Мет выч методичка

жет быть приведен к [ 1; 1]:

b

1

Z

::: dx ! Z

:::dt;

a

1

b + a

b a

b a

x =

+

t;

dx =

dt;

2

2

2

b

2

1

2

2

Z

Z

f(x) dx =

b a

f

b + a

+

b a

t

dt:

a	1

61

Например, для n = 4 узлы и коэффициенты формулы Гаусса

t1 = t4 = 0:861 136 311 594 0492t2 = t3 = 0:339 981 043 584 8646

12 1 = 12 4 = 0:173 927 422 568 7284 12 2 = 12 3 = 0:326 072 577 431 2716

5.5 Точность численного интегрирования

Можно показать, что остаточный член метода прямоугольников на отрезке [a; b] имеет вид

jRпрj 6 (b a)h2 max jf00(x)j

24 a6x6b

62

для метода трапеций

jRтрj 6 (b a)h2 max jf00(x)j

12 a6x6b

для метода Симпсона

jRСj 6 (b a)h4 max jf(4)(x)j 180 a6x6b

для n – точечного метода Гаусса

j

Гj

6

22n+1(n!)4

b j

(2n)(x)

j

R

max

f

[(2n)!]3(2n + 1) a x

6 6

для n = 4 – метода Гаусса

R

1

max

f

(8)(x)

j

Гj 6 3 472

j

875 a6x6b j

63

5.6 Особые случаи численного интегрирования

1. Подынтегральная функция разрывна на отрезке интегрирования Если подынтегральная функция на отрезке интегрирования терпит разрыв, то интеграл вычисляется численно для каждого отрезка непрерывности и результаты складывают. Например, в случае одной

точки разрыва x = c (a < c < b)

b	c	b
Z f(x)dx = Z f(x)dx + Z f(x)dx
a	a	c

2. Несобственные интегралы.

Несобственными интегралами называются такие интегралы, которые имеют хотя бы одну бесконечную границу интегрирования или подынтегральную функцию, обращающуюся в бесконечность хотя бы в одной точке отрезка интегрирования.

64

Интеграл с бесконечным пределом

1

Z

f(x)dx

a

называется сходящимся, если существует конечный предел

b

Z

lim f(x)dx

b!1

a

и по определению

1	b
Z	f(x)dx = b!1 Z
	lim f(x)dx:
a	a

Для вычисления сходящегося несобственного интеграла с заданной

65

точностью " его представляют в виде

1	b	1
Z	f(x)dx = Z	f(x)dx + Z	f(x)dx:
a	a	b

В случае сходимости интеграла число b можно выбрать столь большим, чтобы

1	f(x)dx	<	2:
Z			"
b

В случае, если функция обращается в бесконечность в некоторой точке x = c конечного отрезка интегрирования, то можно пробовать выделить особенность, представив подынтегральную функцию в виде суммы двух функций:

f(x) = '(x) + (x)

так чтобы '(x) была ограничена, а несобственный интеграл от (x) вычислялся бы аналитически.

66

Возникающие в ряде задач сингулярные интегралы вида

			b	x cdx
			Z
					f(x)
			a
понимаются в смысле главного значения
lim	0 c "	f(x)				dx +	b	f(x)			dx1
							Z
"!0	Z	x		c				x		c	C
	B a						c+"
	@										A

Этот интеграл может быть записан как сумма интеграла по отрезку, симметричному относительно точки c и интеграла от гладкой функции по оставшейся части.

67

5.7 Кратные интегралы
Будем рассматривать двойные интегралы
ZZ	(74)
f(x; y)dxdy

G

Самым простым методом вычисления данного интеграла является метод ячеек. Пусть областью интегрирования является прямоугольник:

	a 6 x 6 b;	c 6 y 6 d:
По теореме о среднем среднее значение функции f(x; y):			(75)
f(x; y) = S ZZ f(x; y)dxdy; S = (b a)(d c):
1

G

Предположим, что среднее значение приближенно равно значению функции в центре прямоугольника, т.е.

f(x; y) f(x; y);

68

тогда для вычисления интеграла получаем

ZZ

f(x; y)dxdy Sf(x; y)

G
x =	a + b	;	y =	c + d	:
2			2
Точность формулы можно повысить, если разбить область G на
прямоугольные ячейки Gij, то для каждой ячейки
ZZ f(x; y)dxdy f(xi; yj) xi yj						(76)
Gij
и для интеграла
			M N
ZZ f(x; y)dxdy i=1 j=1 f(xi; yj) xi yj						(77)
G			XX

В правой части последнего равенства стоит интегральная сумма, поэтому при уменьшении периметров ячеек эта сумма стремится к

69

значению интеграла для любой непрерывной функции f(x; y). Погрешность метода ячеек имеет второй порядок малости по x и y. Для дальнейшего повышения точности можно применить метод сгущения узлов сетки. При этом шаг по каждой переменной уменьшают

водинаковое число раз, т.е. отношение M=N остается постоянным.

Вслучае, если область G непрямоугольная, ее может быть целесообразно привести к прямоугольному виду путем соответствующей замены переменных.

Рассмотрим область – криволинейный четырехугольник: a 6 x 6

b, '1(x) 6 y 6 '2(x). Для приведения этой области к прямоугольной, надо использовать замену:

	t =	y '1(x)	; 0 6 t 6 1:	(78)
		'2(x) '1(x)

Другой возможный способ вычисления многомерных интегралов состоит в сведении их к последовательному вычислению одномерных интегралов.

70