Курсовик

ТВЕРСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Курсовая работа по дисциплине

«Теория вероятности и математическая статистика»

Выполнил: студент группы ИСТ-236-12

Божков Д.И.

Проверил: Мартынов И.В.

Тверь 2014

Задачи из учебника

5. Брошены две игральные кости. Найти вероятности следующих событий: а) сумма выпавших очков равна семи; б) сумма выпавших очков равна восьми, а разность — четырем; в) сумма выпавших очков равна восьми, если известно, что их разность равна четырем; г) сумма выпавших очков равна пяти, а произведение — четырем.

Решение

Поскольку бросают две кости, то всего число вариантов различных выпадений равно 6*6=36.

а) сумму очков, равную семи, дают варианты: 1-6, 2-5, 3-4, 4-3, 5-2, 6-1. То есть, всего 6 подходящих вариантов. Таким образом, искомая вероятность равна 6/36=1/6.

б) для данного случая подходят варианты: 2-6, 6-2, то есть, всего 2 варианта. Искомая вероятность равна: 2/36=1/18.

в) совпадает со случаем б. 1/18.

г) для данного случая подходят варианты: 1-4, 4-1, то есть, всего 2 варианта. Искомая вероятность равна: 2/36=1/18.

7. Монета брошена два раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится «герб».

Решение

Вероятность выпадения «герба» при одном броске равна ½. Вероятность невыпадения «герба» при одном броске равна ½. Тогда вероятность, что при двух бросаниях не выпадет ни одного «герба» равна (1/2)*(1/2)=1/4.

Событие, что при двух бросках монеты выпадет хотя бы один «герб», является обратным к событию, что не выпадет ни одного герба. Следовательно, искомая вероятность равна 1-1/4=3/4.

Ответ: ¾.

12. В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.

Решение

Всего извлечь из ящика три детали возможно способами. Извлечь из ящика три окрашенные детали возможно способами. Получаем, что искомая вероятность будет равна 120/455=24/91.

Ответ: 24/91.

51. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго - 0,8. Найти вероят­ность того, что при одном залпе в мишень попадает только один из стрелков.

Решение.

Разделим событие на два случая.

В первом случае попадает первый стрелок, а второй стрелок промахивается. По правилу умножения вероятностей получаем, что вероятность этого случая равно 0,7*(1-0,8)=0,14.

Во втором случае попадает второй стрелок, а первый стрелок промахивается. По правилу умножения вероятностей получаем, что вероятность этого случая равно (1-0,7)*0,8=0,24.

Тогда вероятность искомого события равна сумме вероятностей этих двух случаев, т.е. 0,14+0,24=0,38.

Ответ: 0,38

52. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,38. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если известно, что для второго орудия эта вероятность равна 0,8.

Решение

Пусть р – вероятность поражения цели первым орудием. Тогда вероятность, что при залпе двух орудий будет только одно попадание в цель, равна р*(1-0,8)+(1-р)*0,8 (либо первый попадет, а второй – нет, либо наоборот, вероятности при этом складываются), что по условию равно 0,38. Получаем уравнение:

р*(1-0,8)+(1-р)*0,8=0,38

0,2р+0,8-0,8р=0,38

0,6р=0,42

р=0,7

Ответ: Вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий равна 0,7.

59. Брошены три игральные кости. Найти вероятности следующих событий: а) на двух выпавших гранях появится одно очко, а на третьей грани - другое число очков; б) на двух выпавших гранях появится одинаковое число очков, а на третьей грани - другое число очков; в) на всех выпавших гранях появится разное число очков.

Решение

а) Вероятность выпадения на первой кости одного очка равна 1/6, вероятность выпадения на второй кости одного очка равна 1/6, вероятность выпадения на третий кости другого числа очков равна 5/6. Таким образом, вероятность данной комбинации равна 5/216.

б) Вероятность выпадения на первой кости одного очка равна 1/6, вероятность выпадения на второй кости одного очка равна 1/6, вероятность выпадения на третий кости другого числа очков равна 5/6. Таким образом, вероятность данной комбинации равна 5/216.

Аналогично получаем вероятности для случаев, когда на первых двух костях выпадает 2, 3, 4, 5 или 6 очков, а на третьей – другое число очков. Все они равны 5/216. Получаем, что общая вероятность того, что на первых двух костях выпадет одинаковой число очков, а на третьей кости – другое, равна 6*5/216=5/36.

в) Поскольку бросается 3 кости, то всего возможно 216 различных комбинаций их выпадения.

Число очков на каждой ксоти может быть от 1 до 6, всего 6 вариантов. Поскольку все три числа очков разные, то воспользуемся формулой для размещения без повторений.

В нашем случае n=6, k=3.

Получаем, что общее число комбинаций из трех разных цифр равно 120.

Тогда искомая вероятность равна 120/216=20/36=5/9.

81. Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов соответственно равны 0,05 и 0,08, Найти вероятности отказа устрой­ства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.

Решение

Найдем вероятность безотказной работы устройства: (1-0,05)*(1-0,08)=0,874.

Тогда вероятность отказа устройства равна 1-0,874=0,126 (обратное событие).

Ответ: 0,126

90. В урну, содержащую n шаров, опущен белый шар, после чего наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).

Решение

Пусть в урне первоначально m белых шаров. После того, как в урну положили еще один белый шар, то вероятность достать белый шар стала (m+1)/(n+1).

Вероятность того, что в урне m белых шаров, равна 1/(n+1). (от 0 до n, всего n+1 вариант).

Тогда по формуле полной вероятности получаем, что искомая вероятность равна:

Ответ:

94. В первой урнt содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.

Решение

Рассмотрим события: А1 – взято 2 белых шара из урн, А2 – взят один белый шар из урн, А3 – взятые из урн шары все не белые, В – из выбранных шаров взяли белый шар.

Вероятность, что из первой урны взят белый шар, равна 8/10=4/5. Вероятность, что из второй урны взят белый шар, равна 4/20=1/5. Получаем, что Р(А1)=4/5*1/5=4/25. При этом Р(В|А1)=1.

Событие А2 складывается из двух вариантов: из первой взяли белый, а из второй – не белый и из первой взяли не белый, а из второй – белый шары. Тогда P(A2)=4/5*(1-1/5)+(1-4/5)*1/5=16/25+1/25=17/25. При этом Р(В|А2)=1/2.

Р(А3)=1-Р(А1)-Р(А2)=4/25, поскольку они образуют полную группу событий. При этом Р(В|А3)=0.

По формуле полной вероятности получаем:

Ответ: 1/2

98. В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него?

Решение:

Рассмотрим события: А1 – стрелок взял винтовку с оптическим прицелом, А2 – у стрелка была винтовка без оптического прицела, В – стрелок попал в цель.

Тогда по условию задачи

По формуле полной вероятности вероятность попадания стрелком в цель равна:

Тогда по формуле Байеса получаем, что

Ответ: Вероятнее, что стрелок взял винтовку без оптического прицела.

112. Монету бросают пять раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет: а) менее двух раз; б) не менее двух раз.

Решение

Вероятность выпадение «герба» равна 1/2.

Пусть Х – число выпадений «герба». Х имеет биномиальное распределение. .

В нашем случае p=1/2, n=5.

а) Тогда вероятность, что из 5 испытаний менее 2 закончатся успехом (0 или 1), равна

б) Данное событие является обратным к событию пункта а), поэтому его вероятность равна 1-3/16=13/16.

167. В партии 10% нестандартных деталей. Наудачу отобраны четыре детали. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины X - числа нестандартных деталей среди четырех отобранных и построить многоугольник полученного распределения.

Решение

Х имеет биномиальное распределение с параметрами р=0,1, n=4.

Тогда

Х	0	1	2	3	4
Р	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

171. В партии из шести деталей имеется четыре стандартных. Наудачу отобраны три детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины X - числа стандартных деталей среди отобранных.

Решение

Вероятность, что одна наудачу отобранная деталь является стандартной, равна 4/6=2/3.

Х – количество стандартных деталей. Х имеет биномиальное распределение с параметрами р=2/3, n=3.

Тогда

Х	0	1	2	3
Р	1/27	6/27	12/27	8/27

257. Случайная величина X задана функцией распре­деления

Найти вероятность того, что в результате четырех неза­висимых испытаний величина X ровно три раза примет значение, принадлежащее интервалу (0,25, 0,75).

Решение.

Найдём вероятность, что в результате одного испытания величина Х примет значение из заданного интервала:

Пусть Y – число попаданий величины Х в заданный интервал. Величина Y имеет биномиальное распределение. Тогда:

Ответ: 0,25.

261. Дискретная случайная величина задана законом распределения

X 3 4 7 10

р 0,2 0,1 0,4 0,3

Найти функцию распределения и построить ее график.

Решение:

Функция распределения:

График:

269. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X:

Найти функцию распределения F (х).

Решение

Поскольку f(x) является производной от F(x), то

,

следовательно

.

276. Случайная величина X задана плотностью распределения f(x) = (1/2)х в интервале (0; 2); вне этого интервала f (х)=0. Найти математическое ожидание величины X.

Решение:

314. Найти математическое ожидание случайной величины Х, распределенной равномерно в интервале (2, 8).

Решение

Поскольку величина имеет равномерное распределение, то М(х)=(a+b)/2, где а=2, b=8. Получаем M(x)=5.

322. Математическое ожидание нормально распреде­ленной случайной величины X равно а = 3 и среднее квадратическое отклонение σ= 2. Написать плотность вероятности X.

Решение

323. Написать плотность вероятности нормально рас­пределенной случайной величины X, зная, что M(X) = 3, D (X) = 16.

Решение:

399. Задана функция распределения F (х) случайной величины X. Найти функцию распределения G(у) случайной величины Y, если: а) Y = 4Х + 6; б) Y=-5Х + 1; в) Y = aX+b.

Решение

а) G(Y)=F((y-6)/4)

б) G(Y)=1-F((1-y)/5), поскольку функция убывающая.

в) G(Y)=F((y-b)/a), если a>0 (функция возрастающая), G(Y)=1-F((y-b)/a), если a<0 (функция убывающая).

422. Задана дискретная двумерная случайная вели­чина (Л, К):

Y	X
	3	6
10	0,25	0,10
14	0,15	0,05
18	0.32	0,13

Найти: а) условный закон распределения X при условии, что Y=10; 6) условный закон распределения Y при условия, что Х = 6.

Решение

а) зафиксируем значение Y=10. P(Y=10)=0.25+0.10=0.35.

Тогда для P(X=3|Y=10)=0.25/0.35=5/7, P(X=6|Y=10)=0.10/0.35=2/7

Х	3	6
р	5/7	2/7

б) зафиксируем значение Х=6. P(X=6)=0.10+0.05+0.13=0.28.

Тогда для P(Y=10|X=6)=0.10/0.28=5/14, P(Y=14|X=6)=0.05/0.28=5/28,

P(Y=18|X=6)=0.13/0.28=13/28.

Y	10	14	18
р	5/14	5/28	13/28

244. Вероятность появления события в каждом испытании равна 1/4. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что число X появлений события заключено в пределах от 150 до 250, если будет произведено 800 испытаний.

Решение

n=800, p=1/4.

M(X)=np=200

D(X)=npq=800*1/4*3/4=150.

Воспользуемся неравенством Чебышева

ε=250-200=50.

Ответ: 0,94