3.Производ сложных и неяв ф-ий
1)Функция одной переменной – это правило, по которому каждому значению независимой переменной соответствует одно и только одно значение функции .
Переменная называется независимой переменной или аргументом. Переменная называется зависимой переменной или функцией.
Грубо говоря, буковка «игрек» в данном случае – и есть функция.
До сих пор мы рассматривали функции, заданные в явном виде. Что это значит? Устроим разбор полётов на конкретных примерах.
Рассмотрим функцию
Мы видим, что слева у нас одинокий «игрек» (функция), а справа – только «иксы». То есть, функция в явном виде выражена через независимую переменную .
Рассмотрим другую функцию:
Здесь переменные и расположены «вперемешку». Причем никакими способами невозможно выразить «игрек» только через «икс». Что это за способы? Перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, вынесение за скобки, перекидывание множителей по правилу пропорции и др. Перепишите равенство и попробуйте выразить «игрек» в явном виде: . Можно крутить-вертеть уравнение часами, но у вас этого не получится.
Разрешите познакомить: – пример неявной функции.
2) Как дифференцировать Здесь у нас сложная функция. Почему? Вроде бы под синусом всего одна буква «игрек». Но, дело в том, что всего одна буква «игрек» – САМА ПО СЕБЕ ЯВЛЯЕТСЯ ФУНКЦИЕЙ(см. определение в начале урока). Таким образом, синус – внешняя функция, – внутренняя функция. Используем правило дифференцирования сложной функции :
4.Производ по направ. Град и его св-ва
Значение предела
называется производной функции по направлению оси (или луча) (илипо направлению вектора ), вычисленной в точке . Производная по направлению обозначается или
Смысл определения производной по направлению -- в том, что она задаётмгновенную скорость изменения значений функции при прямолинейном и равномерном движении точки вдоль оси в момент .
2) Градие́нт (от лат. gradiens, род. падеж gradientis — шагающий, растущий) — вектор, своим направлением указывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины , значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля), а по величине (модулю) равный быстроте роста этой величины в этом направлении.
Используя правило дифференцирования сложной функции, нетрудно показать, что производная функции по направлению равняется скалярному произведению градиента на единичный вектор :
Таким образом, для вычисления производной по любому направлению достаточно знать градиент функции, то есть вектор, компоненты которого являются её частными производными.
5. Касат плоск и нормаль поверхти
Определение 1. Касательной плоскостью к поверхности в данной точке P (x0, y0, z0) называется плоскость, проходящая через точку Р и содержащая в себе все касательные, построенные в точке Р ко всевозможным кривым на этой поверхности, проходящим через точку Р.
Определение 2. Нормалью к поверхности s в точке Р называется прямая, проходящая через точку Р и перпендикулярная к касательной плоскости, построенной в этой точке. – уравнение нормали, построенной в точке Р к поверхности s .
6.Необход услов и достаточ услов экстремума:1)Теорема (Необходимое условие экстремума) Если функция нескольких переменных u = f(x1, x2, … , xn) имеет экстремум в некоторой точке, то в этой точке каждая ее частная производная равна нулю или не существует. Внутренние точки из области определения функции, в которых выполняются необходимые условия экстремума, называются критическими. Если в критической точке функция дифференцируема, то такая точка называется стационарной.
2)Таким образом, достаточным условием экстремума функции нескольких переменных в ее стационарной точке является знакоопределенность (положительная или отрицательная определенность) дифференциала 2–го порядка в этой точке.
7.Условный экстремум:Пусть функция
|
|
(1) |
определена в некоторой области D Rn и ее аргументы не являются независимыми переменными, а связаны k (k<n) соотношениями:
|
|
(2) |
Условия (2) называются уравнениями связи.
Пусть координаты точки M0(x10, … ,xn0) D удовлетворяют уравнениям связи (2).
Точка M0(x10, … ,xn0) называется точкой условного максимума (минимума) функции (1) при условиях связи (2), если существует такая окрестность Oδ(M0) точки M0 , что для любой точки M(x1, … ,xn) Oδ(M0) , координаты которой удовлетворяют уравнениям связи (2), выполняется неравенство f(M) ≤ f(M0) (f(M) ≥ f(M0)) .
8. Определение первообразной и неопределенного интеграла
Функция F(x) называется первообразной функции f(x), если
Множество всех первообразных некоторой функции f(x) называется неопределенным интегралом функцииf(x) и обозначается как
Свойства неопределенного интеграла
В приведенных ниже формулах f и g - функции переменной x, F - первообразная функции f, а, k, C - постоянные величины.
9.Таблица интегралов Основные приемы интегрирования
Простейшие задачи, в которых нужно проинтегрировать элементарные функции, решаются при помощи таблицы первообразных. В более сложных случаях нужно знать ряд приемов, сводящих в конечном итоге вычисляемый интеграл к интегралам от табличных функций. Одним из таких приемов является метод замены переменного .
Пусть определены дифференцируемые функции f ( x ) и g ( t ), а также сложная функция g ( f ( x )). Пусть Тогда Это означает, что
Иногда, вычисляя интеграл полезно перейти к новой переменной. Пусть x = g ( t ) монотонная дифференцируемая функция, – обратная ей функция. Тогда Обозначая получим f ( x ) dx = u ( t ) dt . Если то
Этот метод называется методом подстановки .
Пусть функции u ( x ) и v ( x ) имеют непрерывные на D производные. Тогда Функция uv имеет непрерывную производную на D , и Интегрируя обе части этого равенства, получим Относя константу интегрирования к интегралу получаем доказываемую формулу.
Эта формула описывает метод интегрирования по частям . Она сводит вычисление интеграла к вычислению интеграла
10. Определенные интегралы (интеграл Римана). Пусть действительная функция f(x) определена и ограничена на ограниченном замкнутом интервале [a, b]. Разобъем этот интервал на n частичных интервалов точками
a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b.
Выберем в каждом из частичных интервалов по произвольной точке и составим сумму (интегральная сумма) .
Если существует предел интегральной суммы при стремлении к нулю длины наибольшего частичного интервала разбиения: , то функция f(x) называетсяинтегрируемой в смысле Римана на интервале [a, b].
11..Определенный интеграл. Необходимое условие существования.
Пусть ф-ция f(x) определена на отрезке [a,b]. Разобъем отрезок [a,b] на n производных частей a=x<x1<x2<…<xn=b. На каждом из отрезков [x(i-1), xi]произвольным образом выберем т. «кси» i [xi-1,xi]. Обозначим через xi=xi-x(i-1) и «кси»=(кси1, кси 2, … кси n). Разбиение (a=x0<x1<…<xn=b) обозначим через «тау». Составим сумму. S f(тау, кси)=f(кси1 xi+f(кси2) xi+…+f(кси n) xi= составим такую сумму, кот.на.интегральной суммой ф-ции f(x) на [a,b] с параметром кси и тау.Опр1.Пусть d(тау) - , - диаметр разбиения. Если конечн.предел , не зависящей от способа разбиения отрезка a,b и выбора точек из набора кси, то этот предел наз. Определенным интегралом ф-ции f(x) и обоз-ся . Необходимое условие: если f(x) интегрируема на отрезке [a,b],то она ограничена на этом отрезке. НО обратное – неверно. Те такие ф-ции, кот.явл.ограниченными на нек. Отрезке, но не явл.интегрироваными на дан.отрезке.
12. Замена переменной в определенном интеграле.
Пусть f(x) С[ab] и пусть (t) С и D [ab], причем: 1) 2) 3) =a, =b.Тогда док-во: по формуле Н-Л , где F(x) – одна из первообразных ф-ции f(x).Рассмотрим ф-цию F( ). (F( )’=F’( )* =f( )* F( )- первообр.ф-ции f( )* => по формуле Н-Л:
13-14. Основные свойства определенного интеграла. Оценки интегралов. 1. 2.Каковы бы ни были точки a,b и c: 3.k-нект.число. Тогда 4. dx= 4’Св-во линейности: f(x)+ =
15. 5Теорема о среднем. Пусть f(x) С[ab].Тогда найдется такая с из [ab], что f(c)*(b-a).
16. . Формула Ньютона-Лейбница.
Теорема. Пусть f(x) С [ab] ипусть F(x) – одна из первообразных ф-ции f(x).Тогда .
17. Геометрические приложения определенного интеграла. площадь криволинейной трапеции:пусть f(x)- опеределена на [ab], не отриц-на.f(x) [ab].Тогда S= длина дуги кривой:пусть f(x) D [ab]. L= . объем тела вращения: f(x) [ab]. V= . площадь поверхности вращения: f(x) [ab] и f ‘(x) С[ab]. S=2 .
18. длина дуги кривой:пусть f(x) D [ab]. L= . объем тела вращения: f(x) [ab]. V= . площадь поверхности вращения: f(x) [ab] и f ‘(x) С[ab]. S=2 .
19. .Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода. Опр. Пусть f(x)опр-на на пром-ке[a,+ ] и интегрир-ма в люб.его части [a,R](т.е. ). Тогда если , то он наз.неопред. интег-ом 1го рода и обознач . Опр. Пусть f(x) опр-на на проме-ке [ab) и f(x) не ограничена в люб.точке окр-ти точка b, но >0 ф-ция f(x) интегр-ма на отрезке[a,b- ] , тогда если то он наз-ся несобственным интергралом 2го рода
20-21. Дифференциальные уравнения: основные понятия и определения.Опр.: Ур-ие вида f(x,y,y’)=0 (1) наз-ся диф-ым ур-ем 1-го порядка, где x – перем-я, y–иско-мая ф-я, y’ – ее производная.Опр.: Поряд-ком диф-го ур-ия наз-ся порядок старшей производной, входящей в него. Если ур-ие (1) можно решить относительно y’, то оно примет вид: y’=f (x,y) (2), к-ое наз-ют диф-ым ур-ем, разрешенным относитель-но произ-ой. Опр. Решение ур-я (2) наз всякая ф-ция y= ,кот.при подстановке в ур-е(2) обращает его в тождество, те ’(x) f(x, ) Опр. График решения диф-ого ур-я (2) наз интегральн.кривой. Опр. Диф.ур-е y’=f(xy)с задан. начальн. условиями. наз. Задачей Коши.
Теорема. Пусть ф-ция f(xy) непрер в нек. обл. G и такая константа L, что для люб пары точек (x,y1), (x,y2) G следует, что |f(x,y1)-f(x,y2)| *|y1-y2| - ур-е Лепшиц.
Общее и частное решение диф-го ур-ия. Опр.: Общим решением ур-ия (2) в области G наз-ся ф-ия y=(x,C), зависящая от неизвестной x и произвольной постоянной С, такая, что С=С0 –фция (x,C) явл-ся решением ур-я (2) и (x0y0) С=С1, такая что U(x,C0) яв-ся решением задачи Коши.Опр.: Частным решением ур-я (2) наз-ся ф-ия y=(x,C0), полученная из общего решения ур-я(1) заменой постоянной с определенным значением. С гео-метр-ой точки зрения частному решению соответствует одна интегральная кривая, а общему – семейство интегральных кри-вых.
22. Однородные ур-ия. Опр.: Ур-ие y’= f(x, y) наз-ся однородным, если ф-я f(x,y) м. б. представлена как ф-я отношения своих аргументов. Схема решения: 1). обозначить y/x=U, y=Ux; 2). y’=U’x+U; 3) подставить y и y’ в данное ур-ие, решить его относительно ф-ии U; 4) сделать обратную замену, т.е. U выразить через x и y.
23. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижения порядка.
Опр: ур-е вида F(x,y,y’,y’’)=0, где х- независимая переменная, у- искомая фун-я, y’,y’’- ее производные, назыв диф ур-ем 2-го порядка. Обычно расматр-ся ур-я, кот. могут быть разрешены от-но y’’, т.е. ур-е вида: y’’=f(x,y,y’) (1) Опр: решением ур-я (1) назыв-ся фун-я y= (x),кот. обращает его в тождество ’’(x) f(x, . Теорема (Коши): Общ.решение ДУ(1): ф-я у=φ(х1,С1,С2) зависящая от х и 2-х произвольных постоянных С1,С2, назыв общим решением ур-я (1). Если она яв-ся решением ур-я (1) при люб-х значениях С1,С2 и если при начал-х условиях сущ-т единственные значения постоянных С1=С1º ,С2=С2º, такие что ф-я у=φ(х,С1º,С2º) удовлетворяет нач-м условиям. Опр: любая ф-я у=φ(х,С1º,С2º) полученная из общего решения ур-я (1) при опред-х значениях постоянных С1 и С2 назыв частным решением ур-я (1). Рассм. 3 случая когда решение ур-я (1) с помощью замены переменной сводится к решению ур-я 1-ого порядка. Такое преобразование ур-я назыв. понижением порядка. 1.Ур-е вида у’’=f (х) (нет у, у’), введем новую ф-цию z (x)=y, y’’=z (x), подставим в ур-е y’’ получим ур-е 1-ого порядка решив к-ое найдем ф-цию z (x) а значит нашли у' и теперь решая ур-е для у’ найдем искомую ф-цию у. y’=x. 2.Ур-е вида y’’=f (x, y’) (нет у) введем вспомогательную ф-цию z (x)=y’, тогда y’’=z (x) подставив все в данное ур-е получим ур-е 1-ого порядка, решив к-ое найдем ф-цию z (x), т.е. y’ и решая ещё раз ур-е найдем искомую ф-цию y’. 3.Ур-е вида y’’=f (y, y’) введем вспомогательную ф-цию z (y) так что y’=z. y’’ = z dz/dy. Подставим в данное ур-е y’’ и y’ и решив его найдем z, т.е. y’ и решив ур-е для y’ найдем y.