2 курс / Дифференциальные уравнения / Федорюк М., Обыкновенные дифф.уравнения, 1985

§ 9]	ДВУМЕРНЫЕ АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ			301
Из данных Коши находим
х = е~ы(и + а) (coswot + —			sin wot\ — а,	у = x
при 0 ^ t ^ я/(оо = h. При t>		t0	траектория попадет в по-
луплоскость	у > 0, так что	U,	у) удовлетворяют систе-

ме (5), и

х = е~6ЧСз cos wot + С4 sin G)0J)+ П.

Из данных Коши sU0) = -е-я6/а>° (w + a) - а, г/(^0) = 0 находим

= е	(^ (^о) — а) (c o s ^о^ + 77"s i n ^o*) + а'

При f = 2я/о)0 траектория		пересекает		ось	ж в точке
(х(и>,.0),
-2яб/соо		, Л	-яб/со0\2
X(и) = е	"и+ [1 —е			UJ a.	(7)

Тем,самым функция последоваыия построена. Уравнение х(и) = и имеет едийственное решение:

которому отвечает предельный цикл. Нетрудно проверить, что %'Ыо) < 1, т. е. имеет место случай (рис. 34, а) и предельный цикл устойчив.

П р и м е р 2. Движение часового маятника описывается уравнением

	),	(8)
где 0 = 0U) — угол отклонения	маятника	от вертикали,
/, ft, m, g, I — положительные	постоянные. Далее, М —

момент, действующий на маятник со стороны анкера (рычага). Эта функция нелинейна и удовлетворяет условиям [21]:

•

1.Знак М совпадает со знаком 9.

2.Функция М заметно отлична от нуля только при 6, блдэких к вулюЕ

Это означает, что анкерный механизм подталкивает маятник в направлении его движения только тогда, когда маятник проходит через вертикальное положение 8 = 0.

Простейшая функция, удовлетворяющая условиям 1, 2,

есть ЛШКб), где М > 0 — постоянная, 6(0) есть дельтафункция и уравнение (8) можно записать в виде

х + 26х + ъгх — А хб(х),

(9)

где х = 6, со, А — положительные постоянные. Будем, как

и в примере 1, считать,	что-to > б. При х¥=0	уравне-
ние (9) — линейное
i	2 * = O	(10)

и в каждой из полуплоскостей х > 0, х < 0 траектория состоит из полувитков спиралей. Если траектория при t = t0 пересекает ось х ~ 0, то необходимо поставить дополнительные условия на решение. Одно из них очевидно — непрерывность траектории: x(t0 —0) = x(tQ + 0) = 0. Чтобы найти второе, проинтегрируем обе части уравне-

ния (9) по интервалу (to	—i9 £0 + т), где т > С достаточно
мало (такой прием уже	применялся в гл. 3, § 12), тогда
получим

f	J	6(x{t))x(t)dt
				« A sgn [а;(^0		+ т) — х {t0			— т)].
Функция sgn		возникает по той			причине,		что		если
x(to + x) >xTto	—x),		то	интегрирование		по	dx	произ-
водится в положительном направлении, если							x(t0	+ т) <
< x(t0 —т) — то		в	отрицательном. Переходя				к	пределу
при т -> +0, получаем
kt0 + 0) - kh			- 0) = A sgn Ыи + 0) - kt0				--0)1,
так как я(£0 + т) —x(t0				—т) ^ 2x(i(f0	+ 0) —x(t0		— 0))			при
т -+• +0. Нетрудно видеть, что знвки						скоростей			x{t0	=fc0)
совпадают, так что

kt9 + 0) - kt0 - 0) - 4 sgn iU9 - 0).

(11)

§ 9]

ДВУМЕРНЫЕ АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ

303

Построим функцию последования. Положим х = у и пусть начальная точка лежит на оси у: (#(0), у{0)) = = (0, и), и>0. Решая уравнение (10) с этими данными Копти* получаем

/у» — ^ ._«—. О	G1T1 fi\ Т	I I ^^ Т ^Z^ — — 1 ——- Г
•С' ~"~" *^"""~ (;	O1JJL \AJnV *	\J ^ ^ ^ I» ^ ^ ^ — — 1 ___ С'л,
%		О

причем точка движется по часовой стрелке и х {t0 — 0) =

*= —- ие °. Из (11) находим х {t0 + 0) = — ие ° —

— А01 так что ц -> щ а —иР—Л, Р = ехр {—лб/(оо}

за половину оборота. Точно так же получаем, что

Ui-+U2==u±p	+ A
за время t0 ^ t < 2^0-, и потому
х{и)-е-яЛ/ш'(е-'Л/шЪ	+ А) + А.	(12)
Уравнение х(^) ~ и имеет единственное решение
А
Нетрудно видеть, что х'^о) < 1, так что этому		значе-

нию щ отвечает устойчивый предельный цикл (рис. 36).

Качественно возникновение предель-
ного цикла можно пояснить так. На-
личие трения (члена 26i, 6>0 ) при-
водит к^ тому, что если				точка начина-
ет	движение	из положения (и, 0), то
она	пересечет	ось х = 0		(при t =£0),
имея меньшую по абсолютной величи-
не скорость. Но в момент времени
J^Jo происходит			толчок: скорость по-
лучает конечное приращение направле-
ние которого совпадает с направлени-					Рис. 36.
ем	скорости. Эта		борьба	между тре-
нием и толчками			приводит к установлению предельного
периодического режима;				наличие трения	обусловливает

его устойчивость. Такого рода предельные циклы имеются во многих физических задачах (см. [3, 4, 21, 41]).

Периодические решения дишь в редких случаях удается найти в явном виде. Для их построения развиты различные приближенные методы; одни из основных — это методы Пуанкаре и Ляпунова.

ГЛАВА 5

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

ПЕРВОГО ПОРЯДКА

В предыдущих главах рассматривались дифференциальные уравнения относительно неизвестной функции (или вектор-функции), которая зависит только от одной переменной. Пусть неизвестная функция зависит от двух

или более переменных: и = u(xh	..., хп). Уравнение вида
ди	ди

называется уравнением с частными производными первого порядка. Интегрирование таких уравнений сводится к интегрированию систем обыкновенных дифференциальных уравнений — это будет показано в данной главе.

§ 1. Некоторые задачи, приводящие к уравнениям 1-го порядка с частными производными

1. Уравнения поверхностей. Рассмотрим в трехмерном пространстве поверхность £, образованную вращением около оси z кривой Y» расположенной в плоскости х, z. Уравнение этой поверхности имеет вид

2 ). (1)

Функцию ф будем предполагать достаточно гладкой. Продифференцируем уравнение (1) по х, у:

откуда находим соотношение dz dz

Мы получили уравнение с частными производными 1-го порядка относительно неизвестной функции z(x, у). График решения — поверхность z ==z(x, у) в пространстве (#, г/, z) называется интегральной поверхностью уравнен

§ i] ПРИМЕРЫ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 305

ния (2). Это уравнение выражает геометрическое свойство поверхностей вращения: сечение такой поверхности плоскостью z = const есть окружность с центром в начале координат. Действительно, рассмотрим кривую I: z(x, у) = = z0 на плоскости z = z0. Если точка (я, у, zo)<=l, то век-

XJ	( dz	&z\		.	v
тор \z =*-\—, — 1 ортогонален к вектору					(уг —я?), а пото-
му коллинеарен вектору (х, у).			Вектор	Vz	направлен по
нормали	к	кривой I в точке	(х, у),	так как I — линия

уровня функции z(x, у). Следовательно, нормаль к кривой I в любой ее точке направлена по радиусу-вектору (#, у),

а потому I есть окружность с центром в точке (0, 0).

В § 2 будет показано, что любая интегральная поверхность уравнения (2) есть поверхность вращения с осью z, так что все такие поверхности полностью описываются уравнением с частными производными (2). Таким образом, всякое решение уравнения (2) дается формулой (1), где ф— произвольная функция. Семейство решений уравнения (2) зависит от произвольной функции. Это утверждение справедливо для всех уравнений с частными производными первого порядка.

Задача . Доказать, что если z = z(х, у) —уравнение поверхности вращения, ось которой направлена вдоль прямой х = at, у = bt%s = c£, то функция ъ удовлетворяет уравнению

dz	dz	(3)
(су—bz)-7^-\- {az~cx)-j^ = bx —ay.

В § 2 будут рассмотрены уравнения с частными производными первого порядка, описывающие цилиндрические и конические поверхности.

2, Другие примеры. Рассмотрим функцию вида

»(*,*)=/(*-с*).	(4)
Здесь с — постоянная, х — пространственная	координата,

t — время. График функции и в момент времени t полу-

чается из графика этой функции в		начальный момент
t == 0 сдвигом на расстояние ct	вдоль	оси х.	Функция и
есть волна, бегущая вдоль оси х	со скоростью		с. Так как

— = — cf , — = / дто функция и удовлетворяет уравнению с частными производными

on _. _ _

306	УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ	[ГЛ. 5
В § 4 будет показано, что все решения этого		уравнения
имеют вид (4).
В	§ 4 гл. 4 было показано, что всякий первый инте-
грал	и(х) системы -gj-=» /(#)из п уравнений	удовлетво-

ряет уравнению с частными производными первого порядка

g<*>'-Ej--O. (6)

Важнейшие примеры уравнений с частными производными 1-го порядка — это уравнеция классической механики и геометрической оптики [31]; см. также § 5.

3. Классификация уравнений с частными производны-

ми 1-го порядка. Уравнение называется линейным, если неизвестная функция и(х) и все ее частные производные входят в уравнение линейно. Общий вид линейного уравнения с частными производными 1-го порядка следующий:

(7)

Уравнения (2), (3), (5), (6) — линейные. Уравнение 1-го порядка называется квазилинейным, если частные производные функции и(х) входят в уравнение линейно. Общий вид квазилинейного уравнения с частными производными первого порядка следующий:

Пример: уравнение Хопфа

— л- ди — о

где u*=u(t, x).

Уравнение, которое не является квазилинейным, называется нелинейным. Пример: уравнение эйконала

где S = Six, у) — неизвестная функция.

§ 2]

ИНТЕГРИРОВАНИЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

307

§ 2. Интегрирование линейных

иквазилинейных уравнений

1.Первые интегралы. Рассмотрим автономную систему из п уравнений

	§ =/(*)•	а)
П р е д п о л о ж е н и е . Вектор-функция		/{х) непрерыв-
но дифференцируема в некоторой области		D cz i?£.
В теореме	1 из § 4, гл. 4 доказано, что гладкая функ-
ция и(хи ...,	хп) тогда и только тогда является первым

интегралом системы (1), когда и удовлетворяет уравнению

счастными производными первого порядка

вобласти D. Следовательно, интегрирование уравнения

(1) сводится к отысканию всех первых интегралов системы

(2). Так как" всякое решение уравнения (2) есть первый интеграл системы (1), то из теоремы 2, § 4, гл. 4 вытекает

Т е о р е м а		1. Пусть U — достаточно		малая окрест-
ность точпи а,		которая не	является положением равно-
весия системы (1). Тогда в			области U всякое решение
уравнения	(2) имеет вид
Здесь щ(х),	..., Un-tix) — независимые первые интегралы
системы (1), a F — произвольная {гладкая)				функция.

Тем самым задача об интегрирования уравнения с частными производными (2) сведена к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений (1).

Система (1) называется характеристической для уравнения (2), а ее фазовые траектории называются характеристиками уравнения (2). Связь между характеристиками и интегральными поверхностями особенно проста в случае двух независимых "переменных (х, у): пересечение плоскости z = const с интегральной поверхностью z = z(x, у) есть характеристика. Это следуем из постоянства первого интеграла вдоль характеристики.

П р и м е р 1. ^ ~	ж 7 : а ' ' '	г д е z = = = z ^> у) —неиз-
вестная функция.	Уравнения	характеристик удобно

308

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

[ГЛ. 5

записать, исключив dty в следующей форме:

Следовательно, характеристики — окружности х2 + у2 = С, первый интеграл и = хг + у2, и всякое решение уравнения имеет вид

Интегральные поверхности — поверхности вращения с осью z.

П р и м е р 2*-^-+с — =0.Уравнения характеристик:

•jrr =с%х —с£ = const (параллельные прямые), первый интеграл: u = x — ct, всякое решение имеет вид

Интегральная поверхность — цилиндрическая, образующие параллельны вектору (1, с, 0).

П р и м е р 3. х -—• + у ^ - = 0. Если область D, в которой рассматривается уравнение, содержит начало координат, то единственными интегральными поверхностями являются плоскости z = const (см. замечание 2). Пусть

(0, 0) Ф D, тогда и = у/х — первый	интеграл, решение
имеет вид
z = F(
Это уравнение можно записать в	виде 2 = Ф(ф), где

(г, ср)—^полярные координаты на плоскости х, у. Покажем, что все интегральные поверхности — коноиды. Коноидом называется поверхность, образованная прямыми (образующими), которые параллельны заданной плоскости (направляющей) и пересекают неподвижную прямую и неподвижную кривую (направляющие коноида). Точка пересечения направляющих прямой и плоскости называется вершиной коноида. Направляющей плоскостью поверхности г = Ф(ф) служит плоскость ху, направляющей прямой — ось z. В качестве направляющей кривой можно взять, например, кривую, заданную уравнениями

2J ИНТЕГРИРОВАНИЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Пример 4. 2^j"^~-= 0

рактеристик: -яг—я \а— вектор с компонентами аи ..., ап), характеристики —параллельные прямые с направляющим вектором а. Выберем в Rn ортогональный базис извекто-

ров (а, &!,..., &n-i), тогда функции	Uj (х) = (6j, x) —
первые интегралы, так как (6j, а) = 0.	Всякое решение
имеет вид

Ц (Я) = /?((&,, Я), ...,(&*-!,*)).

2, Квазилинейные уравнения. Рассмотрим квазилинейное уравнение (см. § 1)

и покажем, что его интегрирование сводится к отысканию первых интегралов характеристической системы

J	ах {х, и), ...,-^-	= ап{х,и)^==Ъ (х, и).		(4)
П р е д п о л о ж е н и е .		Функции	aj(x, и),
Ъ(х, и) непрерывно дифференцируемы в области D с=
и (fli, ..., ап) Ф (0, ..., 0) в этой области.
Будем	искать функцию w(xu ..., хП1 и) такую, что
если и (х) —решение уравнения (3), то
	w{xu ..., хщ	uixij ..., хп)) ^ 0.		(5)
Из этого тождества находим
	ди __	dw I dw
	1x7	Ixj /~ди
и, подставляя в уравнение (5),получаем
	(х,и)-^-	+ Ъ(х,и)^	= 0.	(6)

Уравнение (7) имеет тот же вид, что и уравнение (2), и потому всякое его решение есть функция от независимых первых интегралов иг {х, и), ... , vn (x, и) системы (4). Следовательно, всякое решение уравнения (3) определяемся

310	УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ		[ГЛ. 5
из уравнения
	F(иг{хги\ .otVnfaи))	= 0f	(7)

где F — некоторая (гладкая) функция.

П р и м е р 5. -zr+ и-0-£-= 0(уравнение Хопфа). Характеристическая системам

	,.	dx		du
	at	•»— =в —-f
			и	0 f
первые интегралы г4	в к, г3		в	д? — tu. Всякое решение за-
дается уравнением
F(u, z-~tu)— 0.

Бели это уравнение можно разрешить относительно к, то u~f(x-tu). (8)

Этот пример будет подробно проанализирован ? § 4. 3. Характеристики и интегральные поверхности. Укажем связь между характеристиками и интегральными кривыми уравнения (5), на примере уравнения с двумя неза-

висимыми переменными

^ l y 1 z ) ^ + b{x1y1z)^^c{x1y1z).	(9)
Коэффициенты уравнения (9) задают в пространстве	Л3
векторное поле
I (Р) - (а (Р)% Ъ (Р)х с (Р)); Р - fe yx z).

Если точка Р лежит на интегральной поверхности S: z== « z(x, у), то вектор

дх 1 ду А

направлен по нормали к поверхности S в точке Р. Уравнение (9) можно записать в виде

(п(/>),!(*))-О, (Ю)

т. е. векторы л (Я), I (P)ортогональны. Итак:

1°. Вектор 1(Р) лежит в касательной плоскости к интегральной поверхности.

Очевидно, верно и обратное.