9. Функция

Опр. Соответствие, при котором каждому хE сопоставляется один и только один элементу F, называется функциональным соответствием, или функцией.

Иными словами, функция — это соответствие или отображение, при котором два различных элемента не имеют одинаковых первых координат, т.е. если <х, у>, <х, z> Г, то у = z. Если функциональное соответствие не является отображением, т.е. в Е существуют элементы, не имеющие образа в F, то оно называется частично определенной функцией. Функциональное отображение является полностью определенной функцией, или просто функцией.

Функция может быть биективной, сюръективной и инъективной, как показано на рис. 6, 7, 8.

Функциональная биекция Е→F устанавливает такое отобра­жение, при котором каждый элемент из Е имеет единственный образ в F, а каждый элемент из F имеет единственный прообраз в Е, поэтому функциональная биекция называется взаимно однознач­ным соответствием. Функциональное отображение Е→F, которое является сюръекцией, возможно только в том случае, если количе­ство элементов в Е не меньше количества элементов в F, т.е. │Е││F│. Для функциональной инъекции, наоборот, должно выполняться соотношение │Е││F│.

Рис.6. Функциональная биекция. Рис.7. Функциональная инъекция.

Рис. 8. Функциональная сюръекция.

Опр. Отображение множества Е в Е, определенное равенством f(x) = х, называется тождественным отображением (оператором).

Опр. Отображение множества в его фактор-множе­ство называется канонической сюръещией.

Примеры отображений.

1. Пусть задано соответствие f: R → R, такое, что f(x) = х². Это соответствие является отображением, так как для каждого xRсуществует образ f(x) = х². Область определения этого отображения — множество всех действительных чисел R; область значений — [0, ∞). Отображение f функционально, так как каждое значение xRимеет только один образ в R. Отображение f:R → [0, ∞) является функциональной сюръекцией, так как для каждого f(x)  [0, ∞) существует по крайней мере один прообраз хR.

2. Если Е - множество ограниченных кривых па плоскости, то функция вычисления длины кривой есть сюръекция f: Е →R⁺.

3. Отображение f:R→R, такое, что f(x) = 2х+3, т.е. прямая, есть биекция.

4. Отображение f : N → R, такое, что g(х) = ±, являетсябиекцией, но не является функциональным отображением.

5. Соответствие f:R→R, такое, что f(x) = x/sin x, является частич­но определенной функцией: для sin x = 0 значение функции не определено.

6. f(x)=e^x - инъективна, но не сюръективна при x R;

7. f(x)=x³-x - сюръективна, но не инъективна;

8. f(x)=2x+1, f(x)=x³+x – биективна.

Свойства биективных функций

1) (f^)^=f; 2) (gf) ^=f^g^.

3) f^f=e_x; 4) ff^=e_y.