-
Найти промежуточное значение функции по ее таблице с помощью формулы Лагранжа.
Примечание: Для проверки результатов вычислить значение функции, в этой точке подставив в аналитическое выражение функции, которое находится в первой строке таблицы.
|
x |
|
|
1,3 |
1,7777 |
|
2,1 |
4,5634 |
|
3,7 |
13,8436 |
|
4,5 |
20,3952 |
|
6,1 |
37,3387 |
|
7,7 |
59,4051 |
|
8,5 |
72,3593 |
|
x |
x0 |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
Pi |
yi |
yi/Pi |
|||||||||
|
x0 |
2,8 |
-0,8 |
-2,4 |
-3,2 |
-4,8 |
-6,4 |
-7,2 |
3805,073 |
1,7777 |
0,000467 |
|||||||||
|
x1 |
0,8 |
2 |
-1,6 |
-2,4 |
-4 |
-5,6 |
-6,4 |
-880,804 |
4,5634 |
-0,00518 |
|||||||||
|
x2 |
2,4 |
1,6 |
0,4 |
-0,8 |
-2,4 |
-4 |
-4,8 |
56,6231 |
13,8436 |
0,244487 |
|||||||||
|
x3 |
3,2 |
2,4 |
0,8 |
-0,4 |
-1,6 |
-3,2 |
-4 |
50,33165 |
20,3952 |
0,405216 |
|||||||||
|
x4 |
4,8 |
4 |
2,4 |
1,6 |
-2 |
-1,6 |
-2,4 |
-566,231 |
37,3387 |
-0,06594 |
|||||||||
|
x5 |
6,4 |
5,6 |
4 |
3,2 |
1,6 |
-3,6 |
-0,8 |
2113,929 |
59,4051 |
0,028102 |
|||||||||
|
x6 |
7,2 |
6,4 |
4,8 |
4,8 |
2,4 |
0,8 |
-4,4 |
-8969,1 |
72,3593 |
-0,00807 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сумма: |
0,599081 |
|||||||||
x=4,1
Произведение диагональных разностей: 28,3853
Сумма:0,599081
Для нахождения окончательного результата сумма значений последнего столбца умножается на произведение диагональных разностей:
Оценка погрешности интерполяции:
R(x)=f(x)-F(x)= 0,2764
-
По этой же таблице найти аппроксимирующую функцию с помощью метода наименьших квадратов, так чтобы сумма квадратов отклонений апроксимирующию функции в узлах таблицы была меньше единицы.
Подобрать аппроксимирующую функцию методом наименьших квадратов с помощью Exel так, чтобы сумма квадратов отклонений для выбранной функции была меньше 0,1.
Решение.
|
Х |
1,10 |
1,74 |
2,38 |
3,02 |
3,66 |
4,30 |
4,94 |
5,18 |
|
У |
1,73 |
2,98 |
3,53 |
3,89 |
4,01 |
4,25 |
4,32 |
4,38 |
Составим точечный график и подберём аппроксимирующую функцию:
Найдём значения разностей yi-F(xi,a,b,c)=εi –отклонения измеренных значений у от вычисленных по формуле: y=F(x,a,b,c).
|
ε1 |
-0,7067 |
|
ε2 |
0,19322 |
|
ε3 |
0,39314 |
|
ε4 |
0,40306 |
|
ε5 |
0,17298 |
|
ε6 |
0,0629 |
|
ε7 |
-0,21718 |
|
ε8 |
-0,28846 |
Сумма отклонений:
∑εi=0,01296<0.1
Условия задачи выполнены.
Для сравнения качества приближений рассмотрим способ приближения заданной функции:
-
в виде степенной функции -
|
U |
z |
u*z |
u^2 |
|
0,09531 |
0,54812 |
0,05224 |
0,00908 |
|
0,55389 |
1,09192 |
0,6048 |
0,30679 |
|
0,8671 |
1,2613 |
1,09367 |
0,75186 |
|
1,10526 |
1,35841 |
1,50139 |
1,22159 |
|
1,29746 |
1,38879 |
1,80191 |
1,68341 |
|
1,45862 |
1,44692 |
2,1105 |
2,12756 |
|
1,59737 |
1,46326 |
2,33735 |
2,55158 |
|
1,64481 |
1,47705 |
2,42946 |
2,70538 |
|
Mu |
Mz |
Mu*z |
Mu^2 |
|
1,07748 |
1,25447 |
1,49141 |
1,41966 |
|
x |
y |
|
|
εi |
εi^2 |
|
|
1,1 |
1,73 |
2,0572 |
|
-0,3272 |
0,1070601 |
|
|
1,74 |
2,98 |
2,635246 |
|
0,344754 |
0,1188554 |
|
|
2,38 |
3,53 |
3,120873 |
|
0,409127 |
0,1673848 |
|
|
3,02 |
3,89 |
3,549182 |
|
0,340818 |
0,1161567 |
|
|
3,66 |
4,01 |
3,937353 |
|
0,072647 |
0,0052776 |
|
|
4,3 |
4,25 |
4,29534 |
|
-0,04534 |
0,0020557 |
|
|
4,94 |
4,32 |
4,629532 |
|
-0,30953 |
0,0958102 |
|
|
5,18 |
4,38 |
4,749661 |
|
-0,36966 |
0,1366494 |
|
|
|
0,7492498 |
|||||
Производим подстановку в функцию
Вывод: данный способ приближения заданной функции в виде степенной является более точным
4.Рассчитать приближенное значение функции заданной таблице для х=а, и сравнить - это значение с результатом задания 2.
Вывод: Сравнивая результаты полученные с помощью формулы Лагранжа и метода наименьших квадратов, мы сделали вывод, что более точное значение получается при решении с помощью метода наименьших квадратов.