Метод анализа иерархий (теория)

15

λmax = eT DW .

(13)

Значительно менее трудоемким является метод средних геометрических, в соответствии с которым ненормализованные значения приоритетов вычисляются по формуле

m
wi = m ∏dik ,	(14)

k=1

после чего выполняется их нормализация. Данный метод дает хорошие результаты, если матрица парных сравнений имеет достаточный уровень согласованности.

5. Метод сравнения относительно стандартов

Как и метод парных сравнений, метод сравнения относительно стандартов предназначен для вычисления локальных приоритетов. Наиболее часто данный метод используется для сравнения альтернатив. Метод сравнения относительно стандартов целесообразно применять в следующих ситуациях:

•большое число (более 8-9) одновременно сравниваемых объектов (альтернатив). В этом случае построение матриц парных сравнений, обладающих достаточной степенью согласованности, для человека становится затруднительным;

•неодновременное поступление альтернатив для анализа, что

приводит к невозможности сравнивать их попарно. Основная идея метода состоит в разбиении множества сравни-

ваемых объектов на небольшое число кластеров, соответствующих определенным стандартам, и замене процедуры сравнения самих объектов процедурой сравнения стандартов.

Стандарт устанавливает некоторый уровень качества в отношении определенного свойства. Например, для оценки каких-либо технических объектов по критерию «надежность» можно ввести стандарты, характеризующие низкий, средний и высокий уровни надежности. Если, по мнению эксперта, этих уровней недостаточно для различения объектов, набор стандартов можно расширить, выделив дополнительно уровни надежности ниже среднего и выше среднего.

Каждый стандарт может отождествляться с некоторым существующим на практике эталоном качества для соответствующего свойства. Например, ликвидность различных видов обеспечения банковского кредита можно оценивать, используя низкий, средний и высокий

Метод анализа иерархий (теория)

16

стандарты, которые могут быть отождествлены соответственно с недвижимостью, ценными бумагами и драгоценными металлами.

Процедура сравнения объектов относительно стандартов сводится к следующей схеме (рис. 4).

Обозначим:

h− ={x1, x2 , ..., xm} – множество объектов, сравниваемых отно-

сительно свойства h;

S ={S1, S2 , ..., Sp } – набор стандартов, принятых для данного

свойства (p < m);

{γ1, γ2 , ..., γp } – приоритеты стандартов, вычисленные методом парных сравнений.

h

	1	2		p
	S	S2		Sp
x1	x2		xi	xm

Рис. 4. Иллюстрация процедуры сравнения относительно стандартов

Каждому элементу xi в качестве оценки назначается некоторый стандарт Sk S . Соответственно, данному элементу присваивается

приоритет γk. Окончательная нормализация приоритетов зависит от содержательного смысла соответствующей иерархической связи.

1.Если xi – альтернативы, и используются абсолютные приоритеты, то дополнительная нормализация не выполняется, т.е.

полагают h(xi ) =γk (i =1,..., m). Заметим, что для более де-

тального различения альтернатив относительно свойства h можно выполнить процедуру парных сравнений внутри отдельных кластеров, соответствующих стандартам.

2.Во всех остальных случаях следует обеспечить равенство

суммы приоритетов элементов xi единице. Таким образом, если альтернативе xi поставлен в соответствие стандарт Sk, то ее итоговый приоритет определяется по формуле

Метод анализа иерархий (теория)

17

h(x ) =	γk		,	(15)
i	∑p	qjγ j

j=1

где qj – число элементов, получивших в качестве оценки стандарт Sj.

Рассмотрим пример использования формулы (15). Имеется шесть альтернатив: {x1, x2, x3, x4, x5, x6}, которые оцениваются по критерию h с использованием трех стандартов S1, S2 и S3. Пусть в результате применения метода парных сравнений получены следующие приоритеты стандартов:

γ1 = 0,625; γ2 = 0, 257; γ3 = 0,118.

Предположим, эксперт назначил стандарт S1 альтернативам x2 и x5, стандарт S2 – альтернативе x3 и стандарт S3 – альтернативам x1, x4, x6. Тогда знаменатель формулы (15) равен

∑p	qjγ j = 2γ1 +γ2 +3γ3 = 2 0,625 +0, 257 +3 0,118 =1,861,
j=1
откуда получаем значения приоритетов альтернатив:
		h(x ) = h(x )				= h(x ) =			γ3		=	0,118			= 0,063,
		1		4		6		1,861			1,861
					0,625												0, 257
h(x ) = h(x ) =			γ1	=			= 0,336 ,			h(x ) =				γ2		=		= 0,138.
2	5	1,861		1,861							3		1,861			1,861

6. Иерархический синтез

Этап иерархического синтеза начинается после того, как для всех элементов иерархии, за исключением элементов нижнего уровня (альтернатив), вычислены приоритеты дочерних элементов.

Целью данного этапа является вычисление приоритетов аль-

тернатив относительно элементов вышележащих уровней иерархии вплоть до ее фокуса (главной цели). Получаемые в результате значе-

ния приоритетов альтернатив относительно главной цели представ-

ляют собой интегральные оценки их предпочтительности (глобаль-

ные приоритеты) и в большинстве случаев рассматриваются как решение исходной задачи.

Идею синтеза вначале рассмотрим для следующего частного случая. Пусть имеется фрагмент иерархии, показанный на рис. 5.

Метод анализа иерархий (теория)

18

Обозначим:

Cj (xk ) = wjk – приоритеты элементов N-го уровня (альтернатив)

относительно элементов (N – 1)-го уровня;

Bi (Cj ) = λij – приоритеты элементов (N – 1)-го уровня относи-

тельно элементов (N – 2)-го уровня.

Требуется определить приоритеты альтернатив относительно элементов уровня N – 2.

. . . . . .

	B1				B2			LN-2
11		12		21		22
	С1		w13	w21	С			LN-1
w11 w12					w22	w23
x1				x2			x3	LN

Рис. 5. Фрагмент иерархии для иллюстрации процедуры иерархического синтеза

В соответствии с процедурой иерархического синтеза, искомые приоритеты Bi (xk ) вычисляются путем взвешенного суммирования

локальных приоритетов по всем путям, ведущим от BiB к xk. Например:

B1 (x1 ) = λ11w11 +λ12 w21 ,

B2 (x3 ) = λ21w13 +λ22 w23 ,

и т.п. В общем случае получаем соотношение:

Bi (xk ) = ∑λij wjk .	(16)
j

Далее, зная приоритеты альтернатив относительно элементов (N – 2)-го уровня, аналогичным образом можем вычислить их приоритеты относительно элементов (N – 3)-го уровня и таким образом продвигаться вверх по иерархии, пока не будет достигнут ее фокус, и стало быть вычислены глобальные приоритеты альтернатив.

Метод анализа иерархий (теория)

19

Обобщим теперь данную процедуру на случай произвольной иерархии.

Пусть число элементов на k-м уровне иерархии равно pk. Обозначим эти элементы через hkj (j = 1, …, pk), а их приоритеты относи-

тельно элементов предыдущего, (k – 1)-го уровня – через wijk−1,k (i = 1, …, pk-1; j = 1, …, pk). Соответствующий фрагмент иерархии схематически изображен на рис. 6. Для тех пар ( hik −1 , hkj ), элементы которых друг с другом не связаны, полагаем wijk−1,k =0.

hik−1 wijk−1,k

hkj

Рис. 6. Иерархическая связь между элементами соседних уровней (общий случай)

С учетом сделанных обозначений, можем ввести матрицу W k−1,k приоритетов элементов k-го уровня относительно элементов (k – 1)-го уровня. Число строк данной матрицы равно pk–1, а число столбцов – pk (в частности, поскольку уровень L0 иерархии содержит единственный

элемент – ее фокус – то матрица W 0,1		представляет собой вектор-
строку).
Обобщая формулу (16), получаем:
W k−2,k =W k−2,k−1 W k−1,k ,			(17)
и соответственно		N
A =W 0,1 W1,2	W N −1,N	=∏W k−1,k ,	(18)

k=1

где A – вектор-строка, элементами которой являются искомые приоритеты альтернатив относительно фокуса иерархии.