маОглавление

1. Дифференциальное исчисление 2

1.1. Пределы последовательности и функции 2

1.2. Производные 5

1.3. Исследование функций 8

1.4. Функция двух переменных 11

2. Интегральное исчисление 26

2.1. Неопределенный интеграл 26

2.2. Определенный интеграл 28

2.3. Несобственный интеграл 31

3. Элементы теории множеств и математической логики 33

3.1. Теория множеств 33

1. Дифференциальное исчисление

1.1. Пределы последовательности и функции

Основные определения, теоремы и формулы:

Иерархия последовательностей по скорости возрастания при

Данная запись означает, что

Иерархия элементарных функций по скорости возрастания при

Данная запись означает, что

Замечательные пределы:

1. 

Знак «~» означает эквивалентность.

Например, запись читается так: эквивалентен при малых значениях .

2. 

3. 

Примеры решения задач:

Пример 1: Вычислить предел функции

Решение: Выделяя старшую степень в числителе и знаменателе при , получим

Пример 2: Вычислить предел функции

Решение:

Выделяя в числителе и знаменателе функции, быстро стремящиеся к бесконечности при (остальные функции будут бесконечно малыми по сравнению с этими функциями), получим

Равенство нулю последнего предела вытекает из иерархии возрастания функции (см. Основные формулы)

Пример 3: Вычислить предел функции

Решение: Приведем сначала подробное решение. Тождественными преобразованиями сведем задачу к вычислению замечательных пределов

При этом дважды использовался замечательный предел

Короткий способ решения основан на использовании эквивалентности при малых значениях . Используя малость , получим .

Тогда

Пример 4: Вычислить предел функции

Решение: Для раскрытия неопределенности воспользуемся формулой сокращенного умножения

тогда

Далее, выделяя под знаком радикала главную степень при , получим

Короткая форма записи всех приведенных выше вычислений имеет вид

Другой способ решения использует замечательный предел

Для того, чтобы воспользоваться этим соотношением эквивалентности, вынесем из под знака радикала и используем малость величины . Тогда получим

1.2. Производные

Основные определения, теоремы и формулы

Определение производной: Пусть определена в окрестности точки . Производной в точке называется предел

Производные от элементарных функций

1. Производная от постоянной

2. Производная от линейной функции

3. Производная от степенной функции

4. Производная от показательной функции

5. Производные от тригонометрических функций

6. Производные от обратных тригонометрических функций

7. Производная от логарифмической функции

Правила дифференцирования

1. Линейность

2. Производная от произведения

3. Производная от частного

4. Производная от сложной функции

Пусть и . Тогда возникает сложная функция . Производная от сложной функции будет равна

или

Правило Лопиталя для раскрытия неопределенности

Пусть , тогда если существует предел , то существует

Примеры решения задач

Пример 1: Вычислить производную от функции

Решение: Воспользуемся теоремой о сложной функции и табличными производными:

Пример 2: Вычислить производную от функции

Решение: Воспользуемся формулой для производной от произведения функций

тогда

1.3. Исследование функций

Основные формулы

Теорема: Признаки возрастания и убывания функций

Если , то функция возрастает в точке .

Если , то функция убывает в точке .

Определение: Если в точке , то точка называется критической (особой) точкой функции.

Теорема: Достаточное условие существования экстремума

Пусть критическая (особая) точка функции т.е. .

Тогда, если при переходе через эту точку (слева - направо)

1. Производная меняет знак с «+» на «-», то в точке функция имеет максимум.

2. Производная меняет знак с «-» на «+», то в точке функция имеет минимум.

3. Производная не меняет знака, то в точке - точка перегиба и экстремума в этой точке нет.

Теорема: Достаточное условие существования экстремума

Пусть критическая (особая) точка функции , т.е.

Тогда, если

1. Вторая производная , то - точка минимума.

2. Вторая производная , то - точка максимума.

3. Вторая производная , то невозможно делать никаких выводов без дальнейших исследований.

Пример решения задач

Пример 1: Исследовать функцию

Решение:

1. Проверим четность функции , т.е. функция нечетная, а ее график центрально - симметричен.

2. Предел функции при равен .

3. Найдем корни функции

отсюда имеем три корня: .

4. Найдем критические (особые) точки функции, в которых

отсюда имеются две критические точки:

В точке производная меняет знак с «-» на «+», следовательно - точка минимума.

Аналогично, - точка максимума.

5. Найдем вторую производную

Вычислим вторую производную в критических точках: , тогда - точка минимума; , тогда - точка максимума. Эти вычисления подтверждают заключение предыдущего пункта.

6. Вычислим значение функции в критических точках

Окончательно график функции имеет вид