Задача 20

Квадратное отверстие размером а × а в вертикальной стенке резервуара закрыто плоским щитом, который прижимается к стенке грузом G на рычаге длиной l. Найти минимальную величину груза G достаточную для удержания жидкости плотностью ρ в резервуаре на уровне H если расстояние от верхней кромки отверстия до оси шарнира h.

Пара­метры	Варианты
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
H м	2,0	2,5	3,0	2,5	2,8	2,6	2,45	3,5	3,2	3,6
а м	0,6	0,5	0,7	0,6	0,5	1,4	0,7	0,6	0,9	0,75
l м	0,6	0,4	0,6	0,8	0,5	0,9	0,6	0,4	0,7	0,55
ρ кг/м^3	850	900	1100	1000	1150	800	1050	950	1000	1250
h м	0,3	0,22	0,25	0,27	0,35	0,4	0,37	0,32	0,42	0,45

3 Силы давления покоящейся жидкости на криволинейные по­верхности. Плавание тел.

Если мы при определении сил полного гидростатического давления, действующего на плоские фигуры, по существу производим простое сложе­ние параллельных сил, то при решении аналогичной задачи для криволиней­ных поверхностей, приходится производить сложение сил гидростатического давления, имеющих различное направление. Это обстоятельство значительно усложняет задачу, требует применения специальных расчетных приемов. Принцип, положенный в основу существующих решений, заключается в оп­ределении составляющих силы суммарного гидростатического давления по нескольким направлениям, не лежащих в одной плоскости, с последующим геометрическим сложением этих частных сил. Результат сложения дает вели­чину полной силы давления жидкости на криволинейную поверхность, как по величине, так и по направлению (рисунок 3.1). Одновременно графиче­ским путем находится и центр давления для криволинейной поверхности.

Главный вектор определяется по трем составляющим (обычно по вер­тикальной и двум взаимно перпендикулярным горизонтальным составляю­щим), главный момент - по сумме моментов этих составляющих.

Рисунок 3.1

Горизонтальная составляющая силы давления, воспринимаемой криво­линейной стенкой, равна силе давления на вертикальную проекцию этой стенки, нормальную к плоскости симметрии, и определяется по формуле:

P₂ = ρ g h_c F_b (3.1)

где h_c - расстояние по вертикали от центра тяжести вертикальной проек­ции стенки до пьезометрической плоскости 0 — 0;

F_b - площадь вертикальной проекции стенки;

ρ - плотность жидкости;

g - ускорение свободного падения.

Линия действия силы Р_Г, проходя через центр давления вертикальной проекции стенки, лежит в плоскости симметрии и смещена (вниз, если h_С>0, или вверх, если h_С<0) относительно центра тяжести вертикальной проекции на расстояние

(3.2)

где J_С - момент инерции площади вертикальной проекции относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести проекции.

Вертикальная составляющая силы давления, воспринимаемая криволи­нейной стенкой, равна весу жидкости в объеме V_b, который ограничен стен­кой, пьезометрической плоскостью и вертикальной проектирующей поверх­ностью, построенной на контуре стенки (объем V_b иногда называется «Телом давления»).

(3.3)

Сила Р_b проходит через центр тяжести объема V_b и направлена вниз, если объем строится со смоченной стороны стенки, сила Р_b направлена вверх.

Предполагается, что жидкость находится с одной стороны стенки и что с несмоченной стороны действует атмосферное давление. Полная сила дав­ления на стенку представляет геометрическую сумму сил Р_Г и Р_b равна:

(3.4)

Линия действия силы Р проходит через точку пересечения линий дей­ствия сил P_Г. и Р_b

Угол φ наклона равнодействующей к горизонту определяется из формулы:

(3.5)

В ряде задач силу давления на криволинейную стенку удобнее нахо­дить по ее составляющим вдоль наклонных осей (рисунок 3.2).

Сила давления жидкости на стенку по любому заданному направлению S равна:

P_S = G_S cosα = ρ g V_S cosα, (3.6)

где G_S - вес жидкости в объеме V_S, ограниченном стенкой, пьезометриче­ской плоскостью и проектирующей поверхностью, параллельной заданному направлению; α - угол между заданным направлением и вертикалью.

Линия действия силы Р_S проходит через центр тяжести в объеме V_S.

Результирующая сила давления жидкости на погруженное в нее тело (архимедова сила) направлена вертикально вверх и равна весу жидкости в объеме V, вытесненного телом:

Рисунок 3.2 (3.7)

Сила P_Z проходит через центр тяжести вытесненного объема жидкости (центр водоизмещения).

При равновесии плавающего те­ла его центр тяжести и центр водоизмещения находятся на общей вертикали (ось плавания).

Для устойчивого равновесия тела, плавающего в погруженном состоя­нии (подводное состояние) необходимо, чтобы центр тяжести тела (точка С) лежал ниже центра водоизмещения (точка В₁ рисунок 3.3).

Рисунок 3.3

При плавании тела на поверхности (надводное плавание) это условие необязательно.

Необходимым условием плавания тела является выполнение соотношения: G ≤P_Z.

Так как G = m g = ρ_T V g, а P_Z = ρ g V, то ρ_Т < ρ_ж

Значит, тело плавает, если ρ_Т < ρ_ж

где ρ_Т - плотность материала тела;

ρ_ж - плотность жидкости.

Тело тонет, если ρ_Т > ρ_ж, и в случае, когда ρ_Т = ρ_ж, тело находится в по­лузатопленном состоянии.

Пример 5.

Определить отрывающее и содвигающее усилия и полную силу давле­ния жидкости на полусферическую крышку (рисунок 3.4) радиуса R, если за­даны пьезометрический напор воды Н над центром крышки и угол α наклона стенки бака к горизонту.

Рисунки 3.4 и 3.5

Воспользуемся приведенной выше формулой для определения силы давления жидкости на стенку по заданному направлению. Отрывающее уси­лие Р_n нормальное к стенке бака, составляет угол а с вертикалью и опреде­ляется как

Р_n = ρ g V_n cos а, (3.7)

где V_n - объем, показанный в разрезе на рисунке 3.5 заштрихованной площадью abcdea;

(3.8)

Следовательно,

(3.9)

где V_t - объем жидкости abed, представляющий разность объемов befg и abgf для участков полусферы be и ab и равный ее объему:

. (3.11)

Следовательно

. (3.12)

Отметим, что сдвигающая сила не зависит от величины напора в баке.

Имея две взаимно перпендикулярные составляющие Р_n и Р_b находим полную силу давления, проходящую в данном случае через центр полусфе­ры:

. (3.13)

Пример 6.

Вертикальный цилиндрический резервуар заполнен водой, находящийся под избыточным давлением Р = 0,5 атм (4,9 Н/см²) (рисунок 3.6). Определить силу Р₁, открывающую верхнее днище от цилиндрической части и силу Р₂, разрывающую цилиндрическую часть резервуара по образующей, если диаметр резервуара D = 2 м, высота его Н = 4 м.

Для верхнего днища имеем эпюру давления abcd и силу давления

Рисунок 3.6

Сила Р₂, разрывающая резервуар по образующим цилиндра, равняется силе давления на плоскую стенку площадью S = H D.

Здесь h = 5 м, расстояние до пьезометрической поверхности.