_gmurman2[1]

З а м е ч а н и е . Решение, приведенное выше, преследует учебные цели. Гораздо быстрее ведет к цели формула

я

М [X2] = I.fjc2sinxciA: = (n2 —4)/2, 2 О

Это же замечание относится и к задаче 393.

393.Случайная величина X задана плотностью распределекия /(х)==со5л: в интервале (О, я/2); вне этого интервала /(х)==0. Найти математическое ожидание функции K«ф(X) = X^

394.Случайная величина X задана плотностью рас­ пределения /(x)«(l/2)sinjc в интервале (О, л); вне этого интервала /(л:)=«0. Найти дисперсию функции

у= (р{Х) = Х^, используя плотность распределения g{y)^

Р е ш е н и е . Используем формулу

d

д

где с и d—концы интервала, в котором заключены возможные зна­ чения Y. Подставляя ^(y) = sin V^'y/i V^, М (К)«(л2^4)/2 (см.

задачу 392)	и учитывая, что с = 0 и d^n^ (так как у « х * и О < х < л,
то О < у <	я*), получим

о^ ^

Интегрируя сначала с помощью подстановки y = t^, а потом четырежды по частям, имеем

Подставив (•*)		в (*),		окончательно		получим
		D(X2)=(n*—16л2 + 80)/4.
395. Случайная			величина		X задана плотностью				рас­
пределения	/(X) =		COSA: В интервале				(О, я/2);	вне	этого
интервала	/(х) = 0.			Найти		дисперсию		функции
У к а 3 4 и^и е.		Предварительно			найти		плотность распределения
g(y)^coa V	у/2 У	у	величины К = Х*; использовать формулу

Р(У)^ J y^g{y)dy^[M{Y)]^

130

где Л1(К) = (л2—в)/4 (см. задачу 393). При вычислении интеграла сначала воспользоваться подстановкой y = t^t а затем интегрировать по частям.

396. Ребро куба измерено приближенно, причем а^х^Ь. Рассматривая ребро куба как случайную ве­ личину X, распределенную равномерно в интервале (а, Ь), найти: а) математическое ожидание объема куба; б) дисперсию объема куба.

У к а з а н и е .	Предварительно найти плотность распределения
	^^^^^3(Ь^а)у^^^
случайной величины y=sX^.		Использовать формулы
M(Y)=^	yg(у) 6у,	^(У)^1 УЧ{у) ^У-[М(К)12.
в»		а»

397. Задана функция распределения F (х) случайной величины X. Найти функцию распределения G(y) слу­ чайной величины К==ЗХ + 2.

Р е ш е н и е . По определению функции распределения, G {у) = = Р (К < у). Поскольку функция ^ = 3JC+2—возрастающая, то не­ равенство Y < у выполняется, если имеет место неравенство X < х^

поэтому	(*)
0{у)^Р {Y < у)^Р{Х < x)^f{x).
Из уравнения y=3jc+2 выразим х:
х^(у^2)/3.	(**)
Подставив (**) в (*), окончательно получим
0(y)^Fl(y-2)/3].

398. Задана функция распределения F (х) случайной величины X. Найти функцию распределения G (у) слу­ чайной величины К» — (2/3)Х4 - 2 .

Р е ш е н и е . По определению функции распределения,

0(y)=^P{Y <у).

Поскольку функция у = — (2/3)дг+2—убывающая, то неравенство Y < у выполняется, если имеег место неравенство X > х, ПОЭТОМУ'

G{y)==P(Y<y)=^P(X>x),

События X < X и X > X противоположны, поэтому сумма веро­ ятностей этих событий равна единице: Р {X < х)+Р (X > х)=»1. Отсюда

Р(Х > д:)=1—Р(А: < x)^l-^f(x)\

следовательно,

С/(//) = 1-/^(лг).

(*)

131

Из уравнения у=:—(2/3)дг+2 выразим х:

Х = 3{2^УУ2, (**)

Подставив (*•) в (*), окончательно получим C(y) = l - f [3(2--у)/21.

399. Задана функция распределения F (х) случайной величины X. Найти функцию распределения С((/) слу­ чайной величины К, если: а) К = 4X4-6; б) К = —5Х+ 1; в) V==aX + b.

§ 2. Функция двух случайных аргументов

Если	каждой паре возможных		значений случайных величин X
и У соответствует одно возможное значение случайной величины Z,
то Z называют функцией двух случайных аргументов X и У и пишут
		2 = ф(Х, К).
Если	X	и У—д и с к р е т н ы е	независимые случайные вели­
чины, то,	для того чтобы найти распределение функции			Z = X + yf
надо найти все возможные значения Z, для чего достаточно сложить
каждое возможное значение X со всеми возможными значениями У;
вероятности		найденных возможных	значений Z равны произведениям
вероятностей складываемых значений X и У.
Если	X и У — н е п р е р ы в н ы е независимые случайные вели­
чины, то	плотность распределения ^(г) суммы Z=^x4-y			(при усло­
вии, что	плотность распределения		хотя бы одного из аргументов

задана в интервале (— оо, оо) одной формулой) может быть найдена по формуле

ос

г(г)=	5	fi{x)ft(z-x)dx.
	— »
либо по равносильной формуле
	X
йГ(г)=	J	ft(2-y)f^(y)dy.

— X

где /i и /-2 — плотности распределения аргументов; если возможные значения аргументов неотрицательны, то плотность распределения g{z) величины Z==X-\'y находят по формуле

г

о

либо по равносильной формуле

г

g(z)^lfi{2-y)h(y)dy.

о

в том случае, когда обе плотности fi(x) и fziy) заданы на

конечных	интервалах, для отыскания плотности	g(z) величины
Z = X + y	целесообразно сначала найти функцию	распределения

132

0(г), а затем продифференцировать ее по г:

д(г) = 0'{г).

Если X и У — независимые случайные величины, заданные соот­ ветствующими плотностями распределения fi(x) и fiiy)* то вероят­ ность попадания случайной точки (Л', Y) в область D равна двойному интегралу по этой области от произведения плотностей распреде­ ления:

Р [{X, К) с D) = \ J Л (л) /2 (у) 6х dy.

iD)

400.Дискретные независимые случайные величины X

иУ заданы распределениями:

X	1		3	У	2	4
Р	0,3		0,7 '	Р	0,6	0,4
Найти распределение			случайной величины 2 = Х + У.
Р е ш е н и е .	Для	того чтобы составить			распределение величины
Z = X-TY, надо найти		все возможные		значения Z и их вероятности.

Возможные значения Z есть суммы каждого возможного значе­ ния X со всеми возможными значениями Y:

	2i =	l - p 2 = 3 ; 22=1 + 4 =			5; гз = 3-|-2 = 5; 24 = 3 + 4 = 7.
Найдем вероятности этих возможных значений. Для того чтобы
Z = 3,	достаточно,		чтобы величина			X	приняла	значение Xi=l и
величина		У — значение ^1=2.			Вероятности этих			возможных значе­
ний, как следует			из данных	законов		распределения, соответственно
равны 0,3 и 0,6. Так как аргументы						X м Y независимы, то события
Х = \	и К = 2 независимы и, следовательно, вероятность их совмест­
ного наступления			(т. е. вероятность события 2 = 3) по теореме умно­
жения	равна 0,3 0,6 = 0,18.
Аналогично найдем:
			Р ( 2 = 1 +	4 =	5) ==0,3 0,4 = 0,12;
			Р (2 = 3 +	2 = 5) =0,7			0,6 = 0,42;
			Я (2 = 3 + 4 =		7)=0,7 . 0,4=0,28.

Напишем искомое распределение, сложив предварительно веро­ ятности несовместных событий 2 = ^2 = 5, 2 = 2я = 5 (0,12 + 0,42 = 0,54):

2	3	5	7
Р	0,18	0,54	0,28

Ко н т р о л ь : 0,18 + 0,54 + 0,28=1.

401.Дискретные случайные величины X и У заданы распределениями:

а)	X	10	12	16	Y	1	2 .
	Р	0.4	0.1	0,5'	Р	0.2	0.8'
б)	X	4	10		Y	1	7
	Р	0.7	0,3'		Р	0,8	0,2-

Найти распределение случайной, величины 2 = Х + У

133

402. Независимые случайные величины X я Y заданы плотностями распределений:

/iW = e-^ (0<АГ<оо). f,iy)^(1/2)е-У/^ (0<у<оо).

Найти композицию этих законов, т. е. плотность распре­ деления случайной величины Z=X +К.

Решение.		Так как	возможные значения аргументов неотри­
цательны, то применима формула
			ж
		giz)=^Utix)fz(z-x)dx.
Следовательно,		г
Выполнив элементарные преобразования, получим
		г(г) = е-^/М1-е-'/«1.
Здесь г^О, так как Z^X-^-Y					и возможные значения X н Y
неотрицательны.				в	интервале (О, оо), вне этого
Итак, ^(г)=е"'^/* [1—e"^^*J
интервала ^(z)==0.							о»
Рекомендуем для контроля убедиться, что \ g(z)dj = l.
							о
403. Независимые случайные величины X и Y заданы
плотностями распределений:				Му) =			{1/5)е-У/^{0^у<оо).
/iW = (l/3)e-*/» (0<х<оо),
Найти	композицию этих законов, т. е. плотность распре­
деления случайной величины Z=»X + Y.
404. Независимые нормально распределенные случай­
ные величины X и Y заданы плотностями распределений:
	ft W = (1/К2^) e--V2,			f^ (у) ^ (1/J/-2H) e-^va.
Доказать, что крмпозиция					этих		законов, т. е. плот­
ность	распределения		случайной			величины Z = X + Y^
также есть нормальный закон.							00
Решение.		Используем формулу				g(z)^= \ /i (х) /а (г—х) dx.
Тогда
			0D

134

Выполнив элементарные выкладки, получим

GO

— 00

Дополнив показатель степени показательной функции, стоящей под знаком интеграла, до полного квадрата, вынесем е^'^* за знак интеграла:

00

— 00

Учитывая, что интеграл Пуассона, стоящий в правой части равен­

ства, равен 1^д , окончательно	имеем g(z)—	^^^ ^^ *
	У2п
Рекомендуем для контроля	00	g(z)d2=li	Для
	убедиться, что \
	— 00	•/ и принять во
этого следует воспользоваться подстановкой г=}^2
	со	У 2л .
внимание, что интеграл Пуассона \ e'"^*''^d/=
Заметим, что в рассматриваемой задаче легко убедиться,			что
M(Z) = M(X) + M(Y)	и а(2)=/"а2(Л:) + а2(К).

Можно доказать, что эти формулы справедливы и при композиции общих нормальных законов (т. е. если математическое ожидание отлично от нуля и среднее квадратическое отклонение не равно единице).

405. Заданы плотности распределений независимых равномерно распределенных случайных величин X и V:

/i(jc)=l/2 в интервале (0,2), вне этого интервала

/2(^) = 1/2 в интервале (0,2), вне этого интервала /a(t/) = 0.

Найти функцию распределения и плотность распределе­ ния случайной величины Z = X + Y. Построить график плотности распределения g{2).

Р е ш е н и е . По условию, возможные значения X определяются неравенством О < х < 2, возможные значения V — неравенством О < 1/ <2. Отсюда следует, что возможные случайные точки (X; У) расположены в квадрате О ABC (рис. 9, а).

По определению функции распределения,

С (г) = Я (Z < Z) = Р (X4- Y < г),

135

Неравенству х-{-у < г удовлетворяют те точки {х; у) плоскости хОу, которые лежат ниже прямой х-]-у = г (эта прямая отсекает на осях Ох и Оу отрезки, равные г); если же брать только возможные зна­ чения X и у^ то неравенство х-\ у < г выполняется только для точек, лежащих в квадрате ОABC ниже прямой х-гу = г.

£ Z X

Ч X

Рис. 9

С другой стороны, так как величины X l^ Y независимы, то

0{z)=^^h{x)U{y) dxdy=-j^^dxdy^

где 5 — величина той части площади квадрата ОЛВС, которая лежит ниже прямой х-\-у=^г. Очевидно, величина площади 5 зависит от значения г.

Если	г<;0, T o S = 0 , т. е. G (г) ==(1/4).0 = 0.
Если О < г < 2, то (рис. 9, а) G (z) =={\'4) S^ Q^^ =		\/4Z^/2=Z^/S.

Если 2 < г < 4, то (рис. 9, б) G (г)==(1/4) 5^^^^^^= 1 —(4—z)V8.

Площадь фигуры ОАНКС найдена как разность между площадью квадрата ОABC, которая, очевидно, равна 2 - = 4 , и площадью прямо­ угольного треугольника ЯВ/С: S^f^Qf^ = HB'^/2, причем ИВ =2 —

— ЛЯ = 2 —Д^ = 2 —(г—2)=4 —2.

Если 2г > 4, то G(e) = (l/4)So . 4«c=i/4 - 4=l . Итак, искомая функция распределения такова:

Опри z < 0 ,

	0{г)'.	г«/8	при О < г < 2,
		1 - ( 4 - г ) 2 / 8	при	2 <	2 < 4,
		1	при	2 >	4.

Найдем плотность распределения:

Опри 2 ^ 0 ,

^W=-<	2/4	при о	<	2 <	2,
	1 — 2/4 при 2		<	2 <	4,
	О	при 2 >		4.

136

График плотности распределения g (г) изображен на рис. 10. Рекомендуем для контроля убедиться, что площадь, ограничен*

ная кривой распределения g(z), равна единице.

406. Заданы плотности равномерно распределенных независимых случайных величин X и Y: Д (х) == 1 в интер­ вале (О, 1), вне этого интервала f^ {х) == 0; /^ (у) == 1 в интер­ вале (О, 1), вне этого интервала fi{y)^0.

		Рис. 10
Найти функцию		распределения и плотность				распре­
деления случайной		величины Z = X+Y.		Построить гра­
фик плотности распределения ^^(г).					равномерно
407. Заданы	плотности		распределений
распределенных	независимых случайных величин X и У^:
/I(JK:)=S1/2 В интервале (1,3), вне				этого	интервала
^i(^)^0; /2(1/)== 1/4 в интервале (2,6),				вне этого			интер­
вала /^ (у) = 0 .	Найти функцию распределения					и	плот­
ность распределения случайной величины Z^X + Y.
Построить график плотности			распределения		g{z).

Глава восьмая

СИСТЕМА ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

§ 1. Закон распределения двумерной случайной величины

Двумерной называют случайную величину (X, К), возможные значения которой есть пары чисел (JC, у). Составляющие X и У, рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин.

Двумерную величину геометрически можно истолковать как слу­

чайную	точку	М {X; У) на	плоскости	хОу либо	как случайный
вектор	ОМ.
Дискретной называют двумерную величину, составляющие кото­
рой дискретны.			двумерную	величину,	составляющие
Непрерывной называют
которой	непрерывны.
Законом распределения вероятностей двумерной случайной вели­
чины называют		соответствие	между возможными значениями и их
вероятностями.

137

Закон распределения дискретной двумерной случайной величины может быть задан: а) в виде таблицы с двойным входом, содержа­ щей возможные значения и их вероятности; б) аналитически, напри­ мер в виде функции распределения.

Функцией распределения	вероятностей двумерной случайной
величины называют функцию	F (х,	у), определяющую для каждой
пары чисел (х, у) вероятность того,		что X примет значение, меньшее

X, и при этом Y примет значение, меньшее у: F{x, у)=гР{Х <х, У <у).

Геометрически это равенство можно истолковать так: F (х, у) есть вероятность того, что случайная точка (X, У) попадет в бесконеч­ ный квадрант с вершиной (х, у), расположенный .левее и ниже этой вершины.

Иногда вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная функция».

Функция распределения обладает следующими свойствами:

С в о й с т в о	1. Значения функции распределения удовлетворяют
двойному неравенству
		0 < F ( x , I/X1 .
С в о й с т в о	2.	Функция		распределения есть неубывающая
функция по каждому аргументу:
	Р{Х2, y)^f(xu			у),	если Х2 > Xi,
	f (х, У2) ^ f		{х,	!/i),	если У2 > Уг.
С в о й с т в о	3.	Имеют место предельные соотношения:
1)	F ( ~ o o , (/)=0,				2)	F(x,	~ с о ) = 0 ,
3) /="(—00, — оо) = 0,					4)	F(oo,	оо) = 1.
С в о й с т в о	4.	а) При у=оо		функция распределения системы
становится функцией распределения составляюш,ей X:
		F(x,	оо) = Л(х).
б) При X =	00	функция	распределения				системы становится
функцией распределения составляющей						У:

^(00» i / ) = ^ 2 ( l / ) -

Используя функцию распределения, можно найти вероятность попадания случайной точки в прямоугольник Xi < X < Хг,

У1<У < У2'

Р(хг<Х <Х2, У1<У < У2) == [F {Х2. У2) —F {Хи У2)] —

— {Р{Х2> yi) — F(xu yi)]'

Плотностью совместного распределения вероятностей (двумерной плотностью вероятности) непрерывной двумерной случайной вели­ чины называют вторую смешанную производную от функции распре­ деления:

f^^'^y^- дхду •

Иногда вместо термина «двумерная плотность вероятности» используют термин «дифференциальная функция системы».

Плотность совместного распределения можно рассматривать как предел отношения вероятности попадания случайной точки в прямо-

138

угольник со сторонами Лд: и Л^ к площади этого прямоугольника, когда обе его стороны стремятся к нулю; геометрически ее можно истолковать как поверхность, которую называют поверхностью рас­ пределения*

Зная плотность распределения, можно найти функцию распре­ деления по формуле

уX

F(x.y)^ S S /<^' y)dxdy.

Вероятность попадания случайной точки (Х» Y) в область D определяется равенством

Р[(Х, K)c:D] = 55/(x, y)dxdy.

Ф)

Двумерная плотность вероятности обладает следующими свой* ствами:

С в о й с т в о 1. Двумерная плотность вероятности неотрица­ тельна:

fix, У)^0.

С в о й с т в о 2. Двойной несобственный интеграл с бесконечными пределами от двумерной плотности вероятности равен единице:

5J f{x,y)iixuy=^\.

—ао — 0 0

Вчастности, если все возможные значения (X, Y) принадлежат конечной области D, то

^\f(x,y)ux6y=^\.

(D)

408, Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины:

	Y		X
		3	10	12
	4	0,17	0.13	0,25
	5	0,10	0,30	0,05
	Найти законы распределения			составляющих X и Y.

Р е ш е н и е . Сложив вероятности «по столбцам», получим веро­ ятности возможных значений X: р (3) =0,27, р (10) =0,43, р (12)=0,30.

Напишем закон распределения составляющей X:

X	3	10		12
р	0,27	0,43		0,30
К о н т р о л ь : 0,27+0,43+0,30 = 1.				аналогично найдем распре­
Сложив вероятности	«по строкам»,
деление составляющей Y:	К	4		5
	р	0,55	0,45

139