2 курс / Дифференциальные уравнения / Федорюк М., Обыкновенные дифф.уравнения, 1985

§ 41

ФОРМУЛА ЛИУВИЛЛЯ

181

Действительно, этот определитель имеет вид

Произведение любых двух элементов, не находящихся на главной диагонали, имеет порядок O(hz), так что члены порядка h могут содержаться только в произведении диагональных элементов, которое равно

(1 + hbn + o(h)) (I + hb22 + o{h))... (1 + hbnn + o{h)) « n

— 1 + h 2 bH + о (h) = 1 + h Sp В + о {h).

Тем самым (2) доказано, так что

Переходя в этом равенстве к пределу при h -*- 0, получаем (1).

Рассмотрим линейную однородную, систему из п урав-

нений
£-*т	(3)

с непрерывной на некотором отрезке / матрицей-функ*

цией	А(х).
Теорема . Пусть			у1 (х), .. ,1уп(х)—решения				систе-
мы (3) и w(x) — их вронскиан.					Тогда справедлива			фор-
мула	Лиувилля
				\ §\				(4)
Д о к а з а т е л ь с т в о .				Если	решения у1	[х),. •.,уп (х)
линейно зависимы, то			Л	) Е ОИ формула		(^)	очевидна.
Пусть	эти	решения	линейно		независимы,		и Y	(х)«
= {у1	(х), ...,	уп (х)),	т. е. столбцы матрицы-функции
Y(x) — вектор-функции			yj(x).		Эта матрица	удовлетворя-
ет матричному дифференциальному уравнению

§=A{x)Ys

(5)

182	ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ	(ГЛ. 3
так как	ее столбцы — решения системы (3). Имеем из
(1), (4)

Интегрируя это уравнение относительно и>Ы, получаем формулу Лиувилля.

§ 5. Фундаментальные системы решений
Рассмотрим однородную	линейную алгебраическую
систему из к уравнений
Ay = Ot		(1)
где А есть (ягX АО-матрица,у •» (yv . ..>#&)• Из		линей-»
ной алгебры известно, что существует фундаментальная
система решений Ух,.**%уг	системы (1). Эти решения

линейно независимы и всякое решение системы (1) имеет вид у=*схуг + . •. + сгуг,ще си •.., сг — произвольные постоянные. Аналогичные утверждения справедливы для линейной однородной системы из п дифференциальных уравнений

	%-А{х)у.					(2)
П р е д п о л о ж е н и е .		Матрица-функция А(х)			непре-
рывна на отрезке I. Всюду в дальнейшем предполагает*
ся, что ж е / .
О п р е д е л е н и е .	Фундаментальной системой реше-
ний системы(2) называется набор из п линейно					незави-
симых решений у1 (x)i •.., уп {х).
Т е о р е м а 1. Фундаментальные системы решений						су-
ществуют.
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Пусть ег%	.. . , е п — линейно			не-
зависимые векторы и у1		\х)х ...,уп	(х) — решения		систе-
мы (2) с данными Коши
у 1 {х0) — еи	у 2 (х0) = eZf..4		у п {х0) - еп.
Вронскиан w(x) этих решений при			х = х0	равен w (x0) •-
« det (ev ..., еп) Ф 0, так как векторы ev				..'., еп	линей-
но независимы. В силу леммы 1 из § 3 решения у1					(х),...

•.., уп(х) линейно независимы, их п штук, а потому они

составляют фундаментальную	систему	решений.
Т е о р е м а 2. Пустьух(х),	. . . , у п ( х )	—фундаменталь-

ная системарешений системы (2). Тогда всякое решение

§ 5]	ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ		СИСТЕМЫ РЕШЕНИЙ	183
системы (2) имеет вид
	У (*) -	СгУ1 {*) + с2у2	(х) + ... + спу" {x)t	(3)
где си	с2, ..., сп	— произвольные постоянные.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть ^ е / } тогда векторы
У1 (#о)> У2 (#о), • • -,Уп(^о)			линейно независимы,	так ка
составленный из них определителе отличен от нуля				(§3,

лемма3). Поэтому существуют такие постоянные сА,с2,•••
•.., сП1 что
У (*ь) - с ^ 1	( * 0 ) + с 2 у 2 (х0) + . „ + с п у * {xQ).
Вектор-функция
У (*) - ^i^1	И +с2#2 И + ... +с„г(^)	(4)

есть решение системы (2), и у (х0) = у (о"0),по построению. По теореме единственности у (х)si у (х)^ и из (4) следует (3).

Эта теорема — фундаментальный результат теори обыкновенных линейных дифференциальных уравнений.

Формула (3) показывает, что для.того чтобы найти все решения однородной«системы (2), достаточно найти только п решений (линейно независимых). Для нелинейных уравнений все значительно сложнее. Например, если мы знаем 100 решений скалярного нелинейного уравнения первого порядка у' «/(я, у), то нет дикакого рецепта, который позволил бы найти еще одно решение по уже известным.

Придадим другой вид формуле (3).Матрица

столбцы которой — фундаментальная система решений, называется фундаментальной матрицей системы (1). К уже отмечалось в § 4, фундаментальная матрица удовлетворяет матричному уравнению

А(х)¥(х)

(5)

и невырождена при всех х е /. Из формулы (3) следует, что всякое решение системы (2) имеет вид

у {х) — Y {х)с,

где с—произвольный постоянный вектор.

184

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ II СИСТЕМЫ

[ГЛ. 3

Теорема 3. Всякое решение Y{x) матричного уравнения (5) имеет вид

		(6)
Здесь	Т(х) — фундаментальная матрица системы (1),
С — постоянная матрица.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Будем		искать решение уравне-
ния (5) в виде Y(x) « Y{x)(kx).		Подставляя в (5), полу-
чаем
i	f (х)С (х) + 7 (х)±С(х) - A(x)Y (х)С(х)>

и так как Т(х) — решение уравнения (5),то

Умножая это равенство слева на Т~1(х), получаем, что

dC(x)		л	п , v
• d		»—U, т. е. СЛх)— постоянная матрица.
	Следствие. Любые две фундаментальные матриц

системы (1) связаны соотношением (6), где С — посто ная невырожденная матрица.

§6. Неоднородные линейные системы

спеременными коэффициентами

Рассмотрим линейную систему из п уравнении

% = A(z)y + f(x).	(1)
Матрица-функция А{х) и вектор-функция /(х)	непре-
рывны на интервале /.
Теорема. Система (1) имеет частное решение
	(2)
Здесь Y(t) — фундаментальная матрица однородной
системы
d£ = *(*)y-	(3)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Применим метод вариации постоянных, т, е. будем искать решение системы (1) в виде

y{z)~Y(x)c{x)>

(4)

6 71	ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ n-ГО ПОРЯДКА	185
где	с (х) — неизвестная вектор-функция. Подставляя в
(1> и учитывая, что ^ = А (х) У, получаем

А {х)Y (х)c(z) + Y {х)=^р = А (х)Y {x)c(x) + f {x)t

откуда находим

-^^Y 1(x)f(x).

Так как Y(x) — фундаментальная матрица системы (3), то ее определитель нигде не обращается в нуль и потому матрица-функция У"1 (а;) Существует и непрерывна при х&1. Интегрируя уравнение для с(#), находим частное решение

Подставив это выражение в (4), получим (2).

З а м е ч а н и е . В формуле (2) можно каждую компоненту век- тор-функции V""1 (t)f (t) интегрировать по своему интервалу, т. е* /-ю компоненту интегрировать по интервалу (х?, х). Этот очевидный факт играет существенную роль в асимптотической теории обыкновенных дифференциальных уравнений [12].

Всякое решение неоднородной системы (1) есть сумма ее частного решения и общего решения однородной системы. Поэтому, если известна фундаментальная система решений однородной системы, то отыскание всех решений неоднородной системы сводится к квадратурам— см.-(2). В частности, решение задачи Коши

У (*о)- У0

для системы (1) дается формулой

х

у {х) - Y(x) У-1 (*0) у° + Y (х) J У-1 (0 / (0 dt. (5)

§ 7. Линейные дифференциальные уравнения ri-to порядка

1. Уравнения я-го порядка. Рассмотрим неоднородное скалярное уравнение /г-го порядка

1^ + ,..-+ап(х)у = /(я)

(1)

186	ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ		[ГЛ. 3
и соответствующее однородное уравнение
		г) + ... + ап{х)у 0.	(2)
П р е д п о л о же ни е.		Коэффициенты	уравнения
ах(х), ...,	ап(х) и правая	часть fix) непрерывны на от-
резке I.

Перенесем на это уравнение все результаты §§ 4—6. Определителем Вронского (или вронскианом) системы функций уг(х), ..., уп(х) называется определитель

Уг(х)

У%(х)

w[x)

У'2(Х)

У'П(Х)

(3)

Iе . Если

и>(хо)Ф0, то функции

уг(х),

...,

уп(х)

ли-

нейно независимы.

Допустим противное;

тогда

существуют

постоянные

Ci, ••., сп,

не равные нулю одновременно и такие, что

CiViix)+ сгуг(х)

+ . . . + спуп(х) «

0.

(4)

Дифференцируя это тождество,

получаем

Уг(х)

+ с2у2

{х)

+ ...

+ спУп {*)

яв 0,

(5)

сгУ(Гг)

(х) + с2у{Г1)

( * ) + . . . +

0.

Следовательно,

столбцы вронскиана

w(x)

линейно зави-

симы и потому

w(x) ss 0.

Это противоречит

предположе-

ниюи>(хо)¥*О.

2°. Пусть

yiix),

•..,

уп(х)

— решения

однородного

уравнения

(2).

Если

их

вронскиан

обращается в

нуль

хотя бы

в

одной точке, то эти функции

линейно

за-

висимы.

Пусть

w(x0) •• 0,

тогда столбцы

вронскиана

линейно

зависимы, так

что

+

. . .

+ СпУп (Уо)

-

0$

	1)(^o) + ... + ад(Г1} (х0) - 0,
где числа с1ч сг,	.•., сп не все равны	нулю. Функция
у(о?) *	Ciy^x) ± сгуг(х) + . •.±	спупЫ

§ 7]	ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ n-ГО ПОРЯДКА				187
есть решение уравнения (2) с данными Коши
	у(х0) - 0, у'{х0) -	0, ..., у(п-1>(«.) - О,
По	теореме единственности	у(х)^0	и	потому	решения
УАх), ..., уп(х) линейно зависимы.
	Для произвольных гладких функций			утверждение 2е
неверно.
	П р и м е р 1. Рассмотрим функции
	\х\ *> 0	, ч	[О,

которые непрерывно дифференцируемы на всей оси* Вронскиан этих функций тождественно равен нулю; тем не менее, они линейно независимы. Действительно, пусть

с1уАх)+с2(х)у2(х)**0, х&1—1, 1].

Полагая х*=*1, получаем с ^ О ; полагая # в — 1 , получа-

ем Са — СК Следовательно, функции уг(х),	у2(х) линейно
независимы.
Сведем уравнение (2) к эквивалентной системе ли-
нейных уравнений точно так же, как и в	§ 1, п. 3;

М*)Уг

3°. Пусть уг(х), • *•, у71 (#) — вектор-функции с компонентами {Уз{х), у', (х), • • •, у/'1-1) (ж)), 1 ^ / < п. Тогда этотнабор вектор-функций и набор функций уАх), ...

..., Уnix) одновременно линейно зависимы или линейно независимы.

Если функции i/i(#), ..., уп(х) линейно зависимы, то выполняется тождество (4), где не все постоянные с^ равны нулю. Дифференцируя это тождество по х, получаем (5), и в сочетании с (4) это показывает, что векторфункции у1 [х)г ***1уп{х) линейно зависимы, Если

188

ЛИЛЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ

[ГЛ. 3

вектор-функции Ух{х)1 •••луп(х) линейно зависимы, то

ЧУ1 (*) + •••+ спуп (х) зз О,

где не все числа ch равны нулю. Выписывая первую компоненту в этом тождестве, получаем (4), т. е. функции |/i(#), ..., уп(х) линейно зависимы.

Итак, линейная зависимость набора функций (векторфункций) влечет за собой линейную зависимость набора вектор-функций (функций). Переходя в этом утверждении к отрицанию, получаем то же относительно линейной независимости.

Фундаментальной системойрешений уравнения (2)

называется набор из п линейно независимых решений.

4\ Фундаментальные системы решений уравнения (2 существуют.

Пусть у1 (х), . **, уп (х)— фундаментальная система решений системы (6). Так как эти вектор-функции линейно независимы, то линейно независимы их первые

компоненты — функции ух(х), ..., уп(х),						в силу 3°, и по-
тому они образуют			фундаментальную			систему решений
уравнения (2).
5°. Пусть	у^х),		...,	уп(х) — фундаментальная			систе-
ма решений	уравнения			(2). Тогда всякое решение			этого
уравнения имеет вид
у(х)		«= cty(x)		+ сгу2(х)	+ ... + спуп(х),		(7)
еде си с2, ..*, сп		— произвольные			постоянные.
По каждой функции у^х) построим вектор-функцию
у~°{х), по формуле			(6). Вектор-функции			у1 {х), у2(х), ...

• • •> Уп (х) линейно независимы, в силу 3°, и потому образуют фундаментальную систему решений системы (6). Поэтому всякое решение этой системы имеет вид (§5, теорема 2)

У И в с&1 (я) + с2у2 (х) + • •. + спуп (х).

Приравнивая в этом тождестве первые компоненты векторов, получаем (7).

6°. Пусть j/iU),	,.., уп(х) — решения однородного
уравнения (2) и w(x) — их вронскиан. Справедлива фор-
мула Лиувилля:
w{x)=w	{х0)ехр I — J ai (t)dt .	(8)

I T]	ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ n-ГО ПОРЯДКА	189
Действительно, если АЫ —матрица (6), то		SpA(x)*=

•=—aiU) и из формулы Лиувилля (§ 4) следует(8).

Т. Достроим частное решение неоднородного уравнения (1).Введем матрицу-функцию:

которая является фундаментальной матрицей системы (6), и вектор-функцию / (х) —(02 0х ,. .2 02 /(г)). Уравнение (1)эквивалентно системе

Ее частное решение дается формулой (1), § 6, такчто частное решение уравнения (1) можно взять в виде

|Г(*)-|Г(*)|г-1(9/(*)л1. (9)

Индекс 1 означает, что берется первая компонента этой вектор-функции.

2.Уравнения второго порядка. Рассмотрим уравнение

=0. (10)

Если уг(х), у2(х) —решения этого уравнения, то их вронскиан равен

,	Ул (*> У*
w(x) =
и формула Лиувилля принимает вид
		(И)
где С—постоянная.	В частности, вронскиан	решений
уравнения	y" + q(x)y= 0	(12)

есть константа:

190

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ

[ГЛ. 3

Если известно решение уг(х) уравнения (12), не равное тождественно нулю, то второе линейно независимое решение может быть найдено с помощью квадратуры. Действительно, в силу (13) имеем

так что для уЛх) мы получили линейное уравнение первого порядка. Интегрируя это уравнение (гл. 1, § 2, при* мер 4), находим частное решение

(14)

Рассмотрим неоднородное уравнение

(15)

и найдем его частное решение в предположении, что известна фундаментальная система решений однородного уравнения (10). Имеем

так что

w (t)

Подставляя в (9), находим частное решение

(16)

ЕСЛИ нет под рукой формулы (16), то частное решение уравнения (15) можно найти с помощью метода ва* риации постоянных. Будем искать решение в виде

у —Ci(x)yt(x) + c2ix)y2{x),

(17)

где С|Ы, С2(о:) — неизвестные функции. Имеем

У'-Сг И»1W +^2 W^ (*) + ft (*) W W +с'г{*) У2