62

ФЕДЕРАЛЬНОЕАГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Тверской государственный технический университет

­­­­­­­­­­­­­­­­­

Кафедра информатики и прикладной математики

Контрольная работа

Методическая разработка

для студентов заочников первого курса

Тверь 2013

УДК 517 (075.8)

ББК 22.16. я 7

Представленная методическая разработка включает основные вопросы программы по высшей математике для студентов первого курса по следующим разделам: линейная и векторная алгебра, аналитическая геометрия, пределы, непрерывность функции, дифференцирование функции.

Контрольные задания по данным разделам необходимы для приобретения практических навыков при изучении курса высшей математики.

Методические указания обсуждены и рекомендованы к печати на заседании кафедры информатики и прикладной математики (протокол № от 2013 г.)

Методическая разработка

для студентов заочников первого курса

 Тверской государственный

технический университет, 2011

 Романова Г.В., Стукалова Н.А., Кислова И.Л.

В методических указаниях приведены примеры и задачи по следующим разделам курса математики:

1. Линейная алгебра.

2. Векторная алгебра.

3. Аналитическая геометрия.

4. Введение в математический анализ.

5. Производная и дифференциал.

6. Исследование поведения графика функции.

Прежде чем приступить к выполнению контрольных работ, студенту необходимо изучить соответствующий теоретический материал по указанным учебникам.

Если в процессе изучения теоретического материала или при решении задач возникают вопросы, то можно обратиться к преподавателям кафедры

для получения консультации.

Во время экзаменационной сессии для студентов-заочников организуются лекции и практические занятия, которые носят обзорный характер.

При выполнения контрольной работы обратите внимание на оформление работы. НА ТИТУЛЬНОМ ЛИСТЕ ДОЛЖНЫ БЫТЬ УКАЗАНЫ:

Фамилия, имя, отчество

НОМЕР СТУДЕНЧЕСКОГО БИЛЕТА (или ЗАЧЁТНОЙ КНИЖКИ)

НАЗВАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

НОМЕР КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

НОМЕР ВАРИАНТА

Номер варианта, который должен выполнить студент, соответствует последней цифре номера студенческого билета (или зачетной книжки)

ТЕМА 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

1. Матрицы. Действия над матрицами.

Матрицей порядка называется прямоугольная таблица, состоящая изm - строк и n – столбцов

Часто записывают

Если количество строк матрицы равно количеству столбцов, то матрица называется квадратной, в противном случае – прямоугольной.

Нулевой называется матрица, все элементы которой нули.

Единичной матрицей порядка n называется квадратная матрица на главной диагонали которой единицы, все остальные элементы – нули.

Диагональной называется квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю.

Главная диагональ квадратной матрицы содержит элементы

Побочная диагональ квадратной матрицы содержит элементы

Произведением матрицы на числоk называют матрицу , в которой элементыопределяют по правилу. При этом пишут.

Суммой матриц иназывают матрицу, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матрицА и В, т.е. При этом пишутС=А+В. Складывать можно матрицы одинаковой размерности.

Транспонирование матрицы – это перестановка строк в столбцы.

Пусть дана матрица , то

Произведением матрицы на матрицуназывают матрицу, элементы которой определяются по правилу. При этом пишутС=АВ.

Заметим, что произведение матриц определено, если количество столбцов первого сомножителя совпадает с количеством строк второго.

Введённые операции над матрицами обладают свойствами суммы и произведения чисел:

А+В=В+А А(В+С)=АВ+АС

α( А+В)=αА+αВ А+(В+С)=(А+В)+С

(α+β)А=αА+βА А(ВС)=(АВ)С

Не выполняется лишь коммутативность умножения, т.е. АВ≠ВА.

2. Определители.

Каждой квадратной матрице А ставится в соответствие число, называемое определителем и обозначаемое det A или .

Определитель матрицы порядка 1 равен элементу матрицы.

Определитель второго порядка вычисляется по формуле

Определитель третьего порядка вычисляется по формуле

Для вычисления определителя третьего порядка лучше пользоваться правилом Саррюса (треугольников) или правилом «35»

Правило Саррюса состоит в том, что девять чисел, составляющих определитель, разбиваются на 6 троек. Тройке придаётся знак «+», если элементы, входящие в неё, расположены на главной диагонали или в вершинах треугольника с основанием параллельным главной диагонали, или знак «-», если элементы, входящие в тройку, расположены на побочной диагонали или в вершинах треугольника с основанием параллельным побочной диагонали. Затем берётся сумма произведений элементов троек с учётом их знаков.

Правило «» использует схему

(к матрицедобавлены первые два столбца)

Элементы матрицы соединены отрезками. Произведению элементов, составляющих тройку и лежащих на одном отрезке, придаётся знак «+», если отрезок параллелен главной диагонали, и «-», если побочной. Определитель равен сумме произведений элементов троек с учётом их знаков.

Определитель треугольной и диагональной матрицы равен произведению элементов главной диагонали. Для вычисления определителя иногда оказывается удобным приведение матрицы к треугольному виду с использованием свойств определителя.

Матрица, определитель которой равен нулю, называется вырожденной.

Свойства определителя

1). det A=detA

2). При перестановке двух строк меняется знак определителя.

3). Определитель матрицы, имеющей нулевую строку, равен нулю.

4). Определитель матрицы, имеющей две одинаковые строки, равен нулю.

5). Общий множитель строки можно вынести за знак определителя.

6). Если к элементам одной строки прибавить элементы другой строки, умноженные на одно и то же число, то определитель не изменится.

7). Все свойства, перечисленные для строк, верны и для столбцов.

8). det(AB)=detAdetB.

Минором элемента называется определитель, полученный из матрицыА после вычёркивания i – й строки и j – го столбца.

Алгебраическим дополнением элемента называется число.

Любой определитель можно разложить по любой строке или столбцу

det

det