Парадокс независимости

Математическое определение независимости обычно согласуется с нашим представлением о независимости. Например, мы бросаем две симметричные монеты (т.е. выпадение решки и выпадение герба равновероятны). Тогда события А - "на первой монете выпал герб" и В - "на второй монете выпал герб" очевидно, независимы как в общепринятом смысле, так и в математическом. Это согласование, однако, наблюдается не всегда.

Суть парадокса

Пусть событие С - "на одной (и только на одной) монете выпал герб". Тогда события А, В, и С попарно независимы, но любые два из них однозначно определяют третье.

Объяснение парадокса

События А и В независимы, как уже говорилось выше.

События А и С, а также В и С тоже независимы, т.к.

и .

Справедливо также, что любые два события определяют третье, т.к. каждое событие А, В и С происходит тогда и только тогда, когда происходит ровно одно из двух других событий. Этот парадокс, таким образом, показывает, что попарная независимость вовсе не означает независимость в совокупности. Таким образом, события называются независимыми в совокупности, если для любого конечного набора из этой совокупности выполняется следующее свойство:

Можно рассмотреть простой пример, разрешить который можно, однако, только с помощью понятия независимости.

Вовочка собирается сыграть три партии в "дурака" со своими родителями, и для победы ему нужно не остаться "в дураках" два раза подряд. Порядок игр может быть таким: "отец - мать - отец"(1) или "мать - отец - мать"(2). Вовочке нужно решить, какой порядок для него удобнее, если отец играет лучше матери. Сначала может показаться, что порядок (2) для Вовочки лучше, т.к. он дважды играет с матерью. Но в этом случае ему придется за одну попытку победить отца, иначе он не победит два раза подряд. Что же будет, если Вовочка выберет вариант (1)? Если он выигрывает с вероятностью p у отца и с вероятностью q у матери, то p < q , т. к. отец играет лучше матери. Если Вовочка выберет вариант (1), он должен выиграть либо 1-ую и 2-ую партии (с вероятностью pq), либо 2-ую и 3-ю (с вероятностью qp). Тогда вероятность того, что произойдет одно из этих событий, равна

pq + qp - pqp (pqp вычитаем, т.к. иначе мы бы учли дважды вероятность того, что Вовочка выиграет во всех трех партиях).

Аналогично, если Вовочка выберет порядок (2), то вероятность того, что он выиграет дважды подряд, равна

qp + pq - qpq.

Так как p < q, то

pq + qp - pqp > qp + pq - qpq,

следовательно, Вовочке лучше играть два раза с отцом и лишь один раз - с матерью

6 ученик Парадокс 2

Одной из задач, давших начало теории вероятностей, является знаменитый парадокс игры в кости, разрешенный еще в "Книге об игре в кости" Д. Кардано (1501-1576), которая вышла лишь в 1663г.

Суть парадокса

Правильная игральная кость при бросании с равными шансами падает на любую из граней 1, 2, 3, 4, 5, 6. В случае бросания двух костей сумма выпавших чисел заключена между 2 и 12. Как 9, так и 10 из чисел 1, 2, ..., 6 можно получить двумя разными способами: 9=3+6= или 9=4+5 и 10=4+6 или 10=5+5. В задаче стремя костями и 9, и 10 получаются шестью способами. Почему тогда 9 появляется чаще, когда бросают две кости, а 10 - когда бросают три?

Объяснение парадокса

В свое время эту задачу считали очень трудной. Часто и сейчас забывают о необходимости учета порядка выпадения костей. В случае двух костей 9 и 10 могут получиться следующим образом: =3+6, или 9=6+3, или 9=4+5, или =5+4 и 10=4+6, или 10=6+4, или 10=5+5. Это значит, что при двух костях 9 можно "выбросить" четырьмя способами, а 10 - лишь тремя. Следовательно, здесь шансы получить 9 предпочтительней. В случае трех костей ситуация меняется на противоположную: 9 можно "выбросить" 25 способами, а 10 - уже 26 способами. Потому 10 получается чаще, чем 9.

7 ученик Парадокс 3