Решение

Найдём координаты вектора AB : AB ={–3–2, 5–1, 1–4}={–5, 4, –3}, тогда

				r	r	r	r
искомое разложение будет иметь вид: a					= -5i + 4 j - 3k .
r	r	r	r	r		r	r	= {2;- 6;7}.
6.3. Найти вектор d = 2a		-3b + c		, если a = {5;2;1},		b = {-1;3;- 2}, c

Решение

r

Вектор d будет иметь следующие координаты:

d= 2 ×{5, 2, 1}- 3 ×{-1, 3, - 2}+ {2, - 6, 7}=

={2 ×5 - 3×(-1)+ 2, 2 × 2 - 3×3 + (- 6), 2 ×1- 3×(-2) + 7}= {15, -11, 15}.

r	= {ax ;3;- 6}
6.4. Установить, при каких значениях координат ax и by векторы a
r
и b = {2;by ;2} будут коллинеарными.

Решение

Применяя критерий коллинеарности, получим следующие уравнения:

						ìa		x	= -3	Þ ax	= -6,
						ï
a			3		- 6		2
	x					ï
		=		=		= -3 Þ í	3
2			by		2
						ï			= -3	Þ by	= -1.
						ïb		y
						î

7. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением a ×b векторов a						и	b (рис. 2) называется
число, равное произведению модулей этих векторов							на косинус угла между
ними
	a ×b =	a	×	b	cosj .		(2.1)

Рис. 2. Векторы a и b

23

При решении некоторых задач угол между векторами a и b неизвестен, а

известны координаты векторов: a = {x1, y1, z1}, b = {x2, y2, z2}, в таком случае скалярное произведение можно найти по формуле

a × b = (a, b)= х1 × х2 + y1 × y2 + z1 × z2 .

Свойства скалярного произведения векторов:

1)a × b = b × a ;

2)(a + b)× c = a × c + b × c ;

3)k a ×b = a × kb = k (a × b);

4)a × a ³ 0 .

Косинус угла cos j между векторами a = {x1, y1, z1} и b = {x2, y2, z2}

вычисляется по формуле

cosj =

a

×

b

=

х1 × х2 + y1 × y2 + z1 × z2

a

×

b

x12 + y12 + z12 × x22 + y22 + z22 .

(2.2)

Проекция вектора a = {x1, y1, z1} на вектор и b = {x2, y2, z2} находится

по формуле

r

r r

х

× х

+ y

× y

+ z

× z

ab

2

2

2

прbra

=

r

=

1

1

1

.

(2.3)

x22 + y22 + z22

b

Критерий перпендикулярности: если a ¹ 0 , b ¹ 0 , то

a ^ b Û a × b = 0 .

24

Примеры

7.1. Вычислить скалярное произведение (a, b), если a = {4;1; - 3}, b = {1;7;9}.

Решение

(a, b)= 4 ×1 +1× 7 + (-3) × 9 = -16 .

7.2. Найти координату х вектора b = {х; - 2; -1}, перпендикулярного вектору

a = {2;1;8}.

Решение

Воспользуемся критерием перпендикулярности двух векторов и составим

уравнение	2 × х +1× (-2) + 8 × (-1) = 0 , решение которого устанавливает	значение
искомой величины х = 10 / 2 = 5 .
7.3. Найти	угол ÐMKN в треугольникеMNK, вершины, которого	имеют
координаты M(3; –1; 2), N(1; 3; 1), K(4; 1; –2).
Решение

Угол ÐMKN следует рассматривать как угол между векторами KM и KN .

Найдем координаты этих векторов:

KM = {3 - 4;-1 -1;2 - (-2)}= {-1;- 2; 4},

KN = {1 - 4;3 -1;1 - (-2)}= {- 3;2;3}.

Вычислим косинус угла ÐMKN в треугольнике MNK по формуле (2.2):

cos (ÐMKN )=

KM

×

KN

=

(-1) × (-3) + (-2) × 2 + 4 × 3

» 0,51.

KM

×

KN

(-1)2 + (-2)2 + 42 × (-3)2 + 22 + 32

Значение искомого угла ÐMKN равно arccos(0,51) » 59°.

r

r

r

= -

r

=

{1;

-

-

2}.

7.4. Найти проекции

пр rc

и

прrd

2; 4;3}, d

5;

d

с

, если c

{

25

Решение

По формуле (2.3),

r

d × c

(-2) ×1 + 4 × (-5) + 3 × (-2)

прdrc =

=

» -5,1

;

d

12 + (-5)2 + (-2)2

r

c × d

1×(-2) + (-5) × 4 + (-2) ×3

прсrd =

=

» -5,2 .

c

(-2)2 + 42 + 32

8. Векторное произведение векторов

Три некомпланарных вектораa,b и c , взятые в указанном порядке,

образуют правую (левую) тройку, если с конца вектора c кратчайший поворот

от первого вектораa ко второму векторуb виден против часовой стрелки

(соотв. по часовой стрелке) (рис. 8.1. и рис. 8.2).

Рис. 8.1. Правая тройка

Рис. 8.2. Левая тройка

Векторным произведением неколлинеарных векторов a и b называется

вектор c , определяемый условиями:
1)	вектор c перпендикулярный векторам a и b , т. е. c ^ a и c ^ b ;
2)	длина вектора c равна площади параллелограмма, построенного на
				a		b		× sin j, где j = (a,b) ;
векторах a и b как на сторонах, т. е.		с	=		×				(8.1)

26

3) векторы a,b и c образуют правую тройку.

Векторное произведение обозначается a ´ b или [a,b]. Если векторы a и b

коллинеарны (в частности, один из этих векторов нулевой), то по определению

a ´ b = 0 .

Свойства векторного произведения:

1.a ´ b = -(b ´ a) (свойство антиперестановочности);

2.l × (a ´ b) = la ´ b = a ´ lb (свойство сочетательности относительно скалярного множителя);

3.a ´ (b + c) = a ´ b + a ´ c (распределительное свойство);

4.a ´ b = 0 если a || b .

Если

векторыa и b заданы своими координатами a = {x1, y1, z1}, b = {x2, y2,

z2}, то векторное произведение вычисляется следующим образом:

i

j

k

y1

z1

x1

z1

x1

y1

a ´ b =

x

y

z

= i ×

- j ×

+ k ×

, т. е.

1

1

1

y2

z2

x2

z2

x2

y2

x2

y2

z2

ì	y	z	,-	x	z	,	x	y	ü	(8.2)
a ´ b = í	1	1		1	1		1	1	ý .
î	y2	z2		x2	z2		x2	y2	þ

С помощью векторного произведения можно вычислить:

а) площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b :

S =	a ´ b	.	(8.3)

b) площадь треугольника, построенного на векторах a и b :

S =	1	a ´ b	(8.4)

2

27