Решение

æ	2	1	ö		æ100	ö	æ 850	ö
				´	ç	÷			,	общая стоимость сырья Q =
Затраты сырья S = АС= ç			3÷		ç200	÷	= ç	÷
èç1		3	4ø÷		ç	÷	ç1300	÷
					è150	ø	è	ø

æ 850 ö

BS = (10 15)´ ç ÷ = 20350.

çè1300÷ø

Итак, общие затраты предприятия на производство 100 единиц продукции первого вида, 200 единиц продукции второго вида и150 единиц продукции третьего типа составляют 20350 условных денежных единиц.

2. Определители

Каждой квадратной матрице А порядка n можно поставить в соответствие число, называемое определителем и обозначаемое А . Определитель первого порядка матрицы (а11) – это само число а11.

Определителем

второго

порядка, соответствующим

матрице

æa

a

ö

, называется

число,

определяемое

следующим

образом:

A = ç 11

12

÷

ç

a22

÷

èa21

ø

A

=

a11

a12

= . = a × a

22

- a

21

× a

a21

a22

11

12

Для матрицы А третьего порядка определитель можно вычислить по

формуле, которая называется формулой треугольников:

a11	a12	a13
a21	a22	a23	= a11 × a22 × a33 + a12 × a23 × a31 + a21 × a32 × a13 -
a31	a32	a33
			-a13 × a22 × a31 - a23 × a32 × a11 - a21 × a12 × a33 .

Вэтой формуле первые три слагаемых представляют произведения

элементов, получаемые по левой схеме. Следующие три произведения

9

получаются по правой схеме, их берут со знаком минус. Символически это записывается следующим образом и легко для запоминания:

	=		–
	(Основания			(Основания
	треугольников			треугольников
	параллельны			параллельны
	главной диагонали)			побочной
				диагонали)
	Примеры	4	2	1
	2.1. Вычислить определители: 8
		1 , 6	7	- 3.
	7	4	4	5
		0

Решение

8 1 = 8×4 - 7 ×1 = 32 - 7 = 25. 7 4

4 2 1 6 7 - 3 = 4 ×7 ×5 + 6 ×4 ×1+ 2 ×(-3) ×0 - [ 0 ×7 ×1+ 4 ×(-3) ×4 + 6 ×2 ×5 ]=

0 4 5

=140 + 24 - 0 - [0 - 48 + 60]=164 -12 =152 .

3.Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера.

Система n

линейных

уравнений mс неизвестными

имеет

вид

ìa11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 ,

ï

+ a22 x2 + + a2n xn

= b2 ,

ïa21 x1

í...........................................

ï

ïa

x

+ a

m 2

x

2

+ ... + a

mn

x

n

= b

,

î

m1 1

m

10

						æ a	a	...	a ö
						ç 11	12		1n ÷
или в матричном виде					AX = B , где А=	ç a21	a22	...	a2n ÷	– матрица коэффициен-
						ç			÷
						ç ... ...		...	... ÷
						ç	am 2	...	÷
						èam1			amn ø
	æ x		ö
	ç	1	÷
тов,	ç x2 ÷			– вектор-столбец неизвестных, а В – вектор-столбец правых час-
	X = ç	...	÷
	ç		÷
	ç		÷
	è xn ø
	æb	ö
	ç 1	÷
тей	çb2	÷ .
	B = ç	÷
	ç...	÷
	çb	÷
	è m ø

Система

уравнений,

в

которой количество

уравнений

равно числу

неизвестных (m = n), имеет

единственное

решение, если

A

¹ 0 ,

и не

имеет

решений, если

A

= 0 .

Система

2-х линейных

уравнений

с двумя

неизвестными

имеет вид

ìía11 x1 + a12 x2 = b1 , îa21 x1 + a22 x1 = b2 .

Решением системы двух линейных уравненийс двумя неизвестными

будет упорядоченная пара		чисел	, y0 )	,	при	подстановке которых		вместо
		(x0
соответствующих	неизвестных		все		уравнения		системы	обращаются
тождества.
Система 3-х	линейных	уравнений			с	тремя	неизвестными	имеет вид

ìïa11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 , ía21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 , ïîa31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3 .

Решением системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными

называется упорядоченная тройка чисел( x0 , y0 , z0 ) , при подстановке которых вместо соответствующих неизвестных все уравнения системы обращаются в тождества.

11

Каждое неизвестное системы линейных уравнений

можно найти по

формуле Крамера:

xi =

Di

, где D – это определитель системы, составленный из

D

коэффициентов

неизвестных D =

A

¹ 0 , а Di =

Ai

– это

определитель,

который получается из матрицыА заменой i-го столбца на столбецВ правых частей.

Нахождение неизвестных системы двух линейных уравнений с двумя

неизвестными по формулам Крамера:

х =

D1

,

х

2

=

D2

,

1

D

D

где D =

a11

a12

,

D ¹ 0 , D1 =

b1

a12

, D2 =

a11

b1

.

a21

a22

b2

a22

a21

b2

Нахождение неизвестных системы трех линейных уравнений с тремя

неизвестными по формулам Крамера:

х =

D1

,

х

2

=

D2

, х =

D3

,

1

D

D

3

D

a11

a12

a13

b1

a12

a13

a

b

a

a21

a22

a23

b2

a22

a23

11

1

13

где D =

, D ¹ 0 ,

D1 =

,

D2 =

a21

b2

a23

,

a31

a32

a33

b3

a32

a33

a31

b3

a33

a11

a12

b1

D3 =

a21

a22

b2

.

a31

a32

b3

Примеры

3.1. Решить систему íì2x1 + 3x2

= 1 по формулам Крамера:

î3x1 - 2x2

= 8

Решение

12

x =				D					1		, x		2	=			D2				.
				D													D
1
D =			2							3				= -4 - 9 = -13 ¹ 0 Þ система имеет единственное решение.
			3							- 2
D1 =							1 3									= -2 - 24 = -26 , D2 =																2 1			=16 - 3 =13 ,
							8			- 2																						3	8
x =				- 26								=		2 ,					x		=		13				= -1.
																				2
1		-13																				-13
														ì3x1 + 2x2 - x3 = -1
3.2. Решить систему íïx1 + x3 = 3																														по формулам Крамера:
														îï- x1 + x2 + x3 = 0
Решение
x =				D					1		, x		2	=			D2				, x	3		=	D3			.
				D													D									D
1
		3								2				-1					= -8 ¹ 0 Þ система имеет единственное решение.
D =		1								0				1
	-1									1				1
								-1 2 -1																						3 -1 -1											3 2 -1
D1 =								3 0 1													= -8 , D2 =									1 3 1							= 8 ,		D3 =		1 0 3		= -16 ,
									0 1 1																					-1 0 1											-1 1 0
		- 8 =											1,												8 = -					1,						-16 =			2.
																																x3	= -8
x1 = - 8																					x2 =				-8

13

4. Обратная матрица

Матрица A называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля, т. е. A ¹ 0 . Матрица A называется вырожденной, если ее определитель

равен нулю		A		= 0 .
Матрица A-1 называется обратной					для невырожденной квадратной
матрицы A , если A-1 × A = A× A-1 = E .
Алгебраическим дополнением Aij					элемента aij	называется число,
определяемое равенством Aij = (-1)i + j × M ij .

Минором Мij , соответствующим элементу aij , называется определитель,

полученный из данного определителя путем вычеркивания из негостроки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.

æ a	a
ç 11	12
Обратная матрица A-1 для невырожденной матрицыA = ça21	a22
ç	a32
èa31

a13 ö÷ a23 ÷ a33 ÷ø

æ A

A

A

ö

-1

1 ç

11

21

31

÷

имеет вид: A

=

ç A12

A22

A32

÷ .

A

ç A

A

A

÷

è

13

23

33

ø

	ìa x				+ a x					+ a x					= b ,
Систему линейных уравнений	ï	11		1	12			2		13			3		1
	ía21 x1 + a					22 x2				+ a23 x3					= b2 , можно решить не
	ïa		31	x	+ a	32	x		2	+ a	33	x		3	= b .
	î			1											3

только по формулам Крамера, но и с помощью обратной матрицы; для этого

необходимо записать уравнение в матричной : формеА × Х = В , где

æ a	a	a	ö
ç 11	12	13	÷
A = ça21	a22	a23 ÷ – матрица
ç	a32	a33	÷
èa31			ø

æ b	ö
ç 1	÷
неизвестных, В = çb2 ÷ – матрица
çb	÷
è 3	ø

æç х1 ö÷

коэффициентов, Х = ç х2 ÷ – матрица

çè х3 ÷ø

свободных членов. Чтобы найти матрицу

14

неизвестных, необходимо найти обратную матрицу A-1 , а затем умножить ее на матрицу свободных членов, т. е. Х = A-1 × В

Примеры

æ1		-1	2	ö
ç		1	0	÷
4.1. Найти обратную матрицу для матрицы A = ç2				÷ .
ç	1	1		÷
è			-1ø

Решение

Вычислим определитель матрицы А:

1 -1 2

A = 2 1 0 = -1 + 4 - 2 - 2 = -1 ¹ 0 Þ обратная матрица существует.

1 1 -1

Найдем алгебраические дополнения Aij всех элементов матрицы А:

A = (-1)1+1 ×

1 0

= -1,

A = (-1)1+2 ×

2 0

= 2 ,

A = (-1)1+3 ×

2 1

=1,

11

1

-1

12

1

-1

13

1

1

A = (-1)2+1 ×

-1 2

=1,

A = (-1)2+2

×

1 2

=

3 ,

A = (-1) 2+3

×

1 -1

= -2 ,

21

1

-1

22

1

-1

23

1

1

A = (-1)3+1 ×

-1 2

= -2 ,

A = (-1)3+2

×

1 2

= 4

,

A = (-1)3+3

×

1 -1

= 3 .

31

1

0

32

2

0

33

2

1

Составим обратную матрицу A-1 для матрицы А:

1

æ-1 1 - 2 ö

æ 1 -1 2 ö

-1

ç

÷

ç

÷

A

=

× ç 2

3

4 ÷ =

ç

- 2 3

-

4÷ .

-1

ç

÷

ç

-1 2

-

÷

è 1

- 2 3 ø

è

3ø

Выполняя

проверку A-1 × A = E ,

убедимся в правильности выполненных

вычислений:

æ 1

-1 2 ö

æ1

-1 2 ö

ç

÷

ç

÷

ç- 2 3 - 4÷ × ç2 1

0 ÷ =

ç

÷

ç

÷

è -1 2 - 3

ø

è1 1

-1ø

æ

(1 - 2 + 2) (-1 -1 + 2) (2 + 0 - 2) ö æ1 0 0ö

ç

÷

ç

÷

= ç(-2 + 6 - 4) (2 + 3 - 4) (-4 + 0 + 4)÷ = ç0 1 0÷.

ç

÷

ç

÷

è (-1 + 4 - 3) (1 + 2 - 3) (-2 + 0 + 3) ø è0 0 1ø

15