Примеры решения задач

1. Мощность излучения абсолютно черного тела равна 10 кВт. Найти величину излучающей поверхности тела, если известно, что длина волны, на которую приходится максимум его испускательной способности, равна 700 нм.

Дано:

P = 10 кВт = 10⁴ Вт

_m = 700 нм = 710^–7 м

S= ?

Решение:

По закону смещения Вина: _m=b/T.

Отсюда находим температуру излучающей поверхности абсолютно черного тела: T=b/_m. (1)

По закону Стефана-Больцмана: R =T⁴.

С другой стороны R =P/S. (2)

Подставим выражения 1 и 2 в закон Стефана-Больцмана:

P/S = (b/_m)⁴.

Отсюда: S = P(_m/ b)⁴.

Подставим численные значения: S= 10⁴(710^–7/2,910^–3)⁴= 5,9910^–4м²6 см².

Ответ:S6 см².

2. Дано:

   ₁= 600 нм = 610^–7м

   ₂= 1Å = 10^–10м

   Т₁= ?

   Т₂= ?

   Определить энергию одного фотона: а) для красного света (₁= 600 нм);б) для жестких рентгеновских лучей (₂= 1).При какой температуре средняя энергия теплового движения (на одну степень свободы)молекул равна энергии указанных фотонов?

Решение:

Энергия фотона определяется по формуле: E=h,

где h= 6,62510^–34Джс — постоянная Планка;— частота света.

Выразим частоту света через длину волны: =с/.

Тогда получим: Е=hc/. (1)

На одну степень свободы молекулы идеального газа приходится энергия теплового движения: Е=kT/2, (2)

где k= 1,3810^–23Дж/К — постоянная Больцмана;Т— абсолютная температура газа.

Приравняв 1 и 2 найдем абсолютную температуру:

Т= 2hc/(k). (3)

По формуле 1 вычислим энергию фотона красного света:

Е₁= 6,62510^–34310⁸/610^–7= 3,3210^–19Дж.

По формуле 3 вычислим соответствующую температуру идеального газа:

Т₁= 26,62510^–34310⁸/(1,3810^–23610^–7) = 4,810⁴К.

По формуле 1 вычислим энергию рентгеновского фотона:

Е₂= 6,62510^–34310⁸/10^–10= 19,410^–16Дж.

По формуле 3 вычислим соответствующую температуру идеального газа:

Т₂= 26,62510^–34310⁸/(1,3810^–2310^–10) = 2,910⁸К.

Ответ:Е₁=3,3210^–19Дж, Т₁= 4,810⁴К,Е₂=19,410^–16Дж,Т₂= 2,910⁸К.

3. Чему равны минимальная энергия и длина волны фотона, способного рождать электрон—позитронную пару?

Дано:

m = 9,110^–31кг

Е= ?

Решение:

Энергия покоя электрона (и позитрона) равна Е_е=mс².

Энергия фотона должна быть не меньше, чем Е=2mс².

Энергия фотона определяется выражением: Е = hc/.

Тогда длина волны равна: =hc/Е.

Подставим численные значения:

Е= 29,110^–31(310⁸)² = 1,6410^–13Дж.

 = 6,62510^–34310⁸/1,6410^–13= 1,210^–12м = 0,0012 нм.

Ответ:Е=1,6410^–13Дж,= 0,0012 нм.

4. Фотон с энергией 100 кэВ испытывает комптоновское рассеяние на угол 90. Какова его энергия после рассеяния? Чему равна кинетическая энергия электрона отдачи?

Дано:

Е= 100 кэВ

 = 90

Е^/=?

Е_к=?

Решение:

При комптоновском рассеянии длина волны фотона изменяется на величину: =^/–=h(1 –cos)/mc.

Длина волны рассеянного фотона равна: ^/=+h(1 –cos)/mc.

Энергия рассеянного фотона определяется выражением: Е^/=hc/^/.

Подставим в формулу для энергии рассеянного фотона выражение для ^/и учтем, что энергия падающего фотона равнаЕ=hc/.

Получаем выражение для энергии рассеянного фотона:

Учитывая, что cos 90 = 0, получим:

Подставим численные значения:

Запишем закон сохранения энергии для рассеяния фотона на электроне:

Е+mc²=E^/+E_e,

где mc²— энергия покоя электрона;E_e — полная энергия электрона после взаимодействия с фотоном.

Кинетическая энергия электрона отдачи равна: Е_к=E_e – mc²,

или Е_к=Е–E^/.

Подставим численные значения: Е_к= 100 – 84 = 16 кэВ.

Ответ:E^/= 84 кэВ,Е_к= 16 кэВ.

5. Наблюдается внешний фотоэффект на фотоэлементе с цезиевым катодом. Длина падающего излучения 0,33 мкм. Работа выхода для цезия равна 1,89 эВ. Найти импульс вылетающего электрона и импульс, получаемый катодом при вылете одного электрона. Электроны вылетают навстречу падающему свету нормально к поверхности катода.

Дано:

 = 0,33 мкм

А= 1,89 эВ

p_e= ?

p_к= ?

Решение:

Система, состоящая из фотона, электрона и кристаллической решетки, является замкнутой. До взаимодействия импульс системы равен импульсу фотона , после взаимодействия — импульсу электронаи кристаллической решетки.

По закону сохранения импульса: =+.

В проекции на ось, направленную перпендикулярно катоду по световому пучку: р_ф= –p_e +p_к.

Импульс фотона равен р_ф=h/. Импульс электрона связан с его кинетической энергией:, которую, в свою очередь, можно выразить из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта.

Возвращаясь к закону сохранения импульса, найдем импульс кристаллической решетки:

,

Импульс вылетевшего электрона равен:

,

Ответ:p_e= 7,3610^–25кгм/с,p_к= 7,3810^–25кгм/с.

6. Монохроматический свет ( = 663 нм) параллельным лучом падает нормально на зеркальную плоскую поверхность. Поток излучения равен 0,6 Вт. Определить: а) силу давления света на поверхность; б) число фотонов, ежесекундно падающих на поверхность.

Дано:

 = 663 нм

N= 0,6 Вт

F =?

n = ?

Решение:

Сила светового давления равна произведению светового давления рна площадь поверхностиS:

.

С учетом того, что коэффициент отражения от зеркальной поверхности =1, получим:

Произведение ES определяет энергию, переносимую через данную площадку в единицу времени, то есть поток излучения:N=ES.

Поэтому:

Поток излучения равен произведению числа фотонов n, падающих на поверхность в единицу времени, на энергию одного фотона:

Ответ:F= 410^–9Н,n= 210¹⁸с^–1.

7. Чему равна максимальная длина волны фотона. Необходимого для рождения пары частица—античастица?

Дано:

m

 = ?

Решение:

Для рождения пары частица — античастица необходим фотон, энергия которого определяется выражением: E= 2mc².

Энергия фотона равна: E=hc/.

Получим: hc/= 2mc²

Ответ: