_gmurman2[1]
.pdfК о н т р о л ь : 0,55 + 0,45 = 1.
409. Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины:
у |
|
|
X |
|
|
20 |
30 |
4 1 |
50 |
||
|
|||||
2,3 |
0.05 |
0,12 |
0,08 |
0.04 |
2.70.09 0.30 0,11 0.21
Найти |
законы распределения составляющих. |
|||
410. |
Задана |
функция |
распределения |
двумерной слу |
чайной величины |
|
|
||
|
I sin А'-sin г/ при 0^x^nl2, |
О^у^п/2, |
||
F (X, |
у)^ \ |
О |
при X <0 или |
у <0. |
Найти вероятность попадания случайной точки (X, У) в прямоугольник, ограниченный прямыми х = 0, дг = я/4, у==я/6, х/ = л/3.
Р е ш е н и е . |
Используем формулу |
Р (X, < X < Х2, У1 < У < Уг) = [^ (^^2. У^ — Р К^ъ Уг)\ — |
|
|
--1^(^2» У\) — ^{^ъ y\)V |
Положив Jfi"0, |
дс2 = -^4э |/1=л/6, У2 = л/3, получим |
я= [sill (л/4) sin (л/3)-—sin О sin (л/3)|-—
—[sin (Л/4) -sin (л/6) —sin 0-sin (л/6)] = ( / б " — К^)/4 =-0.26.
411.Найти вероятность попадания случайной точки
(Х,У) |
в прямоугольник, |
ограниченный прямыми |
х = 1 , |
||||
х==2, |
у = 3, |
1/ = 5, если известна функция распределения |
|||||
F (х, |
у) |
I |
1 — 2-^—2-^ + 2-^-*' при х > 0 , |
1/>0, |
|||
\ |
О |
при л < О или t/ < 0. |
|||||
|
|
||||||
412. Задана функция |
распределения двумерной |
слу |
|||||
чайной величины |
|
|
|
||||
Fix. |
у)^ |
( 1—3-^—3-^4-3-^-*' при лг^О, г/>0, |
|||||
\ |
О |
при X <0 |
или у |
<0. |
|||
Найти двумерную плотность вероятности системы.
Р е ш е н и е . Используем формулу / (х, у) = —— , Найдем част ные производные:
дх |
^ |
" дхду |
140
Итак, искомая двумерная |
плотность |
вероятности |
/ (^, У) — I ^ |
при |
JC < О или у <0, |
Рекомендуем читателю для |
контроля |
убедиться, что |
00 00
1п«3 f Г 3-'-ydA:dy=I.
оо
413.Задана функция распределения двумерной слу чайной величины
I (1—е-*^)(1—е-*^) |
при |
А : > 0 , |
у > 0 , |
^(^» У)->^ Q |
при |
А : < 0 , |
i / < 0 . |
Найти двумерную плотность вероятности системы (X, Y). 414. Задана двумерная плотность вероятности системы
случайных величин (X, Y)
.. |
. |
20 |
/ (Х. У) — „2 (16Н-А:2) ( 2 5 + У « ) •
Найти функцию распределения системы.
У к а з а н и е . Использовать формулу
уX
—во —о»
415.Задана двумерная плотность вероятности системы двух случайных величин: f (х, у) = (1/2)-sin{х-^-у) в квад
рате О :С л: ^ я/2, |
О ^ у ^ я/2; вне квадрата / (л:, у) = 0. |
Найти функцию распределения системы (X, К). |
|
416. В круге л:^+У^^^^ двумерная плотность веро |
|
ятности f{x, y)=C(R |
— Vx^ + y^)\ вне круга f{x,y) = 0. |
Найти: а) постоянную С; б) вероятность попадания слу
чайной точки |
(X, К) |
в круг радиуса г==1 с центром |
|
в начале координат, |
если /? = 2. |
||
Р е ш е н и е , |
а) Используем второе свойство двумерной плот |
||
ности вероятности: |
|
||
|
J J С (/?—К^^Н^) <^^ d|/ = l. |
||
Отсюда |
(О) |
|
|
С = 1 Д J (/?- }^х^ + у^) dx dy. |
|||
|
|||
(О)
141
Перейдя к полярным координатам» получим
2я |
R |
C=l/J |
d9 5(/?-p)pdp=3/(«/?»). |
о |
о |
б) По условию» R^2; |
следовательно, С=д/(8л) я |
/ (Дг. У) = (3/8л) ( 2 - )/ж«+у«).
Вероятность попадания случайной точки (X, К) в круг радиуса ге=1 с центром в начале координат (область D])
Р ИХ. Y) с Dil =(3/8л) 5 J ( 2 - Vx^+y^) dx6y.
Перейдя к полярным координатам, окончательно получим искомую вероятность:
2я 1
P = (3/8n)J dq) J (2-р)р dp = 1/2.
Оо
417« Поверхность распределения системы случайных величин (X, Y) представляет собой прямой круговой конус, основание которого—круг с центром в начале координат. Найти двумерную плотность вероятности системы.
У к а з а н и е . Перейти к полярным координатам.
418. Задана двумерная плотность вероятности f{x, у)= =C/r(9+^)(16+y*)J системы (X, К) двух случайных величин. Найти постоянную С.
419« Задана двумерная плотность вероятности f(x^y)= «=C/(x*+V + l)* системы случайных величин (X, Y). Найти постоянную С.
Указание . Перейти к полярным координатам.
420. В первом квадранте задана функция распреде ления системы двух случайных величин: F(x.y)=^ = 1 +2"'—г'^+г"'"^; вне первого квадранта F(JC, >')=0. Найти: а) двумерную плотность вероятности системы; б) вероятность попа дания случайной точки {X, Y) в треугольник с вершинами А (1; 3), 5(3; 3), С(2; 8).
§ 2. Условные законы распределения вероятностей составляюи|их дискретной двумерной случайной
Пусть составляющие X и К дискретны и имеют соответственно следующие возможные значения: х^ Xt» •*•* Хп$ у и Уг* •••^Ут*
Условным распределением составляющей X при Y^yj (/ сохра няет одно и то же значение при всех возможных значениях Л) на-
142
зывают совокупность условных вероятностей
Р {Ч I Уу), Р (Х2 I У/) |
Р(Хп\ У/)' |
Аналогично определяется условное распределение Y.
Условные вероятности составляющих X и Y вычисляют соответ ственно по формулам
, |
, , |
Р (Xi, У/) |
, |
, . |
Р (^i' yj) |
Для контроля вычислений целесообразно убедиться, что сумма вероятностей условного распределения равна единице.
421. Задана дискретная двумерная случайная вели чина (X, Y)\
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
Y |
;с, = 2 |
|
;г, = 5 |
дг,=8 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
^1 = |
0,4 |
0,15 |
|
0,30 |
0,35 |
||||
|
|
1/2 = |
0,8 |
0,05 |
|
0,12 |
0,03 |
||||
Найти: а) безусловные законы распределения состав |
|||||||||||
ляющих; б) условный закон |
распределения составляющей |
||||||||||
X при условии, |
что составляющая Y приняла значение |
||||||||||
i/i==0,4; |
в) условный закон распределения У при условии, |
||||||||||
что Х = |
А:2 = |
5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е , |
а) |
Сложив |
вероятности |
«по столбцам», напишем |
|||||||
закон распределения X: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
X |
2 |
|
|
5 |
|
8 |
|
|
|
|
|
р |
0,20 |
0,42 |
0,38 |
распределения у: |
|||
Сложив вероятности «по строкам», найдем закон |
|||||||||||
|
|
|
|
|
У |
0,4 |
0,8 |
|
|
||
|
|
|
|
|
р |
0,80 |
0,20 |
|
|
||
б) Найдем условные вероятности возможных значений X при |
|||||||||||
условии, что составляющая Y приняла |
значение yi = 0,4: |
||||||||||
|
Р (xi I yi)==p{xi, |
yi)/p |
(^0 = 0,15/0,80 = |
3/16, |
|||||||
|
Р ix2 \yi) |
= P (X2, yi)/P |
(Ух) = 0,30/0,80 = 3/8, |
||||||||
|
P (^3 \yi) |
= P (Хз. yi)lP |
(l/i) = |
0,35/0,80 = |
7/16. |
||||||
Напишем |
искомый |
условный закон распределения |
X: |
||||||||
|
|
|
|
X |
|
2 |
|
5 |
|
8 |
|
|
|
|
|
р{Х\уг) |
|
8/16 |
3/8 |
7/16 |
|
||
К о н , т р о л ь : |
3/16 + 3/8 + |
7/16=1 . |
|
|
|
||||||
в) Аналогично |
найдем условный закон распределения К: |
||||||||||
|
|
|
|
|
У |
|
|
0,4 |
0,8 |
|
|
|
|
|
|
Р{У\Х2) |
|
ЪП |
2/7 |
|
|||
К о н т р о л ь : |
5/7 + 2/7 = |
1, |
|
|
|
|
|
||||
143
422. Задана дискретная двумерная случайная вели чина (Х, Y):
|
|
X |
Y |
3 |
6 |
|
||
10 |
0,25 |
0,10 |
14 |
0,15 |
0,05 |
18 |
0,32 |
0,13 |
Найти: а) условный закон распределения X при усло вии, что К = 10; б) условный закон распределения У при условии, что Х = 6.
§3. Отыскание плотностей и условных законов распределения составляющих непрерывной
двумерной случайной величины
Плотность распределения одной из составляющих равна несобст венному интегралу с бесконечными пределами от плотности совмест ного распреде*1ения системы, причем переменная интегрирования со ответствует другой составляющей:
ОС X
/i W == J / (X' У) dy> |
h (У) =- 5 / (X, у) Ах. |
— се |
— оо |
Здесь предполагается, что возможные значения каждой из состав ляющих принадлежат всей числовой оси; если же возможные значе ния принадлежат конечному интервалу, то в качестве пределов ин тегрирования принимают соответствующие конечные числа.
Условной плотностью распределения составляющей X при задан ном значении Y~-у называют отношение плотности совместного рас пределения системы к плотности распределения составляющей К:
V(x\y)- |
Jjx, у) |
« |
fix, |
у) |
|
|
hiy) |
fix. У) dx |
|||
|
|
|
5 |
||
Аналогично определяется |
условная |
плотность распределения |
|||
составляющей Y: |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
fix.y)dy |
|
Если условные плотности |
распределения |
случайных величин X |
|||
и Y равны их безусловным плотностям, |
то такие величины незави |
||||
симы. |
|
|
|
|
|
Равномерным называют распределение двумерной непрерывной |
|||||
случайной величины (X, |
У), |
если в области, |
которой принадлежат |
||
144
все возможные значения (х, у), плотность совместного распределения вероятностей сохраняет постоянное значение.
423. Задана плотность совместного распределения не прерывной двумерной случайной величины (X, Y)
/ ( X , 1/)=1е-^1/2)(ДГ*+2ДГ//+5|,*)^
Найти: а) плотности распределения составляющих; б) ус ловные плотности распределения составляющих.
Р е ш е н и е , а) Найдем плотность распределения составляюи;ей X:
ОО |
ОБ |
Вынесем за знак интеграла множитель е""**/*'^, не заиисяш.ий от переменной интегрирования у, и дополним оставшийся показатель степени до полного квадрата; тогда
— ОС
Xd(V'bi2y+V'2ibx).
Учитывая, что интеграл Пуассона \ e-«*dw= |/^л, окончатель-
— 00
но получим плотность распределения составляющей X: /i(A:)-K"27(5^e-^'*^'.
Аналогично найдем плотность распределения составляющей У:
/2(|/)=^^27Не-2Д'*.
б) Найдем условные плотности распределения составляющих. Выполнив элементарные выкладки, получим:
/2 \У) |
У 2л |
/1 W |
У 2л |
424. Плотность совместного распределения непрерыв ной двумерной случайной величины (X, Y)
fix, i/) = Ce~^*-2^^-^*.
Найти: а) постоянный множитель С; б) плотности рас пределения составляющих; в) условные плотности распре деления составляющих.
425. Плотность совместного распределения непрерыв ной двумерной случайной величины /(х, (/) = cosx*cosy
145
в квадрате |
О ^ х ^ я / 2 , |
0^у^п/2\ |
вне |
квадрата |
/ (^% у) == 0. Доказать, что составляющие ХиУ |
независимы. |
|||
У к а з а н и е . |
Убедиться, |
что безусловные |
плотности распреде |
|
ления составляющих равны соответствующим условным плотностям.
|
426. |
Непрерывная |
двумерная |
случайная |
величина |
|||||
(X, V) |
|
распределена равномерно внутри |
прямоугольника |
|||||||
с центром |
симметрии |
в начале |
координат и сторонами |
|||||||
2а |
и |
26, |
параллельными |
координатным осям. Найти: |
||||||
а) двумерную плотность вероятности системы; |
б) плот |
|||||||||
ности |
распределения составляющих. |
|
|
|||||||
(X, |
427*. Непрерывная двумерная случайная величина |
|||||||||
V) |
|
распределена равномерно |
внутри |
прямоугольной |
||||||
трапеции |
с вершинами |
0(0; 0), Л (0; 4), В{3; 4), С (6; 0). |
||||||||
Найти: |
а) |
двумерную |
плотность |
|
вероятности |
системы; |
||||
б) плотности распределения |
составляющих. |
величина |
||||||||
|
428. |
Непрерывная |
двумерная |
случайная |
||||||
(X, Y) |
|
равномерно распределена |
внутри |
прямоугольного |
||||||
треугольника с вершинами |
0(0; 0), Л (0; 8), В(8;0). Най |
|||||||||
ти: а) двумерную плотность вероятности системы; |
б) плот |
|||||||||
ности и условные плотности распределения составляющих.
429*. Непрерывная двумерная случайная величина (X, V) равномерно распределена внутри трапеции с вер шинами Л(—6;0), i5(—3; 4), С(3; 4), Z)(6;0). Найти: а) двумерную плотность вероятности системы; б) плотно сти распределения составляющих.
§ 4. Числовые характеристики непрерывной системы двух случайных величин
Зная плотности распределения составляющих ХиУ непрерыв ной двумерной случайной величины {X, У), можно найти их матема
тические ожидания |
и дисперсии: |
|
|
|
00 |
« |
0 0 |
М(Х)= |
J xft (X) dx, |
iW (К) = |
J yf2 {у) dy. |
|
— 00 |
|
— OO |
00 |
|
00 |
|
D(X)= J [x-M{X)]^h{x)dx^ |
5 |
x^fy{x)dx-[M(X)\^'. |
|
— 00 |
|
— OO |
|
OO |
|
QO |
|
— 00 |
|
— 00 |
|
Иногда удобнее использовать формулы, содержащие двумерную плотность вероятности (двойные интегралы берутся по области воз-
146
можных |
значений системы): |
|
|
|
^ W = |
5 J [х-М |
(X)]V (;г, у)Лх6у^^^ |
x^f (X, у) их 6у--1М |
(Х)]\ |
D(Y)=^^ly~.И |
(К)1 V (X, I/) djcd£/ = 5 J i/V (jr, у) dx ду- [М |
(Y)]\ |
||
Начальным моментом v/t, s порядка k-{-s системы (X, К) назы вают математическое ожидание произведения X^Y^:
Vk.s^-MlXf^Ys].
В |
частности, |
Vo.i = Ai(K). |
|
|
Vi.o = ^i(X), |
||
|
Центральным моментом [ifi^ s порядка Ar + s системы (Л", Y) на |
||
зывают математическое ожидание произведения |
отклонений соответ |
||
ственно к'й и S-H степеней: |
|
|
|
В |
цл,, = .И{[Х-Л1(Х)1*1К-/И |
{¥)]*). |
|
частности, |
цо. i=^W [ К - М (Y)] = 0 ; |
||
|
И. o = ^W [ Х - . И (X)] = 0 , |
||
|
Ц2.о = >И [ Х ^ М (X)]2==D(X), |
Mo.2 = M [K--M (K)]«=D(K). |
|
|
Корреляционным моментом \ixy системы (X, Y) называют цент |
||
ральный момент ^ii i порядка 1 + ^« |
|
||
|
\Хху=М {[Х-^М |
(X)blY-M |
(Y)]). |
|
Коэффициентом корреляции величин X и К называют отношение |
||
корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин:
Коэффициент корреляции—безразмерная величина, причем | Гху К 1. Коэ4)фициент корреляции служит для оценки тесноты л и н е й н о й связи между X и Y: чем ближе абсолютная величина коэффициента корреляции к единице, тем связь сильнее; чем ближе абсолютная величина коэффициента корреляции к нулю, тем связь слабее.
Коррелированными называют две случайные величины, если их корреляционный момент отличен от нуля.
Некоррелированными называют две случайные величины, если их корреляционный момент равен нулю.
Две коррелированные величины также и зависимы; если две ве личины зависимы, то они могут быть как коррелированными, так и некоррелированными. Из независимости двух величин следует их
некоррелированность, |
но из некоррелированности еще нельзя сделать |
||
вывод о независимости |
этих величин (для нормально распределенных |
||
величин из некоррелированности |
этих величин вытекает их незави |
||
симость). |
|
|
и К корреляционный момент может |
Для непрерывных величин X |
|||
быть найден по формулам: |
|
||
ос |
со |
|
|
Мхг, = S |
S |
ix-Л^ (^)1 ly-^i (У)] f (X, у) их ду, |
|
— 0 0 — 0 0 |
|
|
|
|
ОС |
ОО |
|
M^j, = |
5 |
I xyf (х, у) dx dy-M (X) М (К). |
|
|
— X |
— 00 |
|
147
430. Задана плотность совместного распределения не прерывной двумерной случайной величины (X, К):
fi |
^^^ ^хуе-^'-у' |
(x>0, у>0), |
ГКХ.у)^^^ |
( А : < 0 или | / < 0 ) . |
|
Найти: а) математические ожидания; б) дисперсии состав ляющих X и Y.
Р е ш е н и е , а) Найдем сначала плотность распределения состав |
|
ляющей X: |
|
/i(x) = J /{X, у) dy = 4xe-** J ye-^»dy==2xe-*' (x > 0). |
|
Аналогично получим |
|
ft(y)=-2ye-y^ |
(y>0). |
Найдем математическое ожидание составляющей X:
М (X) == J xft (х) djc = J jc.(2xe-** dx).
0 0
Интегрируя по частям и учитывая, что интеграл Пуассона \ e"***djc=
_ |
получим |
М (X) = |
Уп/2. |
|
|
|
о |
_ |
|
= Уп/2, |
Очевидно, что М (У) = Vn/2. |
||||||||
б) Найдем дисперсию X: |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
о» |
|
|
|
|
|
|
|
|
D (X) = J xVi (X) dx^ [М (Х)|« = |
|
|
|||||
|
|
00 |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
J JC» (2ле-*' djc) —( К"я/2)* = |
1 —л/4. |
|
|
||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, что D (К) = 1 --л/4 |
|
|
|
|
|
||||
431 • Задана плотность совместного распределения |
дву |
||||||||
мерной |
случайной величины (X, Y) |
|
|
|
|||||
f{Xfy)-^Q |
f |
Збхуе -'^^'^у'^ |
(А: > |
О, у > 0), |
|
|
|||
|
|
|
|
(X < |
О или у < |
0). |
|
||
Найти |
математические |
ожидания |
и дисперсии |
составля |
|||||
ющих. |
Задана |
плотность совместного |
распределения не |
||||||
432. |
|||||||||
прерывной двумерной случайной величины (X, К): /(х, |
у)= |
||||||||
= 2cosXcosy |
в |
квадрате О ^ х ^ я / 4 , О ^ у ^ я / 4 ; вне |
|||||||
квадрата f{x,y) |
= 0. |
Найти |
математические |
ожидания |
|||||
составляющих. |
|
|
|
|
|
|
|
||
148
433. Задана плотность совместного распределения не прерывной двумерной случайной величины (X, У): /(х, (/)=
:^ (1/2) sin (jc4-1/) |
в |
квадрате О ^ х ^ л / 2 , 0 ^ ( / ^ л / 2 ; |
||||
вне квадрата f(x, |
у) = |
0. Найти математические ожидания |
||||
и дисперсии |
составляющих. |
распределения не |
||||
434. Задана плотность совместного |
||||||
прерывной |
двумерной |
случайной |
величины |
(X, Y): |
||
f{Xyy) = {l/4)sir)xsiny |
|
в квадрате 0^л:^-л[, |
О^у^п; |
|||
вне квадрата f (х, у) = |
0. Найти: а) математические ожи |
|||||
дания и дисперсии составляющих; б) корреляционный момент.
435. Заданы плотности распределения независимых составляющих непрерывной двумерной случайной вели
чины {X, У): |
|
|
|
|
|
|
I |
О |
при |
л: < О, |
( О |
при |
t/< О, |
f'^^'>'~^\ |
5е-^^ |
при |
л'>0; |
f^^y'^^^ \ 2е''У |
при |
у>0. |
Найти: а) плотность совместного распределения си стемы; б) функцию распределения системы.
У к а з а н и е . Если составляющие системы независимы, то дву мерная плотность вероятности равна произведению плотностей со ставляющих, а функция совместного распределения системы равна произведению функций распределения составляющих.
436. Непрерывная двумерная случайная величина (X, У) распределена равномерно в круге радиуса /* с цент ром в начале координат. Доказать, что X и У зависимы, но некоррелированны.
У к а з а н и е . Сравнить безусловные и условные плотности рас пределения составляющих; убедиться, чго корреляционный момент равен нулю.
437. Доказать, что если двумерную плотность вероят ности системы случайных величин (X, У) можно пред ставить в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от х, а другая—только от i/, то величины X и У независимы.
Р е ш е н и е . По условию, |
|
|
|
|
f(x.y)=q>(x)'X}p(y). |
|
(*) |
Найдем плотности распределения составляющих: |
|
||
- |
00 |
—00 |
|
|
00 |
00 |
|
/г (г/) = |
S / ix, y)6x=ylf (у) |
J ф (X) дх. |
(»»*) |
— 00 |
— 00 |
|
|
149