2 курс / Дифференциальные уравнения / Федорюк М., Обыкновенные дифф.уравнения, 1985

g 7]

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ n-ГО ПОРЯДКА

191

Функции ct(#), с2(х) выберем так, чтобы выражение в квадратных скобках обратилось в нуль. Подставляя у (х) в уравнение (15), получаем

fa	(*) (If; (*) + а(х)у[ (х) + Ъ(х) уг [х)) + с2 (х)( ^ (х)+
+	а{х)у'%(х) + Ъ(х)у2(х))] + с[(х)у[(х) + c'2(x)y'2(x) = f{x).

Выражение в квадратных скобках равно нулю, так как

Уи Уг— решения уравнения	(10), и	потому для сг (х)%
С2 {%) получаем систему уравнений
с[ (^) У\(я) + с2	(х) у2 (х) = / (х).
Решив систему, получим
с[ (х) - — иг* (х) f (х)у2 (х),	с2 (х) «	иг* (х) f (x) уг (х).

После интегрирования и подстановки в (17) снова получим формулу (16).

П р и м е р 1. Решим уравнение
х2у" +xy'~y = f{x),	х>0.
Однородное уравнение

есть уравнение Эйлера (гл. 1, § 5). Будем искать его решение в виде у == хк. Подставляя у в уравнение, получаем определяющее уравнение %2=*\, так что A^a — ^ l . Всякое решение однородного уравнения имеет вид

у = ctx + cjx.

Найдем частное решение неоднородного уравнения методом вариации постоянных:

у = Ciix)x + с2(х)/х.

На функции сх{х), сг{х) налагается условие схх+ с2/х**0. Тогда

у' = сг — сг1х*3 у" - (с[ - с'2/х*) + 2 с2?х\

Подставим у, у'% у" в уравнение; при этом заранее известно, что слагаемые, содержащие сх и с2, исчезнут. Получаем уравнение

192	ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ		[ГЛ. 3
Из полученных двух уравнений для		си с%находим
так что частное решение равно
	X
	т
	*0	0

Всякое решение уравнения имеет вид

у .» схх + - + yQ (х).

Пример 2. Решим уравнение

х>0.

Как и в предыдущем примере, решение однородного уравнения будем искать в виде у « # \ Тогда для К получим уравнение К2+ 1 *•» 0, так что kif г в =Ьг, и фундаментальная система решений имеет вид

Наймем вещественные решения. По определению (гл. 1, § 5, замечание),

х{ ж* е*1п *«и cos In x + i sin In x9

и однородное уравнение имеет .фундаментальную систему решений

ух — cos In x% уг •• sin In х.

Для отыскания частного решения воспользуемся форму* лой (16). Вронскиан w решений ffr, уг равен 1/х%

УЛ*) Vi(*)	sin In	X

так что частное решение равно

х

Всякое решение уравнения имеет вид

у =» Сх cosIn x ± сг sin 1д^ +

g 7]	ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ n-ГО ПОРЯДКА			193
Пример 3. Решим уравнение
Однородное уравнение (г2у')'=0			имеет фундаменталь-
ную	систему решений yt = 1, у2		= 1/г. Частное	решение
возьмем в виде
	У = сх{г)	+ Т	с2{г);
тогда получим
	с[ + 4-^ = 0,	c2 = -rV(r).

Следовательно, все решения даются формулой

гг

j, =Cl + ^ г - JP 3 /(p)dp- -f JpV (P) dp.

r o r o

Данное уравнение можно существенно уиростить с

помощью классической подстановки
		y = z/r.			(18)
Тогда получим
dr	dr	dr ч	;	'
и уравнение примет вид
Применим подстановку (18) к уравнению
™	^ «		-<»+!) д _ о .		(19)

dr2

r dr

2

v

7

r

которое можно записать в виде

± ± г2 ^ _ * ( * + * ) D_ п

		r 2 dr Г	dr	Г2	Л "~ и *
Полагая R = 2/г, получаем уравнение Эйлера
				1)2 = 0.
Возьмем	z	в виде	г*';	определяющее уравнение		есть
К(к— 1) —п(п + 1) = 0,				так что	его корни равны	КГ =
= /1+1,	Л2	= — тг. Следовательно, всякое решение				урав-
нения (19) имеет вид

Жг) = cArn

194 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ {ГЛ 3

П р и м е р 4. Рассмотрим уравнение

(20)

где со> 0 — постоянная, функция fit) Ф const непрерывна

при — оо<£<оо. Выясним, при каких

условиях

уравне-

ние имеет периодическое решение.

Пусть

имеется

периодическое

решение

с периодом

Г > 0 . Тогда / U + D = /U), так что /Ш — периодическая

функция.

Пусть

То > 0 — наименьший

положительный

период функции fit), тогда Т = пГ0,

где п > 0 —целое

число.

Итак,

пусть

fit) —периодическая

функция

с(наи-

меньшим)

периодом То

> 0. Выясним, при каких

усло-

виях на функцию fit)

уравнение

(20) имеет решение с

периодом Г, где, как показано выше,

Т = пТ0. Решим

уравнение (20). Однородное уравнение имеет линейно

независимые

решения

ХГ = cosсо£, x2

= sin ®t, их врон-

скиан равен

со, и

по формуле

(26) находим

все ре-

шения:

x(t)

=*Cicosco£ + c2 sin co£ +

xQ(t),

(21)

t

xow e

4"I / w s i n ш (*—т)dx-

0

Пусть решение x(t)

имеет период Г > 0 ; тогда

x(t+T)=*x(t)

(22)

при всех t. Преобразуем интеграл xo(t+T),

сделав

заме-

ну переменной

% = и+Т. Учитывая,

что f(t+ T)

=f(t),

получаем

t-YT

(ox0 (t + т) == J

sinсо{t + Т — т)/ (т) dx =

о

t

J sin со (t — и)/ (u)cfo = соо:0 (^) +

-т

о

+ J sin со(t — w) / {a)du.

§ 7]

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ n-ГО ПОРЯДКА

195

В последнем определенном интеграле заменим переменную интегрирования и на т. Тогда получим

xit + Г) - хШ = A cos at + В sin со*,

о

А = сг (cos со Г — 1) + с2 sin со Г — — J / (т) sin сот й%%

-т

(23)

В = — ^ sin со Г + ^2 (c o s юГ — 1) + — J / ( т ) c o s ®т ^т«

Так как тождество (22) выполняется при всех t и функции cos со£, sin cof линейно независимы, то

4=0, 5 = 0. (24)

Разрешимость этой системы есть необходимое и достаточное условие существования Г-периодического решения. Определитель А(Т) системы (24) равен

д(Г) = (1 - cos соЛ 2 + sin2 co7\

Возможны следующие варианты.

1. Т ф-~-% где п Ф 0 — целое число. Тогда Д(Г)>0?

и уравнение (20) имеет единственное Г-периодическое решение. Оно дается формулой (21), где с4, с2 определяются из системы (25).

Уравнение (20) описывает колебания механической системы с частотой собственных колебаний со, находящейся под воздействием внешней Г-периодической силы. Период Го собственных колебаний системы равен Го— *=2л/со. Приведенное выше условие на fit) означает, что отношение периодов Го/Г — иррациональное число, т. е. эти периоды несоизмеримы. В этом случае имеется ровно одно периодическое решение, все остальные будут почти периодическими функциями.

2. Г = 2ягс/со, где п¥=0. В этом случае период собственных колебаний Го системы и период внешней силы Г соизмеримы.

Так как coscor = l, sincor = 0, то в системе (25) все коэффициенты при неизвестных си с2 равны нулю, в силу (24). Поэтому система (25) разрешима тогда и только

196 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ [ГЛ.3

тогда, когда выполняются соотношения

о	о
ап = j / (т) cosсот di = 0л	Ъп = j / (т) sin сот=О,
2 ЯП	271П
	(26)

т. е. функция fit) ортогональна к функциям coscof, sin co£ на отрезке I—2пп/со, 0]. Так как Тп = 2л/г/ю — период решений однородного уравнения, то все решения уравнения (20) периодичны с периодом Тп.

Если же хотя бы одно из ап, Ъп отлично от нуля, то уравнение (20) не имеет решений с периодом Тп. Более того, в этом случае все решения уравнения (20) неограничены, т. е. имеется явление резонанса. Действительно, из формулы (23) следует, что

а„ 2пп Ьп 2пп

( t y	) ( t ) ^ * £ i *
NT)	- х0 (t + (N -1) t) = ^-cos =^ t - bf sin^ t.

Складывая эти тождества, получаем

х0 {t + NT) = х0 {t) + — Ian cos— t — Ъп sin -у-

Если ап т^0, то положим t == 0; тогда получим

Если Ьп¥=0, то положим ^==пГ/4; тогда

Поэтому решение xoit) неограничено, и так как все решения однородного уравнения ограничены, то все решения уравнения (20) неограничены.

§8. Понижение порядка линейных

инелинейных дифференциальных уравнений

1°. Если известно нетривиальное решение однородного линейного дифференциального уравнения, то его порядок можно понизить на единицу.

§ 8J	ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА УРАВНЕНИЙ	197
Рассмотрим уравнение
	1/(*> + at(x)yin'i} + . . . + ап(х)у = О	(IT
и пусть	у^х)Ф§ — его частное решение. Сделаем	под-
становку	y{z)~yt(x)z(x),	(2)

где z(x) — новая неизвестная функция. Рассматривается интервал, на котором у{(х)¥=0. После подстановки получится однородное линейное дифференциальное уравнение порядка п относительно неизвестной функции z. Вычислим коэффициент при z. Так как

= j/i*° (x) z [x) + (производные от z то искомый коэффициент равен

уТ' + а^уТ"1' + ... + М * ) У 1 - 0 .

Следовательно, уравнение для z(x) имеет вид

и подстановка z' = iv превращает это уравнение в уравнение порядка п — 1.

Если п = 2 и частное решение известно, то уравнение (1) интегрируется, так как оно сводится к линейному дифференциальному уравнению первого порядка.

2°. Если известно частное решение однородной ли-

нейной системы
пз п уравнений, то	ее можно	свести	к системе из
(п — 1)-го уравнения. Пусть у°(х)-~ это			решение и, для
определенности у\ (х) Ф 0. Положим
Ух {*) =-У\{*) Н W»
У2{х) ^	y\{x)z1{z)	+ z^{x)f
Уп \Х) ^	Уп \%) zi \Е) "Г zn \X)i

тогда получил! систему

198 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ !ГЛ. 3

Эта система имеет решение zSx) =з1, z2ix) — . •.= zn(x) &*
^ 0 , а потому первый столбец матрицы В(х)				тождествен-
но равен нулю. Поэтому система имеет вид
п
Zh = 2 Ъиэ(x)Zj%		/*• = !,	. . ., П,
так что в правых частях	нет функции zla Отбросив пер-
вое уравнение, получаем	систему из		(п — 1)	уравнений
с (и —1)-й неизвестной функцией z2,			..., zn.	Если реше-
ние этой системы известно, то функция zx находится из
уравнения
	h
Z\ =	^j btf	(x) Zj.

3е . Однородное линейное дифференциальное уравнение порядка п можно свести к уравнению порядка п—1 (но уже нелинейному) с помощью подстановки

		7 = ».				(3)
Имеем
			(и/ + ц>г )'Ь,...,
так что все производные имеют				вид	y{k)=Ph(w,	w\ ...
..*,	10{К~г))у) где Рк — многочлен			от	своих аргументов.
Подставляя в (1), получаем			уравнение		(и — 1)-го порядка
	fix,	w% w't...,	u ; ( r i - 1 ) ) - 0 ,
где	/ — многочлен	от w, w\	...,	u;(n-1J с коэффициента-

ми, зависящими от х. В частности, линейное уравнение второго порядка

O

(4)

с помощью подстановки (3) сводится к уравнению Риккати

w* + plx)w + wz + qix) =0.

(6)

4е. Если уравнение не содержит либо у, либо х, то его порядок можно понизить на единицу. Рассмотрим уравнение

' '

)

§ ЪУ	ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА		УРАЕНЕНИЙ	199
не содержащее у. Введя		новую	неизвестною	функцию
р = у\	получим уравнение порядка п — 1:
Пусть уравнение не содержит явно х:
	F(y,y'	0<»>)-O.		(7)

Снова введем неизвестную функцию р = у'. Имеем

и т. д. Подставляя в (7), получим уравнение

порядка п~ 1.
5°. О д н о р о д н ы е	у р а в н е н и я .		Рассмотрим	урав-
нение
/Сг, у,	»'	J/(n)) = 0,		(8)
однородное относительно г/, у\		..., i/(n), т. е.
/(*, «У, *»', ...,	tyW) = Ff(x, у,		у\ ..., уп)	(9)
при всех ^> 0. С помощью подстановки

порядок этого уравнения можно понизить на единицу. Действительно,

так что yw = e*Ph(z\ ..., z{h)), где Ph — многочлен от своих аргументов. После подстановки в уравнение (8) можно вынести за знак функции / множитель е* и сократить на него. Полученное уравнение не содержит функции z и с помощью подстановки ъ = w приводится

куравнению порядка п— 1 — см. 4°.

Вчастности, уравнение второго порядка, вида

Р(У, У', J/") = 0,

(10)

где Р — однородный многочлен от своих аргументов, после этих подстановок приводится к виду

200	ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ					{ГЛ. 3
и интегрируется явно, если w'				можно выразить через w:
w' = q>(w).	Отметим	один	класс		частных	решений
уравнения	(10): это	решения		вида	у — Се*1*. Здесь С —
произвольная постоянная,			а	К— корень		уравнения

рилг)о
Пусть уравнение (8) однородно относительно х и dx,
т. е.
(			\	i dy	d
Сделаем подстановку х = e\			тогда
^ " "	Л ' dz2~	dt\dt		1)У"-
	dhy	ht	d

Подставляя в уравнение (8) и учитьюая (11), получаем уравнение, не содержащее независимой переменной t, порядок которого можно понизить на единицу — см. 4°.

Пусть уравнение (8) однородно относительно я, у и dx, dy, d2y, ..., т. е.

Яу, / , у", ..., ^ » > ) - Я в М У, I/', 1Л .... »(п))- (12)

Введем новую независимую переменную и новую неизвестную функцию:

х = е13 у = efz.

Тогда получим

и после подстановки в (8) получим уравнение, пе содержащее независимой переменной; далее см. 4°.

Рассмотрим уравнение (8) такое, что

/(Л*, К«у, Г - У , . . , у<п))=Ха№, Уг У', ..., J/(n)). (13)

Введем новую независимую переменную и новую неизвестную функцию:

х=-е\ y = zent;

тогда получим