2.4 Метод Гаусса.
Рассмотрим решение системы методом Гаусса на конкретном примере:
Метод Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система приводится к равносильной системе ступенчатого вида, из которой последовательно, начиная с последних, находятся все остальные.
Составим расширенную матрицу из коэффициентов при переменных и свободных членов, поменяв первую и вторую строку, чтобы а11=1
Умножим элементы первой строки на -2 и прибавим к соответствующим элементам второй строки, умножим элементы первой строки на -7 и прибавим к соответствующим элементам третьей строки. В результате получим в первом столбце, во второй и третьей строке 0
Умножим элементы второй строки на -9 а элементы третьей на 5 и полученные элементы второй строки прибавим к соответствующим элементам третьей строки, тогда получим:
Запишем преобразованные уравнения:
Теперь можно найти значения переменных, подставляя последовательно значение х3 во второе уравнение, найдем х2, подставим значения х2 и х3 в первое уравнение найдем х1
Ответ: (1;1;1)
2.4 (а) Методом Гаусса решить систему линейных уравнений и найти одно из базисных решений:
Решение:
Составим расширенную матрицу и с помощью элементарных преобразований приведем её к ступенчатому виду.
r(A)=2, число переменных n=4, следовательно система имеет бесконечное множество решений.
Определитель при переменных х1 и х2 , следовательно их можно взять за основные. Остальные, неосновные переменные х3 и х4 переносим в правые части уравнений:
Нашли общее решение системы. Чтобы найти базисное решение приравняем свободные переменные нулю, т.е.х3=х4=0. Получим базисное решение (-9;5; 0;0)
§ 3 Элементы векторной алгебры
3.1 Определения и основные понятия
Вектором называется направленный отрезок, он обозначается двумя буквами или одной .
Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой, или на параллельных прямых.
Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Координатами вектора в декартовом базисе называются его проекции на оси координат. Обозначим координаты вектора через х, у,z получим следующее представление вектора в координатной форме:
В координатной форме сокращенно вектор можно записывать следующим образом .
Если вектор задан координатами начала и конца М1(х1,у1,z1) и М2(х2,у2,z2), то координаты вектора = (х2 – х1,у2 – у1, z2 - z1).
Длина вектора (модуль) находится по формуле:
.
3.2 Действия над векторами
Если векторы и заданы координатами, то сумму и разность векторов, произведение вектора на число можно найти по формулам:
При умножении вектора на число получаем вектор коллинеарный данному, следовательно, можно сделать вывод:
Условием коллинеарности двух векторов является пропорциональность их координат.
Скалярным произведением двух векторов называется произведение их модулей, умноженное на косинус угла между ними .
Если векторы заданы координатами, то .
С помощью скалярного произведения можно определить угол между векторами: .
Векторы перпендикулярны если их скалярное произведение равно
нулю .
Векторным произведением двух векторов и называется вектор , определяемый следующими условиями:
-
вектор перпендикулярен векторам и ;
-
вектор имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах а и в как на сторонах
-
векторы а,в,с образуют правую тройку.
z
Е
x y O
то
Согласно определению, площадь параллелограмма, построенного на векторах и , равна модулю их векторного произведения: , где SΔ – площадь треугольника, построенного на векторах и .
3.3 Пример: Найти площадь треугольника, построенного на векторах и угол между ними.
Чтобы найти площадь треугольника, найдем векторное произведение векторов и
Чтобы найти угол между двумя векторами, воспользуемся формулой:
.