УМК. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
.pdf7.Есть 3 завода, производящих одну и ту же продукцию. При этом 1- й завод производит 25%, 2-й завод – 35% и 3-й завод – 40% всей производимой продукции. Брак составляет 5% от продукции 1-го завода, 3% от продукции 2-го и 4% от продукции 3-го завода. Вся продукция смешивается и поступает в продажу. Найти вероятность купить бракованное изделие.
Варианты ответов:
1) 0,14.
2) 0,039.
3) 0,0495.
4) 0,041.
5) 0,045.
6) 0,04.
8.Пассажир может обратиться за получением билета в одну из трех касс. Вероятности обращения в каждую кассу зависят от их местоположения и равны соответственно:
p (Н1 )= 0, 4; p (Н2 )= 0, 4; p (Н3 )= 0, 2 .
Вероятность того, что к приходу в кассу пассажира будут в кассе билеты равна соответственно:
P( A / H1 ) = 0, 7; P( A / H 2 ) = 0, 4; P( A / H 3 ) = 0,8 .
Пассажир направился за билетом и приобрел его в одной из касс. Найти вероятность того, что это была первая касса.
Варианты ответов:
1)1/3.
2)0,47.
3)0,59.
4)0,2.
5)0,41.
6)0,34.
30
9. Найти математическое ожидание и дисперсию для дискретной случайной величины, ряд распределения которой имеет вид
|
X |
0 |
|
2 |
3 |
4 |
|
Pi |
0,2 |
|
0,4 |
0,2 |
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
Варианты ответов: |
|
|
|
|||
1) |
E( X ) = 2, 2; D( X ) =1,76 . |
|
|
|
||
2) |
E( X ) =1, 4; D( X ) = 4, 24 . |
|
|
|
||
3) |
E(X ) = 2,8; D(X ) =1,76 . |
|
|
|
||
4) |
E( X ) = 2,8; D( X ) = 4,16 . |
|
|
|
||
5) |
E(X ) =1,2; D(X ) =5,76. |
|
|
|
||
6) |
E( X ) =1, 2; D( X ) = 4,76 . |
|
|
|
||
10. Задана функция распределения случайной величины:
|
0, при x ≤0 |
|
|
F(x) = x / 4,при 0 < x ≤4 . |
|
|
1, при x >4. |
|
|
Найти математическое ожидание и дисперсию.
Варианты ответов:
1) |
E( X ) = 2, 2; D( X ) =1,76 . |
||
2) |
E( X ) = 2; D( X ) = 4 / 3. |
|
|
3) |
E( X ) = 0; D( X ) = 2 / 3. |
|
|
4) |
E( X ) = 0; D( X ) = 4 / 3. |
|
|
5) |
E( X ) = 2; D( X ) = 211 . |
|
|
|
3 |
|
|
6) |
E( X ) = 7; D( X ) = 4 / 3. |
|
|
11. Функция распределения случайной величины X задана следую- |
|||
щим образом: |
|
|
|
|
|
|
0, при x ≤ 0 |
|
F(x) = |
|
Аsin x, при 0 < x ≤ π/ 2 . |
|
|
||
|
|
|
1, при x > π/ 2. |
|
|
|
|
31
Найти А и плотность распределения случайной величины.
Варианты ответов:
A=1;
1)p(x) = cos x, x [0, π/ 2].0, x [0, π/ 2]
A=1;
2)p(x) = sin x, x [0, π/ 2].0, x [0, π/ 2]
A = 2;
|
|
|
[ |
0, π |
/ 2 |
] |
|
||
3) |
2sin x, x |
|
|
|
. |
||||
p(x) = |
0, x [0, π/ 2] |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = 2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
2cos x, x |
|
0, π/ 2 |
]. |
|
||||
|
[ |
|
|
|
|
||||
|
p(x) = |
0, x [0, π/ 2] |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12.Построить ряд распределения для случайной величины, распределенной по биномиальному закону, если число испытаний равно 4, а вероятность успеха в одном испытании p = 0,4.
|
Варианты ответов: |
|
|
|
|
||
1) |
|
|
|
|
|
|
|
Xi |
|
0 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
pi |
|
0,1296 |
|
0,3456 |
0,3456 |
0,1536 |
0,0256 |
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xi |
|
0 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
pi |
|
0,0625 |
|
0,25 |
0,375 |
0,25 |
0,0625 |
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
Xi |
|
0 |
|
1 |
2 |
4 |
|
pi |
|
0,0256 |
|
0,1536 |
0,3456 |
0,3456 |
0,1296 |
4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xi |
|
0 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
pi |
|
0,2401 |
|
0,4116 |
0,2646 |
0,0756 |
0,0081 |
32
13. Найти моду вариационного ряда:
1 |
2 |
3 |
3 |
4 |
5 |
6 |
5 |
8 |
3 |
Варианты ответов:
1)2;
2)3;
3)4;
4)5;
5)8.
14.Найти медиану вариационного ряда:
1 |
2 |
3 |
3 |
4 |
5 |
6 |
5 |
8 |
3 |
Варианты ответов:
1)2;
2)3,5;
3)4,5;
4)5;
5)8.
15.Если каждый элементы выборки уменьшить в 4 раза, то:
Варианты ответов:
1)Выборочное среднее уменьшится в 4 раза, выборочная дисперсия
в8 раз;
2)Выборочное среднее уменьшится в 4 раза, выборочная дисперсия
в4 раза;
3)Выборочное среднее уменьшится в 4 раза, выборочная дисперсия не изменится;
4)Выборочное среднее уменьшится в 4 раза, выборочная дисперсия
в16 раз.
33
16. Найти выборочное среднее вариационного ряда:
1 |
|
2 |
3 |
3 |
4 |
5 |
6 |
5 |
8 |
3 |
Варианты ответов: |
|
|
|
|
|
|
||||
1) |
2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
4; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
4,5; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
5; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) |
8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17. Найти выборочноесреднее для интервального вариационного ряда:
Интервал |
|
[0,4] |
|
[4, 8] |
[8,12] |
[12,16] |
[16,20] |
|
Частота |
|
5 |
|
20 |
25 |
25 |
5 |
|
Варианты ответов: |
|
|
|
|
||||
1) |
10; |
|
|
|
|
|
|
|
2) |
10,25; |
|
|
|
|
|
|
|
3) |
12; |
|
|
|
|
|
|
|
4) |
14; |
|
|
|
|
|
|
|
5) |
16. |
|
|
|
|
|
|
|
18. |
Найти исправленную выборочную дисперсию вариационного ря- |
|||||||||||
|
да. Точность вычисления до двух десятичных знаков. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
3 |
4 |
5 |
6 |
5 |
|
8 |
3 |
|
Варианты ответов:
1)2,11;
2)4,22;
3)4,5;
4)7,3;
5)8,1.
34
19.Найти доверительный интервал оценки математического ожидания для выборки размером 100 наблюдений, если квантиль распределения равен 1,96. Среднее арифметическое равно 12,5; а среднеквадратическое отклонение равно 2.
Варианты ответов:
1)[12,108;12,892]
2)[12,108;13,892]
3)[11,108;12,892]
4)[10,108;14,892]
20.Решите следующее задание и дайте свободный ответ.
Сточностью до двух десятичных знаков найти доверительный интервал оценки дисперсии для выборки, если выборочная дисперсия равна 16. При числе степеней свободы ν = 20 −1 определены критические значения:
χ2кр1 (1−α/ 2,ν) = χ2кр(0,95,19) =10,1;
χ2кр2 (α/ 2,ν) =χ2кр(0,05,19) =30,1.
21.Проверить статистическую гипотезу о том, что математическое ожидание случайной величины равно 20 при условии, что рассматривается двусторонняя критическая гипотеза, если размер выборки равен 100, известна дисперсия случайной величины 36, а также критическое значение статистического критерия равно 1,96. Выборочное среднее равно 19,5.
Варианты ответов:
1)Выполняется нулевая гипотеза;
2)Выполняется единичная гипотеза;
3)Нельзя принять решение о гипотезе;
4)Необходимо изменить уровень значимости.
35
22. При выборке N = 50 построена гистограмма частот:
Определить значение m/h для пятого интервала.
23.При выборке N = 50 построена гистограмм относительных частот (эмпирическая плотность распределения):
Определить значение m/h для четвертого интервала.
36
24. График эмпирической функции распределения имеет вид:
Определить аналитическую форму данной функции:
|
|
0; x ≤ 4; |
|
|
|
|
) |
0,2; x (4;10]; |
1) |
|
|
F (x) = 0,4; x (10;16]; |
||
|
|
0,7; x (16;20]; |
|
|
|
|
|
1; x > 20. |
|
|
|
|
|
0; x < 4; |
|
|
|
|
) |
0,2; x [4;14); |
2) |
|
|
F (x) = 0,4; x [14;16); |
||
|
|
0,7; x [16;20); |
|
|
|
|
|
1; x ≥ 20. |
|
|
|
|
|
0; x ≤ 4; |
|
|
|
|
) |
0,3; x (4;14); |
3) |
|
|
F (x) = 0,4; x (14;16); |
||
|
|
0,7; x (16;20); |
|
|
|
|
|
1; x > 20. |
|
|
|
|
|
0; x ≤ 4; |
|
|
|
|
) |
0,3; x (4;16]; |
4) |
|
|
F (x) = 0,4; x (16;18]; |
||
|
|
0,7; x (18;20]; |
|
|
|
1; x > 20.
37
25.С точностью до двух знаков найти коэффициент корреляции между себестоимостью изделия X (тыс. руб.) и прибылью Y (тыс. руб.) по следующим данным:
Ковариационный момент равен 10. D(X) = 25; D(Y) = 36.
Варианты ответов:
1)0,33.
2)– 0,42.
3)– 0,53.
4)0,5.
38
12. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ
Темы курса следует изучать в той последовательности, в какой они приведены в лекциях. При изучении каждой темы следует:
•внимательно прочитать текст лекции (раздела);
•разобрать приведенные в лекции примеры решения задач;
•ответить на контрольные вопросы теоретического характера;
•решить практические задания, добиваясь совпадения с приведенными ответами.
Контрольные работы выполняются в основном на практических занятиях. При неудачном выполнении работы студенту дается возможность исправить работу, но это необходимо сделать до конца семестра. В противном случае студент может быть не допущен до сдачи экзамена или зачета.
39