Вопросы к зачету (часть 2)

1. Что называется вектором и модулем вектора?

2. Какие векторы называется равными, коллинеарными, компланарными?

3. Могут ли два вектора, имеющих равные модули, быть не равными? Если да, то чем они могут различаться?

4. Все векторы, имеющие один и тот же модуль, отложены из одной точки А пространства. Где находятся концы этих векторов?

5. Какие операции над векторами называются линейными и какие свойства этих операций?

6. Что называется базисом на прямой, на плоскости и в пространстве?

7. В каком случае векторы называются линейно зависимыми и в каком – линейно независимыми?

8. Какой базис называется ортонормированным?

9. Как определяется декартова система координат?

10.Как определяются координаты вектора через координаты его начальной и конечной точек?

11.Напишите формулы деления отрезка в данном отношении?

12.Что называется скалярным произведением двух векторов, каковы его свойства и как оно выражается через координаты векторов-сомножителей в ортонормированном базисе?

13.Напишите формулы для длины вектора, угла между двумя векторами и расстояния между двумя точками в декартовой прямоугольной системе координат.

14.Что называется векторным произведением двух векторов, каковы его свойства и как оно выражается через координаты векторов-сомножителей в ортонормированном базисе?

15.Что называется смешанным произведением трех векторов, каковы его свойства и как оно выражается через координаты векторов-сомножителей в ортонормированном базисе?

16.Как преобразуются координаты вектора при замене базиса пространства (плоскости)?

17.Какому условию должны удовлетворять координаты трех векторов, чтобы их можно было принять за базис пространства?

18.Сформулируйте условие перпендикулярности двух векторов, компланарности трех векторов.

19. Как определяется проекция вектора на заданное направление?

20. Как определяется работа постоянной силы при прямолинейном перемещении?

Пример выполнения задания №1 контрольной работы №1

Даны матрицы

А=и В=.

Найти значение α , при котором определитель матрицы А’В+ αЕ равен нулю (А’ − транспонированная матрица для матрицы А, Е − единичная матрица 4-го порядка).

Решение. Сначала транспонируем матрицу А. Матрица А’ есть матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером:

А'=.

Далее перемножаем матрицу А’ на матрицу В. Заметим, что операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Произведением матрицы U=(u_ij) размером m×n на матрицу V=(v_jk) размером n×p называется матрица W=(w_ik) размером m×p такая, что

w_ik =u_i1·v_1k+u_i2·v_2k+…+u_in·v_nk, где i=k=

т.е. элемент i-й строки и k-го столбца матрицы произведения W равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы U на соответствующие элементы k-го столбца матрицы V. В результате получаем

А'В=.

Умножаем единичную матрицу на число α. По определению произведением матрицы U=(u_ij) размером m×n на число α называется матрица W=(w_ij) размером m×n такая, что

w_ij=k· u_ij, где i=j=

Таким образом,

αЕ=.

Суммируем матрицы А'В и αЕ. По определению суммой двух матриц U=(u_ij) размером m×n и V=(v_jj) размером m×n называется матрица W=(w_ij) размером m×n такая, что

w_ij=u_ij+v_ij, где i=j=

Окончательно получаем

А'В+ αЕ=.

Для вычисления определителя этой матрицы воспользуемся свойством 7 определителей ([3], с. 17): определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда (строки или столбца) на соответствующие им алгебраические дополнения. Для разложения определителя обычно выбирают тот ряд, где есть нулевые элементы, т. к. соответствующие им слагаемые в разложении будут равны нулю. В нашем случае разложим определитель по элементам 4-й строки:

| А'В+ αЕ|=2·+1·+

+(−1+α)·.

Определители 3-го порядка в правой части выражения представляют собой миноры элементов 4-й строки. Минор элемента (i,j) определителя есть определитель, получаемый из исходного определителя путем вычеркивания элементов i-й строки и j-го столбца. Алгебраическим дополнением элемента (i,j) определителя называется его минор, взятый со знаком «плюс», если сумма i+j − четное число, и со знаком «минус», если сумма нечетная.

Вычисляя определители 3-го порядка по правилу треугольников (или Саррюса), получаем его выражение в виде многочлена четвертой степени:

| А'В+ αЕ|=α⁴−46α².

Значения α, при которых определитель матрицы А’В+ αЕ равен нулю,

представляют собой различные корни уравнения

α⁴−46α²=0 или α²(α²−46)=0.

Отсюда α₁=0, α_2,3=±

Алгебра и геометрия: методические указания к изучению курса и контрольные задания для студентов заочной формы обучения направлений 230100.62 «Информатика и вычислительная техника» и 230400.62 «Информационные системы и технологии» (1 семестр)

Алексей Петрович Мысютин

Научный редактор Гусакова Л.А.

Редактор издательства Афонина Л.И.

Компьютерный набор Левкина А.П.

Темплан 2012 г., п. 53

Подписано в печать __.__.12 Формат 60х84 1/16 Бумага офсетная

Офсетная печать. Печ. л. 1,27 Уч.-изд. л. 1,27 Т. 30 экз. Заказ

Издательство Брянского государственного технического университета

Брянск, бульвар 50-летия Октября, 7

Лаборатория оперативной печати БГТУ, ул. Институтская, 16.