7. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности

Силовая линиявекторного поля– линия, в каждой точке которой векторнаправлен по касательной к ней. Уравнение силовых линий в произвольной ортогональной системе координат имеет вид:

(7.1)

где – коэффициенты Ламе.

Силовые линии всегда перпендикулярны к эквипотенциальным поверхностям. Силовые линии не пересекаются, т.к. в противном случае поле было бы неоднозначно заданным.

8. Градиент, дивергенция, ротор. Оператор набла

8.1. Градиент скалярного поля– вектор, задающий направление наибольшего роста функциии численно равный скорости роста в этом направлении. В произвольной ортогональной системе координатзадается выражением:

. (8.1)

8.2. Дивергенция векторного поляв точке– плотность потока векторного полячерез произвольную замкнутую поверхность, охватывающую точку:

. (8.2)

Здесь – объем, охватываемый поверхностью.

• Физический смысл: плотность скалярных источников векторного поля .

• Геометрический смысл: мера расходимости силовых линий поля .

В произвольной ортогональной системе координат:

(8.3)

8.3. Роторвекторного поляв точке– это вектор, проекция которого на направлениеопределяется поверхностной плотностью циркуляции векторного поля

:

. (8.4)

где – замкнутый контур, лежащий в плоскости, перпендикулярной вектору,– площадь участка поверхности, ограниченной контуром.

• Физический смысл: – плотность векторных источников поля.

• Геометрический смысл: – мера завихренности силовых линий поля.

В произвольной ортогональной системе координат

. (8.5)

8.4. Оператор набла в произвольной ортогональной системе координат имеет вид:

. (8.6)

• Свойства:

а) – оператор дифференцирования:

;

b) – вектор.

• Основные операции:

a);

b);

c).

Вид оператора набла в

• ДСК:

. (8.7)

• ЦСК:

(8.8)

• ССК:

(8.9)

9. Законы электромагнетизма

9.1. Теорема Гаусса-Остроградского о свойствах электрического поля

Поток вектора напряженности электрического полячерез произвольную замкнутую поверхностьпропорционален величина заряда, находящегося в объеме, ограниченном этой поверхностью:

.

Здесь ,– вектор нормали к поверхности. Коэффициентсоответствует системе СГС.

9.2.Закон Фарадея об электродвижущей силе

Работа по перемещению единичного точечного положительного заряда вдоль замкнутого контура называется электродвижущей силой:. Контурный интеграл– циркуляция вектора напряженности электрического поля. В электростатике(условие потенциальности электрического поля).

Циркуляция вектора напряженности изменяющегося электрического полявдоль замкнутого контурапропорциональна скорости изменения магнитного потокачерез произвольную поверхность, натянутую на этот контур:

,

где

.

9.3. Закон Гаусса об отсутствии магнитных зарядов

Поток вектора напряженности магнитного полячерез произвольную замкнутую поверхность равен нулю:

.

9.4.1. Закон Био-Савара-Лапласа для статического магнитного поля (циркуляционная теорема)

Циркуляция вектора напряженности магнитного поля вдоль замкнутого контурапропорциональна току, протекающему через произвольную поверхность, натянутую на этот контур:

Здесь – число линейных проводников, проходящих через поверхность.

9.4.2. Закон Био-Савара-Лапласа-Максвелла для изменяющегося магнитного поля

Циркуляция вектора напряженности изменяющегося магнитного поля вдоль замкнутого контурапропорциональна сумме токов зарядов и «токов смещения», протекающих через произвольную поверхность, натянутую на этот контур:

(для распределенных токов),

где

,

– вектор напряженности электрического поля.

10. Уравнения Максвелла электромагнитного поля в вакууме

(10.1)

Уравнения Максвелла, фактически, представляют собой задание явного вида скалярных (и) и векторных (и) источников электрического и магнитного полей.

• Граничные условия (общий вид):

(10.2)

Здесь и– плотности поверхностных зарядов и токов соответственно, индексы,иобозначают нормальные () и тангенциальные (,) составляющие к поверхности разделаи. Единичные векторы,исвязаны между собой соотношением:

. (10.3)

• Граничные условия в ДСК:

(10.4)

• Уравнения электростатического поля:

,. (10.5)

• Уравнения магнитостатического поля:

,. (10.6)