5. Гармонические колебания (гк)

Гармонические колебания – процесс, в ходе которого физические параметры изменяются со временем по закону синуса или косинуса (например, смещение, скорость, ускорение в математическом и физическом маятнике; сила, напряжение, мощность переменного тока; параметры электрического и магнитного полей в колебательном контуре).

В работе изучаются свободные гармонические колебания материальной точки (м.т.) массой m. На тело массой действует возвращающая упругая сила, прямо пропорциональная смещению, т.е.. По основному закону динамики она равна. Приравнивая силы, получимдифференциальное уравнение свободного гармонического колебания: ; , гдекоэффициент упругости, масса колеблющейся системы,– смещение.

Решением дифференциального уравнения является функция:

x = cos(t + )или x = sin(t + ),

мгновенное смещение относительно равновесия. Амплитуда максимальное смещение колеблющейся величины от положения равновесия (размах колебания).Циклическая или круговая частота число полных колебаний, совершаемых за время 2π с, т.е.и. Частота колебаний число полных колебаний, совершаемых за единицу времени.Период колебаний время, за которое совершается одно полное колебание.Фаза колебания определяет положениев данный момент времени. Здесь индексомобозначены характеристики собственных свободных колебанийм.т. (,,).Начальная фаза колебания значение фазы приt = 0 (начало колебаний). Время отсчитывается от момента начала колебаний.

Колебания груза на пружине. Колебания массы на пружине при отсутствии вынуждающей силы называются свободными. Свободные колебания при отсутствии трения являются гармоническими. Колебательное движение груза на пружине происходит под действием упругой силы по вертикальному направлению. По второму закону Ньютона

или

где – масса колеблющегося тела,– коэффициент упругости (жесткость) пружины. Пружинный маятник совершает гармонические колебания по законус циклической частотойи периодом. Формула справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука, т. е. масса пружины мала по сравнению с массой тела. Потенциальная энергия пружинного маятника равнаП .

5.1. Параметры движения м.Т., совершаемого по законам синуса и косинуса.

Колебание м.т. совершается по закону , при,=0. Здесь индексом 0 обозначены максимальные (амплитудные) значения величин, , ,,, П₀, ).

Скорость м.т. , где.

Ускорение м.т. ;.

Возвращающая сила, действующая на м.т., ;.

Импульс м.т. ;.

Кинетическая энергия м.т. ;

Среднее значение кинетической энергии м.т. за один период .

Потенциальная энергия м.т. П П₀; П₀.

Среднее значение потенциальной энергии м.т. .

Колебание м.т. совершается по закону x =sin(t), при ,=0.

Скорость м.т. , где.

Ускорение м.т. ;.

Возвращающая сила, действующая на м.т. ;.

Импульс м.т. ;.

Кинетическая энергия м.т. ;.

Потенциальная энергия м.т. П =П₀ ; П₀. По закону сохранения механической энергии максимальные значения , средние значения за период. Полная энергия колеблющейся м.т. равна. Так как0,5; = E / 2. Квадрат у синуса и косинуса в кинетической и потенциальной энергии показывает, что эти величины со временем изменяются с удвоенной частотой . Ускорение, скорость, смещение м. т. находятся в последовательности. Ускорение опережает скорость по фазе на, а смещение – на π. Скорость опережает смещение по фазе на. Вторая производная от смещения по времени пропорциональна смещению и имеет обратный ему знак . Сила, действующая на колеблющуюся м.т., . Она пропорциональна смещению м.т. из положения равновесия и направлена к положению равновесия.

Затухающими колебаниями называются колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. Энергия расходуется на работу против сил трения. Затухающие колебания совершаются при одновременном действии сил: упругой силы и силы сопротивления среды. Уравнение затухающего колебания при небольших затуханиях вытекает из второго закона Ньютона

;

; ;,, где – масса колеблющегося тела,его ускорение, упругая (возвращающая) сила, –сила сопротивления среды, –коэффициент сопротивления среды, – скорость движения тела в среде. Решение дифференциального уравнения дает зависимость смещенияот времениt:

,

где –коэффициент затухания, – циклическая частота затухающих колебаний системы, – собственная циклическая частота свободных колебаний системы. Отношение двух последующих амплитуд одного и того же знакаи, отстоящих друг от друга на периодТ, называется декрементом затухания Натуральный логарифм от отношения двух последующих амплитуд, отстоящих друг от друга на периодназываетсялогарифмическим декрементом затухания . Время релаксации равно промежутку времени , в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается вe = 2,72 раз. Логарифмический декремент затухания где – число колебаний, совершаемых за время релаксации, т. е. за время уменьшения амплитуды враз.Добротностью колебательной системы называется число, равное умноженному на 2π отношению полной энергии к величине потери энергии за период за счет ее диссипации. Добротностьпропорциональна числу колебанийсовершаемых системой за время релаксации