Математический анализ УМК
.pdfОсновнаялитература
1.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. – М: Айрис-пресс, 2009.
2.Шипачев В.С. Высшая математика: базовый курс. – М.: Юрайт, 2011.
Дополнительная литература
1.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: учеб. пособие. – СПб.: Профессия, 2002.
2.Высшая математика для экономистов: учебник / под ред. Н.Ш. Кремера.
–М.: ЮНИТИ, 2010.
3.Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: учебник. – М.: Дело и Сервис, 2009.
4.Кириллов А.Л., Клоков В.И., Полянская С.В. Практикум по математике.
–СПб.: Изд-во СЗАГС, 2009.
Занятие 19. Интегральное исчисление
Вопросыдляобсуждения
1.Непосредственное интегрирование.
2.Интегрирование по частям
3.Замена переменных.
4.Интегрирование рациональных функций.
5.Свойства определенного интеграла.
6.Несобственный интеграл.
Основнаялитература
1.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. – М: Айрис-пресс, 2009.
2.Шипачев В.С. Высшая математика: базовый курс. – М.: Юрайт, 2011.
Дополнительная литература
1.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: учеб. пособие. – СПб.: Профессия, 2002.
30
2.Высшая математика для экономистов: учебник / под ред. Н.Ш. Кремера.
–М.: ЮНИТИ, 2010.
3.Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: учебник. – М.: Дело и Сервис, 2009.
4.Кириллов А.Л., Клоков В.И., Полянская С.В. Практикум по математике.
–СПб.: Изд-во СЗАГС, 2009.
Тема 10. Числовые ряды
Занятия 20, 21. Числовые ряды
Вопросыдляобсуждения
1.Свойства числовых рядов.
2.Признаки сравнения числовых рядов.
3.Признак Даламбера.
4.Радикальный и интегральный признак Коши.
5.Знакопеременные числовые ряды.
6.Условная и абсолютная сходимость числовых рядов.
Основнаялитература
1.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. – М: Айрис-пресс, 2009.
2.Чесноков Е.А. Основы математического анализа. – СПб.: СЗАГС, 2010.
3.Шипачев В.С. Высшая математика: базовый курс: учеб. пособие. – М.:
Юрайт, 2011.
Дополнительная литература
1.Высшая математика для экономистов: учебник / под ред. Н.Ш. Кремера.
– М.: ЮНИТИ, 2010.
2.Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: учебник. – М.: Дело и Сервис, 2009.
31
Тема 11. Функциональные ряды
Занятие 22. Функциональные ряды
Вопросыдляобсуждения
1.Степенные ряды.
2.Признаки сходимости степенных рядов.
3.Радиус (интервал) сходимости.
4.Тригонометрические ряды.
Основнаялитература
1.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. – М: Айрис-пресс, 2009.
2.Чесноков Е.А. Основы математического анализа. – СПб.: СЗАГС, 2010.
3.Шипачев В.С. Высшая математика: базовый курс: учеб. пособие. – М.:
Юрайт, 2011.
Дополнительная литература
1.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: учеб. пособие. – СПб.: Профессия, 2002.
Занятие 23. Числовые и функциональные ряды
Вопросыдляобсуждения
1.Свойства числовых рядов.
2.Признаки сравнения числовых рядов.
3.Признак Даламбера.
4.Радикальный и интегральный признак Коши.
5.Знакопеременные числовые ряды.
6.Степенные ряды.
7.Признаки сходимости степенных рядов.
Основнаялитература
1.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. – М: Айрис-пресс, 2009.
32
2.Чесноков Е.А. Основы математического анализа. – СПб.: СЗАГС, 2010.
3.Шипачев В.С. Высшая математика: базовый курс: учеб. пособие. – М.:
Юрайт, 2011.
Дополнительная литература
1.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: учеб. пособие. – СПб.: Профессия, 2002.
2.Высшая математика для экономистов: учебник / под ред. Н.Ш. Кремера.
– М.: ЮНИТИ, 2010.
33
8. СЛОВАРЬ ТЕРМИНОВ
1.Понятие функции
Пусть X – числовое множество. Если существует правило f, которое всякому x X ставит в соответствие единственное число f(x), то говорят, что на множестве X задана функция f(x).
2.Понятие последовательности
Последовательностью называется функция, заданная на множестве натуральных чисел.
3.Предел последовательности
Постоянное число a называется пределом последовательности xn, если для любого ε > 0 найдется такое натуральное число N, что для всех n > N выполняется | xn – a | < ε.
4.Понятие производной
Пусть f(x) определена в окрестности точки x0. Производной функции в точке x0 называется предел
f (x0 ) = lim |
f (x0 + x) − f (x0 ) |
|
x |
||
x→0 |
5.Правила дифференцирования. Линейность
(α(u+ v))′= α u′+α v′; α – число
6.Правила дифференцирования. Производная произведения
(uv)′= u′v + v′u
7. Производные элементарных функций (табличные производные)
(1)′ = 0; (x)′ = 1; (xn)′ = nxn-1; (ex)′ = ex; (sin x)′ = cos x; (cos x)′ = – sin x ;
(ln x)' =1 / x
8.Производная сложной функции
Пусть имеется сложная функция y = y (x (t)), тогда производная равна y′t = y′x(x(t)) x′(t), или в других обозначенияхdydt = dydx dxdt
34
9.Критическая точка функции
Критической точкой функции f(x) называют точку x, в которой производная обращается в нуль, т.е. f ′(x)=0.
10. Признаки возрастания функции
Функция возрастает в точке x, если ее производная в этой точке больше нуля, т.е. f ′(x) > 0.
11. Признаки убывания функции
Функция убывает в точке x, если ее производная в этой точке меньше ну-
ля, т.е. f ′(x)<0.
12. Достаточное условие минимума
Функция f(x) имеет в точке x минимум, если f ′(x) = 0 и f′′(x) > 0.
13. Достаточное условие максимума
Функция f(x) имеет в точке x максимум, если f′(x) = 0 и f′′(x) < 0.
14. Понятие первообразной и неопределенного интеграла
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) в некотором интервале, если в каждой точке интервала выполнено:
dFdx(x) = f (x)
Совокупность всех первообразных на интервале называют неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначают
∫ f (x)dx = F(x) +C,
где С – произвольная постоянная.
15.Интегрирование заменой переменной
∫f (x)dx = ∫ f (ϕ(t))ϕ′(t)dt
16.Интегрирование по частям
∫udv =uv − ∫vdu
17.Связь определенного и неопределенного интеграла (формула Нью- тона-Лейбница)
∫b f (x)dx = F (b) − F (a), где F(x) – первообразная.
a
35
18.Вычисление площади плоской фигуры
Пусть f(x) < g(x) для любых x [a,b], тогда площадь, ограниченная кри-
выми y = f(x), y = g(x) и x = a, x = b будет равна:
S = ∫b (g(x) − f (x))dx
a
19. Двойной интеграл
Если при стремлении к нулю шага разбиения области интегральные
i=n
суммы ∑ f (xi , yi ) Si имеют конечный предел, то этот предел называет-
i=1
ся двойным интегралом от функции f(x, y) по области .
20. Определитель Якоби
|
∂ϕ |
|
∂f |
|
∂ϕ |
|
∂f |
|
∂f |
∂f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Выражение |
|
− |
|
= |
∂u |
∂v |
= |
|
i |
|
называется определителем |
||||
|
|
||||||||||||||
∂v |
∂u |
∂u |
∂v |
∂ϕ ∂ϕ |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂u |
∂v |
|
|
|
|
|
Якоби или Якобианом функций f(u, v) и ϕ(u, v).
21.Тройной интеграл
Тройным интегралом называется кратный интеграл, если интегрирование ведется по трем переменным, а областью интегрирования является не часть плоскости, а некоторая область в трехмерном пространстве.
∫∫∫f (x, y, z)dxdydz = limx→0 |
∑∑∑ f (x, y, z) x y z |
|
r |
y→0 |
v |
|
z→0 |
|
Суммирование производится по области v, которая ограничена некоторой поверхностью ϕ(x, y, z) = 0.
|
x2 |
y2 z2 |
|
∫∫∫f (x, y, z)dxdydz = ∫∫∫ |
f (x, y, z)dzdydx |
||
r |
x1 |
y1 z1 |
|
Здесь х1 и х2 – постоянные величины, у1 и у2 – могут быть некоторыми функциями от х или постоянными величинами, z1 и z2 – могут быть функциями от х и у или постоянными величинами.
36
22.Числовой ряд
Сумма членов бесконечной числовой последовательности u1 ,u2 ,...,un ,...
называется числовым рядом.
∞
u1 + u2 +... + un +... = ∑un
n =1
Суммы Sn = u1 +u2 +... +un = ∑n uk , n = 1, 2, … называются частными
k =1
(частичными) суммами ряда.
23. Сходимость и расходимость ряда
∞
Ряд u1 + u2 +... + un +... = ∑un называется сходящимся, если сходится
n =1
последовательность его частных сумм. Сумма сходящегося ряда – предел последовательности его частных сумм.
|
∞ |
lim Sn = S, |
S = ∑un . |
|
n=1 |
Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е. не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся и ему не ставят в соответствие никакой суммы.
Для того, чтобы последовательность a1 , a2 ,..., an ,... была сходящейся, не-
обходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовал такой номер N, что при n > N и любом p > 0, где р – целое число, выполнялось бы неравенство: an+ p − an < ε.
24. Признак Даламбера
∞
Если для знакоположительного ряда ∑a n существует конечный предел
n=1
lim an+1 = λ, то ряд сходится при λ <1 и расходится при λ >1.
n→∞ an
25.Признак Коши
Если для ряда ∑un с неотрицательными членами существует такое чис-
ло q < 1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство
37
n un ≤ q , то ряд ∑un сходится, если же для всех достаточно больших n
выполняется неравенство n un ≥1, то ряд ∑un расходится (радикальный признак Коши).
Если ϕ(х) – непрерывная положительная функция, убывающая на про-
∞
межутке [1; ∞), то ряд ϕ(1) + ϕ(2) + …+ ϕ(n) + … = ∑ϕ(n) и несобст-
n=1
венный интеграл ∞∫ϕ(x)dx одинаковы в смысле сходимости (интеграль-
1
ный признак Коши).
26.Знакочередующийся ряд
Знакочередующийся ряд – это ряд, который можно записать в виде:
u1 −u2 +u3 −u4 +... + (−1)n+1 un +... , где un > 0, n =1,2,3,...
27.Признак Лейбница
Если у знакочередующегося ряда u1 −u2 +u3 −u4 +... + (−1)n+1 un +... абсо-
лютные величины ui убывают u1 > u2 > u3 >... и общий член стремится к нулю un → 0 , то ряд сходится.
28.Абсолютная и условная сходимость
∞ |
|
|
|
|
∞ |
||||
|
|
||||||||
Если сходится ряд ∑ |
|
a n |
|
, |
то ряд ∑a n называется абсолютно сходя- |
||||
n=1 |
|
|
|
|
n=1 |
||||
∞ |
∞ |
|
|
|
|
||||
|
|
||||||||
щимся. Если же ряд ∑a n |
сходится, а ряд ∑ |
|
a n |
|
расходится, то ряд |
||||
n=1 |
n=1 |
|
|
|
|
∞
∑a n называется условно сходящимся.
n=1
29.Функциональный ряд
Если членами ряда будут не числа, а функции от х, то ряд называется функциональным.
30.Степенной ряд
Степенным рядом называется функциональный ряд
∞
∑Cn (x − x0 )n =C0 +C1 (x − x0 )+C2 (x − x0 )2 +K+Cn (x − x0 )n +K,
n=0
38
члены которого являются произведениями постоянных C0 , C1 ,..., Cn ,... на степенные функции от разности x − x0 с целыми неотрицательными показателями степеней, точка x0 называется центром степенного ряда.
Для каждого степенного ряда существует такое положительное число R,
что при всех х таких, что x < R ряд абсолютно сходится, а при всех x > R ряд расходится. При этом число R называется радиусом сходимо-
сти. Интервал (–R, R) называется интервалом сходимости.
Отметим, что этот интервал может быть как замкнутым с одной или двух сторон, так и не замкнутым. Радиус сходимости может быть найден по
формуле: R =lim an−1 .
n→∞ an
31.Тригонометрический ряд
Тригонометрическим рядом называется ряд вида:
|
a0 |
+(a cos x +b sin x) +(a |
2 |
cos 2x +b sin 2x) +... +(a |
n |
cos nx +b |
sin nx) +... |
|||
|
|
|||||||||
2 |
1 |
1 |
|
2 |
|
n |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
a0 |
|
∞ |
|
|
|
|
|
или, короче, |
|
+ ∑(an cos nx +bn sin nx). Действительные числа ai, bi на- |
||||||||
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
зываются коэффициентами тригонометрического ряда.
32.Коэффициенты Фурье
Если функция f(x) – любая периодическая функция периода 2π, непрерывная на отрезке [-π; π] или имеющая на этом отрезке конечное число точек разрыва первого рода, то коэффициенты
an = |
1 |
∫π |
f (x) cos nxdx; n = 0,1,2,... |
bn = |
1 |
∫π |
f (x) sin nxdx, n =1,2,... |
π |
π |
||||||
|
|
−π |
|
|
|
−π |
|
существуют и называются коэффициентами Фурье для функции f(x).
33.Ряд Фурье
Рядом Фурье для функции f(x) называется тригонометрический ряд, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье. Если ряд Фурье функции f(x) сходится к ней во всех ее точках непрерывности, то говорят, что функция f(x) разлагается в ряд Фурье.
39