимость случайных событий.
9.Теорема сложения и умножения для случайных событий.
10.Независимые испытания, схема Бернулли (вероятность успеха).
11.Наивероятнейшее число успехов в серии испытаний.
12.Предельная теорема Бернулли.
13.Теоремы Муавра-Лапласа.
14.Случайная величина и функция распределения.
15.Дискретные случайные величины, их характеризация.
16.Непрерывные случайные величины, плотность распределения.
17.Характеристики положения случайной величины.
18.Характеристики рассеяния случайной величины.
19.Биномиальное распределение и распределение Пуассона.
20.Равномерное распределение и показательное распределение.
21.Нормальное распределение и его основные свойства.
22.Стандартное нормальное распределение. Функции Гаусса и Лапласа.
23.Система случайных величин. Функция ее распределения.
24.Условные функция и плотность распределения случайных величин.
25.Независимость случайных величин. Условие независимости.
26.Понятие стохастической зависимости случайных величин.
27.Корреляционная зависимость случайных величин.
25
28.Коэффициент корреляции и его свойства.
29.Ранговая корреляция.
30.Функция случайных величин, теорема о плотности распределения.
31.Распределение суммы случайных величин.
10.ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
1.Закон больших чисел. Теорема Чебышева.
2.Неравенство Маркова, неравенство Чебышева.
3.Центральная предельная теорема (теорема Ляпунова).
4.Статистическая совокупность: выборочная и генеральная.
5.Средние статистических совокупностей. Теорема Боярского.
6.Характеристики рассеяния совокупностей.
7.Моменты и характеристики формы совокупностей.
8.Первичная обработка данных. Вариационный ряд. Эмпирическая функция распределения.
9.Графическое представление вариационных рядов.
10.Выборочные наблюдения. Способы формирования выборки.
11.Взаимосвязь между общими и групповыми средними и дисперсиями.
12.Точечная оценка параметра. Свойства состоятельности, несмещенности и эффективности.
13.Метод аналогии и наименьших квадратов нахождения точечных оценок.
14.Метод максимального правдоподобия нахождения точечных оценок.
15.Предельная ошибка выборки. Достаточная статистика.
16.Интервальная оценка параметра. Ее суть.
17.Интервальная оценка средней генеральной совокупности при известной дисперсии нормального распределения.
26
18.Интервальная оценка средней при неизвестной дисперсии нормальной совокупности.
19.Интервальная оценка средней при типической выборке.
20.Интервальная оценка дисперсии нормальной совокупности
21.Оценка доли признака.
22.Общая постановка задачи о проверке статистических гипотез.
23.Общая схема проверки гипотез.
24.Статистический критерий. Критическая область.
25.Проверка гипотезы на сравнение средней с нормативом.
26.Сравнение двух дисперсий нормальных совокупностей.
27.Парные сравнения.
28.Ранговые критерии при непараметрических сравнениях.
29.Критерий согласия.
27
11.ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ
1.Бросают два кубика. Возможные события: А – «на первом кубике выпала четверка», событие В – «на втором кубике выпала пятерка» являются:
Варианты ответов:
1)Совместными.
2)Независимыми.
3)Несовместными.
4)Зависимыми.
2.Несовместные события А, В, С не образуют полную группу событий, если их вероятности равны:
Варианты ответов:
1)P( A) = P(B) = P(C) =1 / 3.
P(A) =1/ 2
2)P(B) =0,2 . P(C) =0,3
P( A) = 0,2
3)P(B) = 0,2 . P(C) = 0,3
P( A) = 0,4
4)P(B) = 0,1 . P(C) = 0,3
3.В партии 10 деталей, 5 из них бракованные. Какова вероятность из трех наугад выбранных деталей, одна окажется бракованная?
Варианты ответов:
1)8/252.
2)5/33.
3)5/12.
4)5/21.
5)16/252.
28
4.Слово «стена» составлено из букв, каждая из которых нанесена на отдельной карточке. Найти вероятность того, что буквы, взятые в случайном порядке, составят это слово.
Варианты ответов:
1)1/40.
2)1/120.
3)3/240.
4)1/360.
5.Радист трижды вызывает станцию. Вероятность того, что будет принят первый вызов, равна 0,2, второй 0,3, третий 0,4. По условиям приема все успешные вызовы независимы. Найти вероятность того, что радист свяжется со станцией хотя бы один раз.
Варианты ответов:
1)0,748.
2)0,608.
3)0,712.
4)0,664.
5)0,705.
6.Первый стрелок поражает мишень Р1 = 0,6; второй – с вероятностью Р2 = 0,5; третий – с вероятностью Р3 = 0,4. Какова вероятность того, что все стрелки поразили мишень?
Варианты ответов:
1)0,14.
2)0,12.
3)0,192.
4)0,1.
5)0,096.
6)0,22.
29