_gmurman2[1]

чимости	0,01 проверить	нулевую гипотезу HQ. а = ао =
= 130 при конкурирующей гипотезе Н^: а =7^ 130.
б) Решить эту задачу при конкурирующей гипотезе
Н^: а>	130.	средний вес таблетки лекарства
в) Установлено, что

сильного действия должен быть равен ао = 0,50 мг. Выбо­

рочная проверка	121 таблетки полученной партии лекар­
ства показала,	что средний вес таблетки	этой партии
х = 0,53 мг. Требуется при уровне значимости 0,01 про­
верить нулевую гипотезу Я^: а = ао = 0,50		при конкури­

рующей гипотезе Н^: а > 0,50. Многократными предвари­ тельными опытами по взвешиванию таблеток, поставляе­ мых фармацевтическим заводом, было установлено, что вес таблеток распределен нормально со средним квадратическим отклонением а = 0,11 мг.

576. а) По выборке объема п, извлеченной из нормаль­ ной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением о, найдена выборочная средняя X. При уровне значимости а требуется: 1) найти крити­ ческую область, если проверяется нулевая гипотеза Н^: а = ао о равенстве генеральной средней а гипотетическому значению а^ при конкурирующей гипотезе Н^: а > QQ] 2) найти функцию мощности рассматриваемого критерия, приняв в качестве аргумента гипотетическое значение генеральной средней a = ai(ai>ao); 3) убедиться, что увеличение объема выборки влечет увеличение мощности

критерия; 4)	убедиться, что увеличение уровня значимо­
сти влечет увеличение мощности критерия.
Р е ш е н и е .	1) Конкурирующая гипотеза имеет вид а > GQ»

поэтому критическая область—правосторонняя. Используя правило 2» найдем критическую точку ^кр из равенства Ф(«^р)=(1—2а)/2. Сле­

довательно,	правосторонняя критическая		область определяется не­
равенством	и > «кр,	или подробнее	7==" > "крОтсюда
		а У п
При этих	значениях	выборочной средней нулевая гипотеза отвер-

гаетсяг в этом смысле х = «кр {^1 V^«) + ao можно рассматривать как критическое значение выборочной средней.

2) Для того чтобы вычислить мощность рассматриваемого крите­ рия, предварительно найдем его значение при условии справедливости конкурирующей гипотезы (т. е. при a = ai), положив JC = WKP W V^)^

	UKvi<y/V^)+ao'-ai	^^	ах —ар
o/Vn	olVn	**^	olVn '

220

Таким образом,

^=^'кр-^^. где Х = (а,--ао) V^/<y-

При t/ > WKP—^ нулевая гипотеза отвергается, поэтому мощ­ ность рассматриваемого критерия при a — ai равна

1^Р=.Р(С/ > акр — М=1~Я((/ < I/KP—М =

= 1 —1Я(—00 <и <0)+Р(0<		и < г/кр —Я) =
= 1~10,5+Ф(акр~М]=0.5-Ф(1гкр—X).
Каждому значению ai	соответствует определенное значение мощ­
ности, поэтому мощность	критерия есть функция от ai\ обозначим
ее через Л1 (oi).		критерия
Итак искомая мощность правостороннего

jii(a,) = O,5~0(wKp-—^)»

где Ф(д:) —функция Лапласа, A, = (ai—До) V^/cf, ^кр находят из ра­

венства Ф (Ыкр) = (1—2«)/2-					объема	выборки влечет увеличе­
3) Убедимся, что			увеличение
ние мощности критерия.				Действительно,			из	соотношения к		=
= (^1—UQ) V^li/o видно, что увеличение						объема выборки приводит
к увеличению величины к,				а значит к уменьшению величины аргу­
мента WKD—к и тем самым к уменьшению значения функции Лапласа
ф(Икр — А,) (Ф(х) — возрастающая					функция)		и,	следовательно,		к
увеличению мощности 1—Р=0,5—Ф (^кр—^)-									влечет уве­
4) Убедимся, что			увеличение		уровня	значимости а
личение	мощности		критерия.		Действительно,			из	соотношения
0(WKP) =	(1—2а)/2	видно,		что увеличение			а приводит к уменьше­
нию «кр, а значит		к	уменьшению величины				аргумента и^р—Я и в
итоге к увеличению мощности 1—р=0,5—Ф							("кр—к).

б) По выборке объема п = 16, извлеченной из нор­ мальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением а = 4, при уровне значимо­ сти 0,05 проверяется нулевая гипотеза Н^: а==а^ = 2 о равенстве генеральной средней а гипотетическому зна­ чению ао = 2 при конкурирующей гипотезе Н^: а > 2. Требуется: 1) найти мощность правостороннего критерия проверки рассматриваемой гипотезы для гипотетического значения генеральной средней а = «1 = 3, 2) найти объем выборки n^j при котором мощность критерия равна 0,6.

Р е ш е н и е .	1) Используем формулу
	1—Р = 0,5—Ф(«кр—^).				(•)
По правилу 2 найдем критическую			точку	правосторонней кри­
тической области	WKP = 1,65.			ai = 3,	а© = 2 , п = 1б,
Вычислим А,, учитывая,		что, по условию,
а = 4:		_	_
A, = (ai —ао)		}/*п/а = (3—2) |/'l6/4 =			l.
Подставив 1/,(р =	1,65 и Х =	1 в формулу	(•), получим

1—р =0,5—Ф (1,65 —1) =0,5—Ф (0.65),

221

По таблице функции Лапласа (см. приложение 2) находим Ф (0,65)= = 0,2422. Искомая мощность 1—Э =0,5—0,2422=0,2578.

2) Для отыскания снового» объема выборки /ti, при котором
мощность критерия равна 0,6,			найдем «новое» значение параметра X
(обозначим	его через	Х^) из соотношения 0,6=0,5—Ф(1,65—Xi).
Отсюда		Ф(Х1 —1,65) =0,1 .
По таблице	функции	Лапласа	(см. приложение 2)	находим Xi —
— 1,65=0,253. Следовательно,			Xi=J,903.
Учитывая, 4ToX|=(ai—а©)			^^/ti/o, причем, по условию, a i = 3 ,
аф=2, о = 4, получим 1,903 = (3—2) V ^ / 4 . Отсюда				искомый объем
выборки /ii = 58.
в) По выборке объема п = 9, извлеченной				из нормаль­

ной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением а = 4, при уровне значимо­ сти 0,05 проверяется нулевая гипотеза HQI а = а^=15 о равенстве генеральной средней а гипотетическому зна­ чению ао==15 при конкурирующей гипотезе а > 15. Тре­ буется: 1) найти мощность правостороннего критерия для гипотетического значения генеральной средней а = = а^=17; 2) найти объем выборки п^, при котором мощ­ ность критерия равна 0,8.

577. а) По выборке объема п, извлеченной из нор­ мальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением а, найдена выборочная средняя X. При уровне значимости а требуется найти функцию мощности критерия проверки нулевой гипо­ тезы HQI а = а^ о равенстве генеральной средней а гипо­

тетическому	значению а^ при конкурирующей		гипотезе
Р е ш е н и е .	Конкурирующая гипотеза	имеет вид	а Ф а^^ по­
этому критическая область—двусторонняя.		Используя	правило 1,

найдем критическую точку Ккр из равенства Ф(|/кр)==(^—а)/2. Следовательно, двусторонняя критическая область определяется неравенством \V \> £/кр, УЛЛ\^ подробнее

I о/ К л I

Найдем мощность рассматриваемого критерия, т. е. вероятность попадания критерия в критическую область при допущении, что справедлива конкурирующая^гипотеза а^^а^Ф а^\

'-'-"(f^h "-'•-'")•

Преобразуем выражение, стоящее под знаком модуля:

222

где 6 =	r=r,A,= -i—7п= . Используя			эти соотношения, получим
1 ~ Р = Р ( | 6 + Х |		> t/Kp)=P Ф+К > «кр)+Р ( ^ + ^			< ~ - « к р ) -
	= Р (6 > и^^^К)		+ Р (6 < -~«кр-Я.)		=
= [ 1 - Ф ( « к р - М ] + Ф ( - " к р - > ' ) = 1 - Ф ( « к р - > ^ ) - Ф ( " к р + ^ ) .
Таким	образом,	мощность	двустороннего критерия при a = ai
равна	1 - р	= 1~-[Ф("кр->^) +		Ф("кр+>^)],

где X = (ai —До) >^^/^-

Каждому значению ai соответствует определенное значение мощ­

ности, поэтому мощность критерия есть	функция от ai;	обозначим
ее через Я2 (fli).
Итак, искомая мощность двустороннего критерия
Я2 (ai) = 1 — [Ф (WKP —>-)+ Ф («КР + А.)],
где Ф(х)—функция Лапласа, X = (ai-—а©)	J^AZ/O, «кр находят из ра­
венства Ф (г/кр) == (1 —а)/2.
б) По выборке объема п=16,	извлеченной	из нор­

мальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением а = 5, при уровне значимо­ сти 0,05 проверяется нулевая гипотеза. HQI а = а^ = 20 о равенстве генеральной средней а гипотетическому зна­ чению ао = 20 при конкурирующей гипотезе Я^: а =5*^20. Найти мощность двустороннего критерия проверки рас­ сматриваемой гипотезы для гипотетического значения

генеральной	средней	ai = 24.
Р е ш е н и е . Используем		формулу
	1^^==1--[Ф(и^^^Х)+Ф(и^^				+ к)1	(•)
По правилу 1 найдем		критическую		точку	t/Kp =	l,96.
Вычислим	X, учитывая, что,		по	условию, ai = 24, ао==20,
л = 16, а==5:
X = (ai—ао)		»^п/а = (24—20) |/'Тб/5 =				3.2.
Подставив	«кр==1»9б	и >i=3,2	в формулу		(*), получим

1—р = 1—[Ф (1.96—3,2) + Ф (1,96+3,2)] = 1 + Ф (1,24)—Ф (5,16).

По таблице функции Лапласа (см. приложение	2) находим
Ф(1, 24)=0,3925, Ф(5,16) = 0,5. Искомая мощность	1—в==1 +
+ 0,3925—0,5 = 0.8925.

в) По выборке объема n = 36, извлеченной из нор­ мальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением о = 6, при уровне значи­ мости 0,01 проверяется нулевая гипотеза Н^: а = а^,=«15

223

при конкурирующей гипотезе Н^: афа^. Найти мощ­ ность двустороннего критерия проверки рассматриваемой гипотезы для гипотетического значения генеральной средней a = ai=12 .

578. а) По выборочной медиане X при уровне значи­ мости а проверяется нулевая гипотеза Н^\ а^а^ о ра­ венстве генеральной средней а гипотетическому значе­

нию «о при конкурирующей гипотезе ЯхГ афа^.					Найти
функцию мощности	Яз (а^)	рассматриваемого		двусторон­
него критерия.
У к а з а н и е . При	больших	значениях	объема	выборки выбо­
рочная медиана X распределена		приближенно	нормально		с матема­
тическим ожиданием М (X) и средним квадратическим отклонением

б) По выборке объема п = 50, извлеченной из нормаль­ ной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением а ==5, при уровне значимо­ сти 0,05 проверяется нулевая гипотеза Н^^: а = ао=18 о равенстве генеральной средней а гипотетическому зна­ чению По = 1 8 при конкурирующей гипотезе Н^: аф\Ъ. Сравнить мощности двусторонних критериев п^(а^) и ^8 (^i) при «1 = 20. Можно ли предвидеть результат срав­ нения мощностей, не производя вычислений?

Б. Дисперсия генеральной совокупности неизвестна. Если дис­ персия генеральной совокупности неизвестна (например, в случае малых выборок), то в качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимают случайную величину

	Г = (Х-ао)	VniS,
^^-.f^n,x'i^[^niXiYln		исправленное среднее квадра-
где S = T / =	^-—j

тическое отклонение. Величина Т имеет распределение Стьюдента с k = n—1 степенями свободы.

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу HQI а=^а^ О равенстве неизвестной ге­ неральной средней а (нормальной совокупности с неизвестной дисПерсией) гипотетическому значению а^ при конкурирующей гипо­ тезе Hi: а Ф ао, надо вычислить наблюдаемое значение критерия

и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по за­ данному уровню значимости а, помещенному в верхней строке таб­ лицы, и числу степеней свободы k=n—1 найти критическую точку

'двуст. кр v^9 ^)-

224

Если		I Т'набд I </двуст. кр — ^^f^ оснований отвергнуть нулевую
гипотезу.		Если	\ Г„абл I > ^двусг. кр — нулевую	гипотезу отвергают.
Правило 2.			При конкурирующей гипотезе	Н^: а > OQ по уровню
значимости а,			помещенному в нижней строке таблицы приложе­
ния 6,	и	числу степеней свободы к = п—1		находят критическую
точку /правост. кр (ot» ^) правосторонней критической области. Earn
Т'набл <	^правост. кр — ^^^^ оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если Гцабл > ^правост. кр—нулевую гипотезу отвергают.

Правило 3. При конкурирующей гипотезе Hi. а < OQ сначала находят «вспомогательную» критическую точку (по правилу 2) ^правост. кр (cti ^) ^ полагают границу левосторонней критической оэласти ^ICBOCT. кр=—^правост. кр* Если Тнабл ^—^правост. кр нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если Тцабл < —^правост. кр — нулевую гипотезу отвергают.

579. а) По выборке объема /г =16, извлеченной из нормальной генеральной совокупности, найдены выбо­

рочная средняя		J C = 1 1 8 , 2 H		«исправленное» среднее квад-
ратическое	отклонение		s = 3,6.		Требуется	при	уровне
значимости	0,05	проверить нулевую гипотезу					Н^: а =^^
^ ^ 0 = 1 2 0	при	конкурирующей			гипотезе Н^: а=7^120.
Ре ш е н и е. Найдем наблюдаехмое значение критерия
	_(х^ао) / п		-	(118,2—120) Т^Тб _		^
/| . абл -		-			зТб	--^'

По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид а Ф а©, поэтому критическая область — двусторонняя.

По таблице критических точек распределения Стьюдента (см. приложение 6), по уровню значимости а=0,05, помещенному в верхней строке таблицы, и по числу степеней свободы /?=л—1 =

=г= 16—1=15 находим критическую точку ^двуст. кр (0»^5;					15) = 2,13.
Так как	| Т'пабл I <	^двуст. кр—нет	основании отвергнуть		нулевую
гипотезу.	Другими	словами, выборочная средняя		jf= 118,2 незна­
чимо отличается от		гипотетической	генеральной	средней	ао = 120.

а) Решить эту задачу, приняв в качестве конкури­ рующей гипотезы Н{. а < а о = 1 2 0 .

580. Проектный контролируемый размер изде^1ий, изготовляемых станком-автоматом, а = а^ = ЪЬ мм. Изме­ рения 20 случайно отобранных изделий дали следующие результаты:

контролируемый размер .v,-	34,8	34,9	35,0	35,1	35,3
частота (число изделий) п^-	2	3	4	6	5

Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Н^\ a = aQ = 35 при конкурирующей гипотезе Н^: аф35.

225

Р е ш е н и е . Найдем средний размер изделий выборки:

^ _ ^/1/лг/	^2 . 34,8Н - 3 . 34,9+4»35,0+в'35,14 - 5 - 35,3 _ дд ^^
"^ п	20	•- » •

Найдем исправленную дисперсию. Для упрощения расчета пе­ рейдем к условным вариантам «/=10х/—351. В итоге получим рас­ пределение:

	„ .	—3 — 2 — 1 0				2
	Л/	2	3	4	6	5
Найдем исправленную дисперсию условных вариант
3 I ] ^ / ^ ? - [ 2 ] n / t / / ] V n				54->[->61^/20			_ _ , , , ,
^«==	TTTi		=		Г9		2'^^^-
Следовательно,	исправленная		дисперсия		первоначальных вариант
	«Х =2,747/102 =0.027.
Отсюда «исправленное»		среднее		квадратическое			отклонение sjf «=
= /0Т027 = 0,16.
Найдем наблюдаемое		значение		критерия:
^	_ ( 7 - f l o )	/ 7 i _	(35,07-35,0)			/ 2 0 _ , Q.
^набл		—		О^Тб			'

По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид а Ф QQ, поэтому критическая область—двусторонняя. По таблице критических точек распределения Стьюдента (см. приложение 6), по уровню значимо­ сти а«=0,05, помещеннохму в верхней строке таблицы, и по числу степенен свободы k = n—1=20—1 = 19 находим критическую точку ^двуст. кр (0»^5; 19) =«2,09. Так как Гнабл < ^двуст. кр — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Другими словами, станок обеспечи­ вает проектный размер изделий.

§ 7. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей

с неизвестными дисперсиями (зависимые выборки}

Пусть генеральные совокупности X и Y распределены нор­ мально, причем их дисперсии неизвестны. Из этих совокупностей извлечены зависимые выборки одинакового объема /г, варианты ко­ торых соответственно равны Х(И ^/.Введем следующие обозначения:

dj^=»Xi—yi — разности вариант с одинаковыми номерами,

d = « 2 Д^/М—средняя разностей вариант с одинаковыми номерами,

Srf=« 1/ ^

i^^—=!

«исправленное» среднее квадрати­

ческое отклонение.

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу HQI М (Х) = М (Y) о равенстве двух средних нормальных совокупностей X и Y с неизвестными диспер­ сиями (в случае зависимых выборок одинакового объема) при конку* рирующей гипотезе Нх\ М{Х) Ф М(У), надо вычислить наблюдаемое

226

значение критерия:

и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по за* данному уровню значимости а, помещенному в верхней строке таб­ лицы, и числу степеней свободы k = n—1 найти критическую точку

^двуст. кр Са; ^)' ^сли I Т„абл I < ^двуст. кр—нет оснований отверг­ нуть нулевую гипотезу. Если |Гнабл1 > ^двуст. кр—нулевую гипотезу отвергают.

581. Двумя приборами в одном и том же порядке измерены шесть деталей и получены следующие резуль­ таты измерений (в сотых долях миллиметра):

-^1 = 2, л:а = 3, л:з = 5, Х4==6, д:5 = 8, л:в=10; i/i=10, f/2 = 3, £/з==6, 1/4 = 1, 1/5 = 7, |/в=4.

При уровне значимости 0,05 установить, значимо или незначимо различаются результаты измерений, в пред­ положении, что они распределены нормально.

Р е ш е н и е .		Найдем		разности	di=Xi—t//;		вычитая	из	чисел
первой строки числа второй, получим:
di=—8,			с/2 = 0, ^з = —I. ^4 = 5,			d^=l, de = 6.
Найдем	выборочную			среднюю,	учитывая,		что 2jdi^3:		d =«
= 3/6 - 0,5 .					"
Найдем «исправленное» среднее квадратическое отклонение s^,
учитывая, что ^di			= \27	и ^ ^ / д = 3 :
Найдем наблюдаемое				значение критерия:
	Гнабл-^- }^л/5^ = 0,5.				|/'67V^25J=0,24.
По таблице	критических точек распределения						Стьюдента	(см. при­
ложение 6),	по	уровню		значимости	0,05,	помещенному		в верхней
строке таблицы,		и	числу	степеней свободы		k = n—1=6—1=5			на­
ходим критическую точку				/двуст. кр (0»05; 5) = 2,57.
Так как Гцабл < ^двуст. кр — и^т					оснований		отвергнуть нулевую
гипотезу. Другими словами; средние результаты измерений									разли­
чаются незначимо.
582. На двух			аналитических весах, в одном и том же

порядке, взвешены 10 проб химического вещества и по­ лучены следующие результаты взвешиваний (в мг):

Xf	25	30	28	50	20	40	32	36	42	38
У1	28	31	26	52	24	36	33	35	45	40

При уровне значимости 0,01 установить, значимо или незначимо различаются результаты взвешиваний, в пред­ положении, что они распределены нормально.

227

583. Физическая подготовка 9 спортсменов была про­ верена при поступлении в спортивную школу, а затем после недели тренировок. Итоги проверки в баллах ока­ зались следующими (в первой строке указано число бал­ лов, полученных каждым спортсменом при поступлении в школу; во второй строке — после обучения):

Xi	76	71	57	49	70	69	26	65	59
У1	81	85	52	52	70	63	33	83	62
Требуется при уровне значимости 0,05 установить,
значимо или незначимо				улучшилась			физическая подго­

товка спортсменов, в предположении, что число баллов

распределено

нормально.

произвела

в одном и

584.

Химическая лаборатория

том же

порядке

анализ

8

проб

двумя

методами.

Получены

следующие

результаты

(в

первой строке

указано

содержание

некоторого

вещества

в

процентах

в каждой

пробе,

определенное

первым методом; во вто­

рой строке—вторым методом):

Xf

15

20

16

22

24

14

18

20

у^

15

22

14

25

29

16

20

24

Требуется при уровне значимости 0,05 установить, зна­ чимо или незначимо различаются средние результаты анализов, в предположении, что они распределены нор­ мально.

585. Две лаборатории одним и тем же методом, в одном и том же порядке, определяли содержание угле­ рода в 13 пробах нелегированной стали. Получены сле­ дующие результаты анализов (в первой строке указано содер­ жание углерода в процентах в каждой пробе, полученное пер­ вой лабораторией; во второй строке — второй лаборато­ рией):

xi	0,18	0,12	0,12		0,08		0,08		0,12		0,19	0,32	0,27
У:	0,16	0,09	0,08		0,05		0,13		0,10		0,14	0,30	0,31
			х^	0,22		0,34		0,14		0,46
			У:	0,24		0,28		0,11		0,42

Требуется при уровне значимости 0,05 установить, значимо или незначимо различаются средние результаты анализа в предложении, что они распределены нормально.

228

§ 8.

Сравнение

наблюдаемой

относительной

частоты

с гипотетической вероятностью появления события

Пусть по достаточно большому числу п независимых испытаний,

в каждом из которых вероятность р

появления

события постоянна,

по неизвестна,

найдена

относительная частота

т,п.

Требуется

при

заданном

уровне

значимости

а

проверить

нулевую гипотезу,

со­

стоящую в том, что неизвестная

вероятность р равна

гипотетической

вероятности ро-

Для

того чтобы при заданном уровне значимости

Правило

1.

а проверить

нулевую

гипотезу

Н^: р^=р^

о равенстве

неизвестной

вероятности

р гипотетической

вероятности

Ро 'Ф'^

конкурирующей

гипотезе Hi. р Ф Ро» надо вычислить наблюдаемое значение

критерия

___\(mln)—pQ]

Vn

V РоЯо

и по таблице

функции

Лапласа

найти

критическую

точку «кр "^

равенства

Ф(«кр)-(1—а)/2.

Если

|6'нзбл1<"кр — ^^'^

оснований

отвергнуть

нулевую гипо­

тезу. Если I (Уиабл I > "кр — нулевую гипотезу отвергают.

Правило 2.

При

конкурирующей

гипотезе Hi. р > р^^ находят

критическую точку правосторонней критической области из ра­

венства

Ф(«кр) =

(1-2а)/2.

Если

(/цабл < ^кр — «^'^^ оснований отвергнуть нулевую

гипотезу.

Если

6/„абл > "кр — нулевую

гипотезу

отвергают.

Правило 3. При

конкурирующей

гипотезе

Hi: р < р^^ находят

сначала

^вспомогательнуюу^

критическую

точку и^^^ по

правилу

2, а

затем

полагают

границу

левосторонней

критической

области

Whp — — "кр- Если

6/„абл >—"кр — «^^

оснований отвергнуть

нуле­

вую гипотезу.

Если

6/набл <—"кр — нулевую гипотезу

отвергают.

3 а м е ч а н и е.

Удовлетворительные

результаты

обеспечивает

выполнение неравенства

np^q^ > 9.

586. По 100 независимым испытаниям найдена отно­ сительная частота т/м = 0,14. При уровне значимости 0,05 требуется проверить нулевую гипотезу Я©: р = Ро^ -^0,20 при конкурирующей гипотезе Hi', р =5^0,20.

Р е ш е н и е . Найдем наблюдаемое значение критерия, учитывая, что до ^ 1 —Ро = 1 —0,20 = 0,80:

	_(m/n~Po). V^n			(0,14-0,20). УШ)	_
	^ иабл —	г	—	г	—	"~" * »^*
		УР^ЯЬ		V^0,20.0,80
По условию, конкурирующая гипотеза имеет					вид р Ф ро» по­
этому	критическая	область — двусторонняя. Найдем				критическую
точку	w^p по равенству

ф(м^р) = (1~.а)/2=-(1-~0,05)/2 = 0,475.

По таблице функции Лапласа (см. приложение 2) находим

229