математика конспект

этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится. ЗАМЕЧАНИЕ 1 Аналогично определяется несобственный интеграл

a	a	∞	a	∞
Rlim→∞ ∫	f ( x)dx =: ∫	f ( x)dx . Несобственный интеграл ∫	f ( x)dx := ∫	f ( x)dx + ∫ f (x)dx , при
− R	−∞	−∞	−∞	a

условии, что несобственные интегралы в правой части существуют при некотором

a R.

ЗАМЕЧАНИЕ 2 (признаки сходимости несобственного интеграла)

1) Пусть x ≥ a	0 ≤ g ( x) ≤ f ( x) , g ( x)	интегрируема на каждом отрезке [a, R] и сходится
∞		∞
интеграл ∫ f ( x)dx . Тогда сходится интеграл ∫ g ( x)dx .
a		a
2) Пусть x ≥ a	0 ≤ g ( x) ≤ f ( x) , g ( x), f ( x) интегрируемы на каждом отрезке [a, R] и
∞		∞
интеграл ∫ g ( x)dx расходится. Тогда расходится интеграл ∫ f ( x)dx .
a		a
3) Пусть x ≥ a	g ( x), f ( x) > 0 , g ( x),	f ( x) интегрируемы на каждом отрезке [a, R] и

существует конечный положительный предел lim f ( x) . Тогда интегралы

x→∞ g ( x)

∞∞

∫ f ( x)dx, ∫ g ( x)dx одновременно сходятся или расходятся.

a a

Определение Пусть функция f ( x) определена на полуинтервале [a, b) , не ограничена в окрестности точки b и интегрируема на каждом [a, b − ε ], ε > 0 . Если существует

b−ε b

конечный предел limε →0 ∫ f ( x)dx =: ∫ f ( x)dx , то он называется несобственным интегралом

a	a
от неограниченной функции	f ( x) на отрезке [a, b] . В этом случае говорят, что

несобственный интеграл сходится.

ЗАМЕЧАНИЕ 1 Аналогично определяется несобственный интеграл

b		b
limε →0 ∫	f ( x)dx =: ∫ f ( x)dx . Пусть f ( x) определена на отрезке [a, b] за исключением точки
a +ε		a
c (a, b) , в окрестности которой она не ограничена. Несобственный интеграл
b	c	b

∫ f ( x)dx := ∫ f ( x)dx + ∫ f (x)dx при условии, что несобственные интегралы в правой части

a a c

существуют.

ЗАМЕЧАНИЕ 2 Аналогичные признаки сходимости имеют место для несобственного интеграла на конечном отрезке.