Парадокс нулевой вероятности

Вероятность невозможного события - ноль. Обратного мы утверждать не можем: вероятность попадания в центр мишени равна 0, но это событие не является невозможным. Вероятность попадания в любую из тысячи фиксированных точек тоже равна 0, но мы интуитивно думаем, что это событие все же более правдоподобно, чем попадание в центр. Возникает вопрос: можно ли сравнить события, имеющие нулевую вероятность? Другая проблема состоит в том, что, хотя вероятность попадания в центр - нулевая, хороший стрелок наверняка попадет. Получается, что объединение событий с нулевой вероятностью может дать 1! Таким образом, мы что-то получаем из ничего. Возможно ли это на самом деле? Этот парадокс подобен известному парадоксу Зенона о невозможности движения. Зенон утверждал, что что, так как перемещение стрелы за нулевой интервал времени равно нулю, то в каждое мгновение стрела неподвижна. Следовательно, непонятно, как она вообще движется. Таким образом, приведенному парадоксу уже несколько тысяч лет (мы ведь тоже хотим из ничего получить что-то). Но его удовлетворительное объяснение появилось сравнительно недавно благодаря исследованиям Абрахама Робинсона (1918 - 1974 гг.)

Суть парадокса

Возьмем наугад точку из интервала (0, 1). Тогда вероятность того, что мы выбрали точку 1/2, равна вероятности выбора любой из точек 1/100, 2/100, 3/100, ...Действительно ли невозможно различить вероятности этих событий?

Объяснение парадокса

Постепенно с развитием математики вводились все более сложные типы чисел: после натуральных чисел и дробей появились ноль, отрицательные числа, действительные (рациональные и иррациональные), комплексные. В 60-е годы 20-го столетия множество чисел пополнилось так называемыми бесконечно малыми числами. Со времен Ньютона и Лейбница они, конечно, неоднократно использовались, но это происходило чисто символически, без четкого определения или обоснования. Именно поэтому в 19 столетии к ним старались не прибегать в строгой математике. Математики перешли к "эпсилон-дельта" анализу.

Однако теория Робинсона логически объясняет использование бесконечно малых чисел. Их можно использовать в вычислениях подобно другим числам. Хотя деление на ноль запрещено, деление на бесконечно малое строго определено: величина, обратная бесконечно малой, является бесконечно большим числом. И наоборот: величина, обратная обратная бесконечно большому числу, есть бесконечно малая. До появления теории Робинсона считалось, что действительные числа заполняют всю числовую прямую. Исследуя отдельную точку на числовой прямой как бы под микроскопом, мы видим не только эту точку, но и множество точек, бесконечно близких к ней. Этот образ назван "монадой". С помощью бесконечно малых можно разрешить многие парадоксы, в том числе и парадокс Зенона. Суть в том, что нужно делать различие между нулем и бесконечно малыми. Например, каждому подмножеству некоторого интервала можно приписать вероятность так, что эта вероятность равна нолю только для пустого множества, соответствующего невозможному событию, а для любого другого события вероятность положительна, хотя может быть и бесконечно малой. Для множества А, имеющего вероятность Р(А) в традиционном смысле, получим вероятность, отличающуюся от Р(А) самое большее на бесконечно малое.

Учитель: Спасибо за интересные сообщения. А если это направление теории вероятности Вас заинтересовало, то советую обратиться к книге:

Г. Секей. "Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике" М., Мир 1990.

5. Подведение итогов олимпиады

«Вероятностный мир»

Учитель: После изучения тем «Элементы комбинаторики» и «Знакомство с вероятностью» мы с Вами проводили небольшую олимпиаду «Вероятностный мир». Сегодня мы подводим ее итоги. (Вручение призов и грамот, поздравление победителей)

(Текст опубликован на странице. Задания теста взяты с сайта http://www.teoriaver.narod.ru/ )

Учитель: На этом наше заседание «Клуба мудрейших» закончено. До новых встреч

Комментарии

Тест можно проводить в интерактивном варианте на сайте http://www.teoriaver.narod.ru/te.htm

Перед началом прохождения теста выводится пояснительный текст:

Предлагаемый Вам тест содержит двадцать вопросов, на каждый из которых дается три варианта ответа. Вопросы будут выводится в отдельном окне. Выберите вариант ответа и щелкните мышью на тексте выбранного варианта. Выбранный вариант отображается оранжевым цветом. По результатам выполнения теста будет выведено число верных ответов и оценка.

Положительные стороны такого способа проведения теста:

• Задания подбираются случайным образом, а значит у соседей - разные задачи.

• Интернет в свободном доступе хоть уже и не в диковинку, но в интерактивном варианте олимпиада вызовет большую заинтересованность у школьников.

• Объективность оценки результатов

• Моментальность вывода итогов теста

Трудности такого способа проведения теста чисто организационные и технические. Необходимо решить вопрос с компьютерным классом. Скорее всего, класс придется запускать не в один поток, так как найти сразу около 20 компьютеров для одновременного проведения теста очень тяжело.

Тест можно проводить и в «бумажном» варианте, предварительно скачав и распечатав тексты задания

Предлагаемый ключ конкретно для распечатанного варианта заданий.

Ключ:

вопрос	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
ответ	2	2	3	1	3	2	2	3	2	1	1	3	3	1	1	2	3	3	2	1

Результаты олимпиады можно проиллюстрировать следующим образом:

	Набранный	Абсолютная частота			Относительная частота
	балл
1	от 0 до 5		1			0,05882
2	от 6 до 10		2			0,11765
3	от 11 до 15		5			0,29412
4	от 16 до 20		9			0,52941

С помощью гистограммы:

6. Список использованной литературы

1. Большая Советская Энциклопедия. (В 30 томах). 3-е изд. изд. М., "Советская энциклопедия" 1970.

2. Гарднер М. "Путешествие во времени". Издательство "Мир", Москва 1990.

3. Глеман М., Варга Т. "Вероятность в играх и развлечениях". Пер. с франц. Издательство "Просвещение", Москва 1979.

4. Гнеденко Б. В. "Математика в современном мире". Издательство "Просвещение", Москва 1980.

5. Кордемский Б. А. "Математика изучает случайности". Издательство "Просвещение", Москва 1975.

6. Мостеллер Ф. "Пятьдесят занимательных вероятностный задач с решением". Издательство "Наука", Москва 1975.

7. Научно-популярный физико-математический журнал "Квант", 4'1975.

8. Пойа Д. "Математика и правдоподобные рассуждения". Издательство "Наука", Москва 1975.

9. Приложения "Большой энциклопедии Кирилла и Мефодия" 2002.

10. Реньи А. "Письма о вероятности". Пер. с венг. - М.: "Мир", 1970.

11. Секей. Г. "Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике" М., Мир 1990.

12. Тарасов Л. В. "Мир, построенный на вероятности". Издательство "Просвещение", Москва 1984.

13. Энциклопедия для детей. Том 11. Математика. Издательство "Аванта +", Москва 1998

7. Интернет-рессурсы

http://golovolomka.hobby.ru

http://www.teoriaver.narod.ru

http://mathem.by.ru

http://penza.fio.ru

http://www.abitu.ru

http://mech.math.msu.su/

http://www.uni-vologda.ac.ru/

http://mathforall.narod.ru/

http://arbuz.uzpak.uz

18