M-031 / M-031, N=8

Контрольная работа M-031, часть 2, N=8.

Тема: аналитическая геометрия.

1) На оси найти точку , для которой вектор ортогонален вектору , где , .

Точка расположена на оси , поэтому её координаты . Условием ортогональности векторов является равенство нулю их скалярного произведения, поэтому:

Откуда получаем

.

и

Ответ: .

2) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и , где , и угол между векторами и равен .

Площадь параллелограмма, построенного на векторах и , можно вычислить как модуль их векторного произведения:

Вычисляем векторное произведение векторов:

- т.к. , , .

Следовательно, площадь параллелограмма

(кв. ед.)

Ответ: кв. ед.

3) Составить уравнение прямой, проходящей через точку , перпендикулярной отрезку , где , .

Обозначим искомую прямую . Общее уравнение прямой имеет вид , где коэффициенты и можно рассматривать как координаты нормали прямой.

Используем в качестве нормали прямой вектор и запишем уравнение прямой как

.

Свободный член найдём, располагая координатами точки :

и окончательно

- общее уравнение прямой .

4) Составить уравнение плоскости, содержащей прямую

и параллельной прямой

.

Обозначим первую данную прямую , вторую данную прямую , искомую плоскость . Заметим, что прямые и неколлинеарны (не параллельны и не совпадают). Нормальный вектор плоскости найдём как векторное произведение направляющих векторов прямых и :

Прямая проходит, в частности, через точку . Таким образом, уравнение плоскости - уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор :

- общее уравнение плоскости .

Тема: линейная алгебра.

5) Вычислите , где , , .

Вычисление в Mathcad 16:

6) Решите систему линейных уравнений

а) по формуле Крамера;

б) матричным способом.

Запишем систему линейных уравнений в матричном виде

,

где основная матрица системы

вектор неизвестных

вектор правых частей системы

а)

Решим неоднородную систему по формулам Крамера.

Вычисляем главный определитель:

.

Определители , полученные из определителя основной матрицы заменой -го столбца столбиком свободных членов:

Находим решение по формулам Крамера:

Выполним проверку найденного решения подстановкой в исходное уравнение:

- верно

Ответ: .

б)

Матричный способ. Решение ищем в виде , где

обратная матрица ;

- союзная (присоединённая) матрица;

- определитель матрицы .

Вычислим определитель матрицы :

Союзная (присоединённая) матрица - это транспонированная матрица алгебраических дополнений элементов матрицы :

Вычисляем алгебраические дополнения матрицы :

Запишем союзную (присоединённую) матрицу:

и вычислим обратную матрицу

Находим решение:

Ответ: .

Решение системы в Mathcad 16:

7) Найдите общее решение системы линейных уравнений

Определение. Равенства, выражающие базисные переменные через свободные, называются общим решением системы.

Теорема Кронекера-Капелли.

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы .

Теорема.

Если ранг совместной системы равен числу неизвестных , то система имеет единственное решение (система определённая).

Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных , то система имеет бесчисленное множество решений (система неопределённая).

► Исследуем совместность системы, опираясь на теорему Кронекера-Капелли. Найдём ранги основной и расширенной матрицы системы. Чтобы не выполнять двойной работы, преобразуем сразу расширенную матрицу системы к упрощенному виду (методом Гаусса):

Из последней матрицы видим, что ранги основной и расширенной системы равны , следовательно, система совместна. Так как число неизвестных , то , и значит система уравнений неопределённа, т.е. имеет бесчисленное множество решений.

► Решение системы.

Полученную ранее упрощенную матрицу системы запишем в виде системы:

Пусть свободная переменная ; выразив главные (базисные) переменные и через свободную переменную, получим общее решение системы:

Система имеет бесконечно много решений.

Решение системы в Mathcad 16:

Тема: теория вероятностей.

8) В урне имеется 8 белых и 15 черных шаров. Из урны извлекают 3 шара одновременно.

а) Какова вероятность того, что среди извлечённых шаров белых шаров будет больше, чем чёрных ?

б) Найдите закон распределения случайной величины , где - число белых шаров среди извлечённых.

Обозначим события:

- среди вынутых из урны наугад трёх шаров обнаружено белых шаров;

- извлечённых шаров белых шаров будет больше, чем чёрных.

► Для начала найдём закон распределения случайной величины .

Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно выбрать 3 шара из 23, т.е. - числу сочетаний из 23 элементов по 3.

Число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию, например, для случая обнаружения двух белых шаров среди трёх извлечённых из урны (среди трёх шаров 2 белых и 1 чёрный) определим, используя правило произведения в комбинаторике: - из находящихся в урне 8-ми белых шаров необходимо выбрать 2 шара, при этом из 15-ти чёрных шаров необходимо выбрать 1.

По формуле классического определения вероятности:

Вероятность обнаружения 0 белых шаров среди трёх вынутых из урны

вероятность обнаружения 1-го белого шара среди трёх вынутых из урны

вероятность обнаружения 2-х белых шаров среди трёх вынутых из урны

вероятность обнаружения 3-х белых шаров среди трёх вынутых из урны

Заметим, что события составляют полную группу событий:

► Запишем закон распределения случайной величины - числа белых шаров среди трёх извлечённых случайным образом из урны (закон распределения дискретной случайной величины, заданный в виде таблицы, называется рядом распределения):

	0	1	2	3
	65/253	120/253	60/253	8/253

► Какова вероятность того, что среди извлечённых шаров белых шаров будет больше, чем чёрных ? События несовместны, поэтому к их вероятностям применима теорема сложения вероятностей:

9) Рабочий обслуживает три станка. Каждый из станков может выходить их строя независимо друг от друга с вероятностями 0.8, 0.9, 0.5 соответственно. Стало известно, что из строя вышел один станок. Какова вероятность, что это был первый станок ?

Обозначим событие:

- станок выходит из строя.

Сформулируем гипотезы:

- из строя вышел 1-й станок, ;

- из строя вышел 2-й станок, ;

- из строя вышел 3-й станок, .

Условные вероятности:

;

;

.

По формуле полной вероятности

- вероятность того, что станок выйдет из строя.

Искомую вероятность найдём по формуле Байеса (переоценка вероятности события ):

- вероятность того, что вышедший из строя станок - это первый станок.

Ответ: .

10) Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения

Найдите:

а) функцию распределения ;

б) математическое ожидание ;

в) вероятность того, что в результате испытания примет значение из интервала ;

г) вероятность того, что в трёх испытаниях ровно два раза принимает значение, принадлежащее интервалу .

- плотность распределения (плотность распределения вероятностей, плотность, дифференциальная функция распределения) случайной величины ; .

- функция распределения (функция распределения вероятностей, интегральная функция распределения) случайной величины ; .

► Для вычисления интегральной функции распределения используем формулу .

Если , то

.

Если , то

.

Если , то

.

Итак, интегральная функция распределения:

► Математическое ожидание

► Вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала :

или, через функцию распределения:

► Вероятность того, что в трёх испытаниях ровно два раза принимает значение, принадлежащее интервалу .

Обозначим событие:

- в трёх испытаниях ровно два раза принимает значение, принадлежащее интервалу .

Вероятность того, что случайная величина в одном испытании примет значение из интервала :

Условия задачи соответствуют схеме Бернулли, и вычисления производим по формуле Бернулли

Искомая вероятность

Ответ: .

10