Примеры решения задач
1. Расстояние между предметом и его действительным изображением, даваемым линзой, L. Линейное увеличение равно k. Найти фокусное расстояние линзы.
Дано:
L,
k,
f = ?
Построим изображение в линзе (см. рис.4)
|
| |
|
Рис. 4 |
|
Линейное увеличение определяется условием: k = (A’ B’) / (AB).
Исходя из подобия треугольников АВО и A’ B’ О получим
(A’ B’) / (AB) = b / a .
По условию задачи L = a + b.
Поэтому .
Учитывая, что , преобразуем формулу тонкой линзы
к виду .
Отсюда приходим к ответу: .
2. Две щели находятся на расстоянии 0,1 мм друг от друга и отстоят на 1,2 м от экрана. От удаленного источника на щели падает свет длиной волны 500 нм. На каком примерно расстоянии друг от друга расположены светлые полосы на экране?
Дано:
d
= 0, 1 мм,
L
= 1, 2 м,
= 500 нм,
х = ?
Светлые полосы наблюдаются на экране, если
dsin = m, m = 0, 1, 2, ,
m порядок интерференционной полосы.
|
| |
|
Рис. 5 |
|
Полоса 1-го порядка наблюдается при угле 1, задаваемом соотношением: sin 1 = / d.
Подставив численные значения получим
sin 1 = 500109м / 104м = 5103.
При малом угле можно положить sin 1 1 tg 1.
Расстояние х1 , на котором полоса первого порядка находится от центра экрана, определяется соотношением
х1 / L = 1 х1 = L 1 = 1200 мм 5103 = 6 мм.
Вторая полоса находится на расстоянии
х2 = L 2 = L2 / d = 12 мм, и так далее.
Ответ: Светлые полосы отстоят друг от друга примерно на 6 мм.
3. Покажите, что радиус rm m-го темного кольца Ньютона при наблюдении по нормали сверху определяется выражением ,где R радиус кривизны поверхности стекла, длина волны используемого света. Предполагается, что толщина воздушного зазора всюду намного меньше радиуса кривизны R и что rm много меньше R.
Решение
|
| |||
|
Рис. 6 |
|
Так как при отражении света от среды с большим показателем преломления его фаза меняется на 180, а при отражении от среды с меньшим показателем преломления его фаза не меняется, луч 1 имеет ту же фазу, что и падающий луч, луч 2 фазу, отличную от падающего луча на 180, что означает дополнительную разность хода между лучами 1 и 2, равную / 2. Тогда условие возникновения темного кольца
2t + / 2 = (m + 1/2), m = 0, 1, 2, , или 2t = m,
где t толщина воздушного зазора между сферической поверхностью и плоской пластинкой. Из геометрии рисунка следует. Что
(R t)2 + r2 = R2
r2 2 t R + t2 = 0
так как t R и t r, слагаемым t2 можно пренебречь, и в результате
r2 = 2 t R,
Ответ:
4. Вычислить радиусы первых трех зон Френеля, если расстояние от источника до волновой поверхности равно 1 м, расстояние от волновой поверхности до точки наблюдения также равно 1 м и длина волны света 500 нм.
Дано: a = 1 м, b = 1 м, = 500 нм, r1 = ? r2 = ? r3 = ? |
| |
|
|
Рис. 7 |
Найдем радиус 1-й зоны Френеля. Он должен быть таков, чтобы лучи PA и NA, приходящие в точку наблюдения А из центра Р и края N-й зоны Френеля, имели разность хода, равную / 2.
Обозначим a расстояние от источника света до сферической волновой поверхности (источник считаем точечным), b расстояние от волновой поверхности до точки наблюдения. Тогда радиус 1-й зоны Френеля
r2 = a2 (a x)2 = (b + / 2)2 (b + x)2,
Так как b, после возведения в квадрат слагаемым 2 / 4 можно пренебречь. В результате получаем уравнение
2ax + 2b x = b,
откуда ,
и r2 = a2 (a x)2 = a2 a2 + ab / (a + b)
.
Аналогично вычисляется радиус m-й зоны Френеля
.
Ответ: Радиусы первых трех зон Френеля равны
,
,
5. Свет с длиной волны 750 нм, падая нормально, проходит через щель шириной 103 мм. Какова ширина центрального максимума: а) в градусах; б) в сантиметрах на экране, находящимся на расстоянии 20 см от щели.
Дано: = 750 нм, D = 103 мм, L = 20 см, 2х = ? 2 = ? |
|
Решение |
|
|
Рис. 8 |
Ширина щели D настолько мала, что в ней укладывается менее одной зоны Френеля (докажите это самостоятельно). Поэтому в данном случае имеет место дифракция Фраунгофера. На экране наблюдается светящееся изображение щели (центральный максимум), окруженное темными и светлыми полосами (дифракционные минимумы и максимумы).
а) Первый минимум наблюдается под углом таким, что
sin = / D.
sin = 750109 м / 106 м = 0,75 = 49.
б) Ширина центрального максимума равна 2х.
tg = x / L, где L расстояние до экрана.
2Х = 2tg L = 2tg 49 0,2 м = 0,46 м.
Ответ: а) = 49, б) 2Х = 0,46 м.
6. Желтый свет натрия (которому соответствуют длины волн 589,00 нм и 589,59 нм) падает на дифракционную решетку, имеющую 7500 штрихов / см. Определить: а) максимальный порядок для желтого света натрия; б) ширину решетки, необходимую для разрешения двух линий натрия; в) разрешающую способность дифракционной решетки в этом случае.
Дано:
1
= 589,00 нм,
2
= 589,59 нм,
n
= 7500 штрих / см,
m
= ? R
= ? N=
?
а) Период дифракционной решетки будет равен d = 1 / n = 10,01 м / 7500 = 1,33106м.
Максимальный порядок m может быть найден из условия возникновения максимумов для дифракционной решетки: d sin = m .
Учитывая, что max 90 получим: m = (dsin max) / < d / .
m = 1,33106м / 5,89107м = 2,25.
Округляя это значение до меньшего целого, получаем ответ m = 2.
б) Разрешающая способность решетки определяется выражением
R = 1 / = Nm,
где разность длин волн близких спектральных линий, разрешаемых решеткой; N полное число штрихов решетки; m порядок максимума.
N = D / d,
где D ширина решетки.
Для разрешения спектральных линий с разностью длин волн решетка должна иметь ширину: D = Nd = d1 / (m),
Для разрешения линий натрия во втором максимуме решетка должна иметь ширину D = 1,33106м589109м / (20,59109м) = 6,67104м.
в) Разрешающая способность решетки находится из формулы
R = 1 / .
При подстановке численных данных получаем:
R = 589 нм / 0,59 нм = 1000.
Чтобы достичь ее, полное число штрихов должно быть равно:
N = R / m = 1000 / 2 = 500.
Ответ: а) m = 2, б) D = 6,67104м, в) R = 1000, N = 500.
7. Неполяризованный свет проходит через два поляроида. Ось одного вертикальна, а ось другого образует с вертикалью угол = 60. Найти интенсивность прошедшего света.
Решение
|
| |
|
Рис. 9 |
|
Первый поляроид исключает половину света, поэтому после его прохождения интенсивность света уменьшается в два раза:
I1 = I0 / 2.
Свет, падающий на второй поляроид, поляризован в вертикальной плоскости, поэтому после прохождения второго поляроида интенсивность света равна: I2 = I1(cos )2 = I0(cos )2 / 2.
Отсюда I2 = I0(cos 60)2 / 2 = I0 / 8.
Ответ: интенсивность прошедшего света составляет 1/8 от интенсивности падающего света, а плоскость его поляризации образует с вертикалью угол 60.
8. При каком угле падения солнечный свет отражается от поверхности озера плоскополяризованным? Чему равен угол преломления?
Решение
tg Б = n,
где Б угол полной поляризации отраженного от диэлектрика света, n показатель преломления. Для границы водавоздух n = 1,33,
отсюда Б = 33,1.
При полной поляризации отраженного света выполняется равенство:
Б + = 90
где угол преломления.
= 90 Б = 36,9.
Ответ: = 36,9
9. Какую минимальную толщину должна иметь четвертьволновая пластинка кальцита (n0 = 1,658 ; ne = 1,486) для света с длиной волны 589 нм?
Решение
При распространении луча в кристалле перпендикулярно главной оптической оси между обыкновенным и необыкновенным лучами возникает разность фаз = 2d(no ne) / ,
где d толщина кристалла; длина волны света.
Четвертьволновой пластинке максимальной толщины соответствует разность фаз = / 2, или 2d(no ne) / = / 2,
откуда нм.
Ответ: d = 856 нм