48Степенные ряды.

 Ряд вида a₀ + a₁x +a₂x² +a₃x³+…+a_nxⁿ+…=a_nxⁿ (1) называется степенным рядом.

n=0

Числа a₀, a_1, a_2,…,a_n,… называются коэффициентами степенного ряда.

Придавая х различные числовые значения , будем получать различные числовые ряды, которые могут оказаться сходящимися или расходящимися. Множество тех значений х , при которых ряд (1) сходится, называется областью его сходимости. Это множество всегда не пусто, т.к. любой степенной ряд сходится при х=0. Очевидно, что частичная сумма S_n (х)= a₀ + a₁x +…+a_nxⁿ является функцией переменной х. Поэтому и сумма ряда S также является некоторой функцией переменной х, определённой в области

сходимости ряда:

 

S=S(x)= a_nxⁿ (или f(x)= a_nxⁿ).

n=0 n=0

49. Теорема Абеля.

1. Если степенной ряд (1) сходится при х=х₀ (х₀ 0), то он сходится, и притом абсолютно, для всех х, удовлетворяющих условию я х< х₀.

2. Если ряд (1) расходится при х= х₁,то он расходится для всех х, удовлетворяющих условию х<х₁.



Док-во: 1)т.к. по условию числовой ряд a_nx₀ⁿ сходится, то его общий член a_nx₀ⁿ 0 при

n=0

n, откуда следует, что последовательность { a_nx₀ⁿ } ограничена , т.е. существует число M>0 такое, что  a_nx₀ⁿ <M, n =0, 1, 2… (2) Перепишем ряд (1) в виде

a₀ + а₁х₀ (х/х₀) + а₂х²₀ (х/х₀)² +…+ а_n хⁿ₀ (х/х₀)ⁿ +… (3) и рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его членов : a₀+ а₁х₀х/х₀ + а₂х²₀х/х₀² +…+ а_n хⁿ₀х/х₀ⁿ +… (4).

Члены ряда (4) в силу неравенства (2) меньше соответствующих членов ряда

М+ Мх/х₀ + Мх/х₀² +…+Мх/х₀ⁿ +… (5) При  х< х₀ ряд (5) представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем q=х/х₀<1 и, следовательно, сходится.

Т.к. члены ряда (4) меньше соответствующих членов ряда (5) то, по признаку сравнения, ряд (4) также сходится, а это значит, что ряд (1) при  х< х₀ сходится абсоютно.

По условию, в точкеx₁ ряд (1) расходится. Требуется показать, что он расходится для всех x , удовлетворяющих условию  х> х₁. Предположим обратное, т.е. допустим, что при некотором значении х таком, что  х> х₁, ряд (1) сходится. Тогда по только что доказанной первой части теоремы ряд (1) должен сходиться и в точке х₁, т.к.  х₁< х. Но это противоречит тому, что в точке х₁ ряд расходится.

Теорема Абеля утверждает, что если х₀ – точка сходимости степенного ряда, то во всех точках, расположенных на интервале (-х₀, х₀), этот ряд сходится абсолютно, а если х₁ – точка расходимости степенного ряда, то во всех точках, расположенных вне интервала (-х₁, х₁), ряд расходится.

49. Теорема об интервале сходимости степенного ряда.

Если ряд  а_n хⁿ (1) сходится на при всех значениях х и не только при х=0, то

n=0

существует число R>0 такое, что ряд абсолютно сходится при  х<R и расходится при  х>R.

Док-во: обозначим через Х множество точек х, в которых ряд (1) сходится. Покажем, что множество Х ограничено. Действительно, если взять точку х₁, в которой ряд расходится (по условию такие точки существуют), то по теореме Абеля для любого х из множества Х выполняется неравенство  х< х₁. Известно, что у ограниченного сверху множества существует ТВГ. Положим R = supx. Так как ряд сходится не

xХ

только при х=0, то R>0.

Возьмём теперь любое х, для которого  х< R. Согласно свойству ТВГ найдется х₀Х такое, что  х< х₀ R, откуда по теореме Абеля следует абсолютная сходимость ряда при взятом х.

Возьмём теперь любое х, для которого  х> R. Такое хХ. Следовательно, при этом х ряд расходится. 

Таким образом, решён вопрос об области сходимости степенного ряда. Интервал (-R,R) называется интервалом сходимости степенного ряда. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда. Интервал сходимости некоторых рядов охватывает всю числовую прямую (в этом случае пишут R=), у других вырождается в одну точку R (R=0). Всякий степенной ряд имеет свой радиус сходимости R. При х = R ряд может либо сходиться, либо расходиться. Этот вопрос решается для каждого конкретного ряда.

49. Теорема о радиусе сходимости степенного ряда

Если существует предел lim a_n+1/a_n0 ,то радиус сходимости степенного ряда а_nхⁿ

n n=0

(1) равен R= lim a_n/a_n+1.

n 

Док-во: рассмотрим ряд а_nхⁿ(2). По условию существует предел lim a_n+1/a_n0.

n=0 n

Обозначим его через 1/R. Тогда lim a_n+1xⁿ⁺¹/a_nxⁿ=x lim a_n+1/a_n=x/R.

n n

При каждом значении х степенной ряд становится числовым рядом. Поэтому по признаку Даламбера ряд (2) также сходится, если x/R<1 ,т.е.  х< R. Следовательно, по теореме о сходимости знакопеременных рядов ряд (1) также сходится при  х< R, причём абсолютно. При  х> R ряд (1) расходится, т.к. lim a_n+1xⁿ⁺¹/a_nxⁿ=x/R>1 и ,

n

следовательно, общий член ряда а_nхⁿ не стремится к нулю при n.

Таким образом, данный ряд сходится внутри интервала (-R,R) и расходится вне его, т.е. радиус сходимости R= lim a_n/a_n+1

n

Замечание. Можно доказать, что если lim a_n+1/a_n= 0, то ряд (1) сходится на всей

n

числовой прямой, т.е. R=, а если lim a_n+1/a_n=,то ряд сходится только при х=0, т.е.

n

R=0.