2. Одноканальная смо с (неограниченным) ожиданием.

Проанализируем работу одноканальной СМО с ожиданием без ограничений на длину очереди и на время ожидания в очереди. По-прежнему будем предполагать, что входящий поток и поток обслуживаний являются простейшими и имеют интенсивности λ и μ соответственно.

Такая система представляет собой предельный случай системы, рассмотренной в предыдущем пункте, при m →∞ . Таким образом, длина очереди станет бесконечной и в соответствии с этим бесконечным станет число состояний СМО. Размеченный граф состояний представлен на рис. 7.

Рис. 7. Схема состояний в многоканальной системе с очередью

Если отказаться от ограничения на длину очереди, то случаи ρ <1 и ρ ≥1 начинают существенно различаться.

Еслиλ > μ ( ρ >1), т.е. среднее число заявок, поступивших в систему за единицу времени, больше среднего числа обслуживаемых заявок за то же время при непрерывно работающем канале, то очевидно, что очередь неограниченно растет. В этом случае предельный режим не устанавливается и предельных вероятностей состояний не существует (точнее, они равны нулю).

В случае λ = μ (ρ =1) только при условии, что входящий поток заявок и поток обслуживаний регулярные (т.е. заявки поступают в СМО через равные интервалы времени, и время обслуживания одной заявки является постоянным, равным интервалу времени между поступлениями заявок), очереди вообще не будет и канал будет обслуживать заявки непрерывно. Но как только входящий поток или поток обслуживаний перестает быть регулярным и приобретает элементы случайности, очередь начинает расти до бесконечности.

Поэтому далее при рассмотрении указанных систем будем предполагать, что λ < μ, т.е. ρ <1. При этом условии с течением времени устанавливается предельный режим, и предельные вероятности состояний существуют.

Устремляя m к бесконечности в формулах для вероятностей состояний (полученных для СМО с ограниченной длиной очереди при ρ <1), находим выражения для предельных вероятностей состояний рассматриваемой СМО: (20)

Предельные вероятности (20) удовлетворяют нормировочному условию

В самом деле,

Но ряд представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем ρ <1. Поэтому и, следовательно,

При отсутствии ограничений на очередь каждая заявка, поступившая в СМО, рано или поздно будет обслужена. Поэтому вероятность отказа равна нулю: P_отк = 0.

Следовательно, вероятность того, что поступившая заявка будет принята в систему, так же как и относительная пропускная способность Q, равна единице: Q=1-P_отк = 1.

Тогда для абсолютной пропускной способности A (и интенсивности выходящего потока) будем иметь: A = λQ = λ , т.е. интенсивности входящего и выходящего потоков совпадают.

Среднее число заявок в очереди L_оч получим из формулы (18) при ρ <1 переходом к пределу при m →∞ :

Известно, что бесконечно малая ρ^m (ρ <1, m →∞ ) является бесконечно малой более высокого порядка, чем бесконечно малая m^-m (ρ^m = o(m^-1)), т.е. mρ^m→0 при m →∞. Следовательно, L_оч=

Среднее время ожидания заявки в очереди по формуле Литтла равно

Наконец, среднее время пребывания заявки в СМО складывается из среднего времени заявки в очереди и среднего времени обслуживания заявки :

Пример. В парикмахерской работает только один мужской мастер. Среднее время стрижки одного клиента составляет 20 мин. Клиенты в среднем приходят каждые 25 мин. Средняя стоимость стрижки составляет 60 руб. Как в первую смену с 9 до 15, так и во вторую – с 15 до 21, работают по одному мастеру. Провести анализ работы системы обслуживания. Определить ежедневный «чистый» доход каждого мастера, если он получает только 30% от выручки.

Решение. Интенсивность входящего потока λ = 2,4 клиента/ч, интенсивность потока обслуживаний клиента/ч. Находим: интенсивность нагрузки (канала) мастера ρ = λ μ = 0,8;

долю времени (вероятность) простоя мастера

вероятность того, что мастер занят работой

среднее число клиентов в очереди клиента;

среднее время ожидания в очереди мин;

среднее время пребывания клиентов в парикмахерской

мин.

Система работает вполне удовлетворительно. Поскольку ρ <1, то режим работы системы устойчивый, 20% рабочего времени мастер не занят, а остальные 80% времени занят работой, длина очереди 3,2 клиента небольшая, а среднее время пребывания клиента в парикмахерской всего 21,34 мин.

Каждый мастер занимается обслуживанием клиентов в среднем ежедневно в течение

За это время он обслужит 288/20=14,4 клиента, поэтому ежедневная выручка в среднем составит Ежедневный «чистый» доход каждого мастера в среднем составляет