Для самостоятельного изучения

5.4 Применение законов сохранения к упругому и неупругому соударению двух тел

При соударении тела деформируются. При этом кинетическая энергия, которой обладали тела перед ударом, частично или полностью переходит в потенциальную энергию упругой деформации и во внутреннюю энергию тел.

С

толкновения могут быть упругими и неупругими. Их предельные идеализированные случаи – абсолютно упругий и абсолютно неупругий удар.

П

рис 4.12

ри абсолютно упругом ударе (например, столкновении шаров из слоновой кости или закаленной стали) механическая энергия тел не переходит в другие, немеханические, виды энергии. При таком ударе кинетическая энергия тел полностью или частично переходит в потенциальную энергию упругой деформации. По завершении удара первоначальная форма тел полностью восстанавливается. В итоге потенциальная энергия упругой деформации снова переходит в кинетическую энергию и тела разлетаются со скоростями, величина и направление которых определяются законом сохранения механической энергии и законом сохранения полного импульса системы тел.

Пpи неупругом ударе (например столкновении шаров из воска, двух разноименных ионов с образованием молекулы, захвате свободного электрона положительным ионом и т.д.) тела не восстанавливают свою первоначальную форму, кинетическая энергия тел частично или полностью превращается во внутреннюю энергию. При абсолютно неупругом ударе тела движутся после удара как единое целое с одинаковой скоростью или покоятся. При абсолютно неупругом ударе закон сохранения механической энергии не соблюдается. Выполняется лишь закон сохранения импульса и закон сохранения суммарной энергии различных видов – механической и внутренней.

5.4.1 Абсолютно упругий удар

Рассмотрим случай центрального соударения двух однородных шаров. Удар называется центральным, если шары до удара движутся вдоль прямой, соединяющей их центры (рис 4.12).

Поскольку удар упругий, то механическая энергия не переходит в другие виды энергии и выполняется закон сохранения кинетической энергии:

, (5.9)

где ,,,– скорости шаров до и после удара.

Считаем, что потенциальная энергия шаров не меняется, и шары образуют замкнутую систему. В такой системе, выполняется закон сохранения импульса:

, (5.10)

Из уравнения (5.9) следует:

,

=

. (5.11)

Из уравнения (5.10) в проекции скоростей на ось Х:

. (5.12)

Поделив левые и правые части (5.11) на (5.12), получим: .

Отсюда

(5.13)

Подставим (5.13) в (5.12):

,

.

Отсюда

. (5.14)

По аналогии, подставим в формулу (5.13) полученные значения для :

. (5.15)

Рассмотрим частные случаи.

1. Массы шаров равны .

Тогда

,

.

Если до столкновения второй шар покоился , то после столкновения первый шар остановился, а второй будет двигаться со скоростью.

2) Масса второго шара значительно больше массы первого (т₂ >> т₁). Разделим числитель и знаменатель выражений (5.14) и (5.15) на т₂:

;

.

Отношениемт₁/т₂ пренебрегаем (т₁/т₂ << 1). Тогда ,, т.е. скорость большого шара практически не меняется.

Если массивный шар покоился , то он покоится и после удара, а малый шар будет иметь скорость. Такой тип столкновения рассматривается при расчете давления, оказываемого молекулами газа на стенки сосуда.