§ 4 Элементы аналитической геометрии на плоскости
Прямая линия.
Если на плоскости произвольно взята декартова система координат, то всякое уравнение первой степени относительно текущих координат х и у
Ах + Ву + С =0,
где А и В одновременно не равны нулю, определяют прямую в этой системе координат.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом: ,
где - угловой коэффициент, α – угол наклона прямой к положительному направлению оси ОХ, - величина отрезка, отсекаемого на оси ОУ.
- уравнение пучка прямых, проходящих через точку М0(х0;у0).
- уравнение прямой, проходящей через две точки М1(х1;у1), М2(х2;у2).
Пусть даны две прямые:
у=к1 х+в1 общее уравнение А1х + В1у +С1 = 0
у=к2х + в2 общее уравнение А2х +В2у + С2 = 0.
Угол между данными прямыми определяется по формуле
.
Условие параллельности прямых:
Две прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны, коэффициенты при переменных общих уравнений пропорциональны
т.е.
Условие перпендикулярности прямых:
Две прямые перпендикулярны, если их угловые коэффициенты обратны по значению и противоположны по знаку, сумма произведений коэффициентов при переменных общих уравнений равна нулю т.е.
.
Расстояние от точки до прямой.
Пусть на плоскости заданы точка М0(х0;у0 ) и прямая Ах + Ву + С = 0. Под расстоянием от точки М0 до прямой Ах + Ву + С = 0 принимается длина перпендикуляра, опущенного из точки М0 на прямую. Данное расстояние можно определить по формуле:
Пример: Даны вершины А(2; 1), В(6; 3), С(4; 5) треугольника.
Найти:
-
уравнение и длину стороны АВ;
-
уравнение высоты, проведенной из вершины С;
-
уравнение медианы, проведенной через вершину С;
-
длину высоты, опущенной из вершины С;
-
величину внутреннего угла А;
-
площадь треугольника АВС.
Сделать чертеж.
Решение.
Сделаем чертеж :
y
C
B
D
A M
x
9
1) Длину стороны АВ находим как расстояние между двумя точками
А и В.
.
Уравнение прямой АВ найдем по формуле уравнения прямой проходящей через две точки.
.
2) Уравнение высоты, проведенной из вершины С можно найти по формуле уравнения пучка прямых, проходящих через данную точку и так как СD перпендикулярно АВ а угловой коэффициент АВ можно найти .
Тогда у – 5 = - 2(х - 4), или 2х + у – 13 = 0.
3) Для определения уравнения медианы СМ найдем координаты точки М, которая делит отрезок АВ пополам
Медиана СМ проходит через две точки С(4; 5) и М(4; 2). Так как абсциссы этих точек равны можно сделать вывод, что прямая СМ параллельна оси ОУ и ее уравнение имеет вид х = 4.
-
Чтобы найти длину высоты, опущенной из вершины С, воспользуемся формулой расстояния от точки до прямой. Уравнение прямой АВ имеет вид х – 2у = 0, С(4; 5).
.
5) Величину внутреннего угла А найдем как угол между двумя прямыми АС и АВ. Уравнение прямой АВ известно, оно имеет вид х – 2у = 0. Составим уравнение прямой АС, воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через две точки: .
.
6) Чтобы найти площадь треугольника воспользуемся формулой