Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике (1975)

50.10. Какую минимальную скорость v2 нужно сообщить космическому аппарату на поверхности планеты, чтобы он удалился в бесконечность?

Ответ:	vz = У2	^	— вторая	космическая	скорость ( ^ — первая
космическая	скорость).
50.11. Определить		вторую космическую скорость для Земли, Луны,
Венеры, Марса и Юпитера.
Ответ:
		1	t>j (км/сек)		i>2 (км/сек)
	Земля . .		11,2	Марс . . .	5,0
	Луна . . .		2,37	Юпитер . .	60,2
	Венера . .		10,3

50.12. Точка движется под действием центральной силы. Считая, что модуль радиус-вектора г точки зависит от времени t сложным образом через полярный угол ф, определить скорость и ускорение точки *).

Ответ: « W [и« +(-J--)1]; «, =0, « v = ± c W ( g + a)f

где и = — , с = г2ф = | г X v | = const — удвоенная секторная скорость; знак плюс для силы отталкивания, знак минус —для силы

притяжения.

50.13 (751). Точка массы т движется под действием центральной силы по коническому сечению, уравнение которого в полярных координатах имеет вид

Р

г = 1+е cosq)'

где р и е — параметр и эксцентриситет траектории.

чОпределить силу, под действием которой движется точка.

Ответ:		Fq> = 0,		Fr = — тц/r2, где \i = c2/p и с —удвоенная сек-
торная скорость.
50.14. Точка массы т притягивается к неподвижному полюсу по
закону	всемирного			тяготения F=m[x/r2.	Найти траекторию движе-
ния точки.
Ответ: Кривая второго порядка (коническое сечение), уравнение
которой	в полярных			координатах имеет	вид
				/• = ' •;1+е cos (<р —е) '
где р =	с2/ц,	а е	и е —произвольные постоянные интегрирования.
л У к а з а н и е .			Воспользоваться ответом к задаче 50.12.

*) Здесь и в дальнейшем предполагается, что полюс полярной системы координат совпадает с центром притяжения (отталкивания).

391

50.15. Материальная точка движется поддействием силы всемирного тяготения по эллиптической траектории, эксцентриситет которой е < 1 . а параметр р. Зная интеграл площадей с= гг $ — 1 г х я | , определить полуоси а и b эллиптической траектории и период обращения Т.

Ответ: а — —-— b-

р-

HVi

50.16.В условиях предыдущей задачи определить ускорение точки

вмоменты, когда она проходит апогей и перигей.

Ответ: w3 = -3 О —е)2> wn — ~з О "Ь €Т-

50.17. Зная период обращения Т спутника вокруг Земли поэллиптической орбите и разность его апогея и перигея Н, определить эксцентриситет орбиты.

Omeeffi: е — Н 1/Я-^Г.

50.18. Спутник движется около планеты радиуса R поэллиптической орбите с эксцентриситетом е. Найти большую полуось его орбиты, если отношение высот перигея и апогея равно 7 < 1 .

Ответ:

а = 5

'

:—г R-

50.19. Точка

1 - 1-е

(1+1)

движется под действием

силы всемирного

тяготения

/^= /яр./га.

Выразить

постоянную энергии

h (см. задачу

50.7)

через

элементы

траектории

точки и грави-

Вершшышчесного

тационный

параметр ц.

Ответ:

h — — \х/а

для

эллип-

тической

траектории

(а—большая

•полуось

эллипса),

/г — 0

для

пара-

болической

траектории

и

h — p/a

для гиперболической траектории (а—

-Траектория

вещественная

полуось

гиперболы).

50.20. В

начальный

момент ма-

териальная

точка,

движущаяся

по

к задаче 50.20

закону

всемирного

тяготения,

на-

ходилась

в положении

Мд

на рас-

стоянии г

0 от притягивающего

центра и имела скорость

г>0; угол

между

вектором

скорости ©0 и линией горизонта

(касательной, про-

веденной в точке Мй

К окружности, центр

которой совпадает

с цент-

ром притяжения) равнялся 60, а полярный угол был равен ср0.

Определить

эксцентриситет

е и угол

е между

полярной

осью и

фокусной

линией конического сечения *).

Ответ:е=

1/ \-\--^1г,

tg(cp0 —е)=-§-^-,

где

с —

р

= го'0о

cos80 —интеграл

площадей; h = ir — 2(i/r —интеграл

энергии.

*) За положительное направление фокальной оси конического сечения принимается напрнвление от полюса, совпадающего с одним из фокусов сечеиля, к ближайшей вершине.

392

50.21. Определить, какую скорость надо сообщить космическому

аппарату,

чтобы,

достигнув

высоты

Н над

поверхностью

планеты

и отделившись от последней ступени

ракеты, он двигался

по

эллип-

тической, параболической

или

гиперболической

траектории.

Радиуе

планеты

R.

Ответ: г>0<г>2—траектория — эллипс,

^о — ^'г—

*

парабола,

г'о >

^г —

*

гипербола,

где 1 ) 2 = Т /

2

g •

— У

2%—параболическая

скорость на

высоте Я

(г»х — круговая

скорость).

У к а з а н и е . Воспользоваться

ответом к предыдущей задаче.

50.22. В момент

отделения

космического

аппарата

от

последней

ступени ракеты он находился в

точке Мо на

высоте

/ / = 2 3 0 км от

поверхности Земли и имел начальную скорость

г>0= 8,0 км]сек, при-

чем вектор

скорости щ

составлял

с

линией горизонта

(касательной,

проведенной в точке Мо

к

окруж-

ности радиуса г0) угол 6о =0,02

рад.

I фокальная

Определить

постоянную

площа-

ось)

дей с, параметр р траектории

и

постоянную

энергии

h.

Ответ:

с = 52 790 кмг\сек;

р =

=7002 км; ft = —56,6 км21сек2.

50.23.В условиях предыдущей задачи определить направление большой оси эллиптической траектории спутника, эксцентриситет е траек-

тории,	апогей	и	перигей	(макси-		К	задачам 50.22 и БО 23.
мальное	//тах	и минимальное			Я т ш
удаление	спутника		от поверхности			Земли) и	период	Т обращения
спутника.
Ответ: 1) е= <$>0—0,335 рад, где сро—начальный								полярный угол
радиус-вектора		г0;
	2)	е = 0,0649;
	3) tfma,, = 1120			км,	Я т ) П = 210 км;

4)Г = 98,5 мин.

50.24.При каком направлении начальной скорости космический

аппарат упадет на поверхность планеты радиуса R вне зависимости от величины начальной скорости г>0?

Ответ: Если начальная скорость будет направлена внутрь конуса, описанного вокруг планеты из начальной точки.

50.25. При каких начальных условиях траектория космического аппарата, запущенного на высоте Я от поверхности планеты радиуса R,

не пересечет	ее поверхности?
	1RH
Ответ:	1) vl>v\(^+tf)2COS26o_^a,	гДе ^ — круговая скорость

для данной плане!ы на высоте Я.

393

2) Начальная скорость должна быть направлена вне конуса, описанного вокруг планеты из начальной точки.

50.26. Найти зависимость между периодами Г; обращения планет вокруг Солнца и большими полуосями at их эллиптических траекторий.

Ответ: '&•= % для любых планет (третий закон Кеплера).

50.27. Период обращения одного из спутников							Юпитера, называе-
мого	Ио, равен		1,77 суток,	причем	радиус	его	орбиты составляет
5,91 радиуса Юпитера. Среднее расстояние						Юпитер — Солнце равно
5,20	среднего расстояния Земля — Солнце (5,20-23 000 земных радиу-
сов),	а	период	обращения	Юпитера	вокруг	Солнца равен		11 лет
314,84		суток.
Определить			отношение	массы Юпитера к массе Солнца				(радиус
Юпитера равен 11,14 радиуса Земли).
Ответ: Масса Юпитера				в 1 000 раз меньше массы Солнца.

50.28. Под средним значением [г] радиус-вектора точки, движущейся по эллиптической траектории, понимается величина, определяемая равенством

				г
где	Т — период	обращения.
	Определить	среднее	значение		радиус-вектора				планеты,		если
а — большая полуось, а			е—эксцентриситет				ее	эллиптической-			трае-
ктории.
	Ответ: [г]= а (1 -f- у е
'	50.29. Два спутника,		имеющие	равные			массы, движутся			в одном
направлении вокруг притягивающего					центра		по	компланарным			орби-
			там, одна		из которых — круговая					радиуса
			гв, а другая—эллиптическая с расстоя-
			ниями перигея и апогея г0 и 8г0 соответ-
			ственно.
			Полагая,			что спутники путем					непо-
			средственной			стыковки			соединились		друг
			с другом в точке соприкосновения их
			орбит и дальнейшее					движение продолжали
			вместе,	найти		апогей		их	новой орбиты.
							49
	к задаче 50.30,'^		Ответ: ra =				2o'V

50.30. Определить связь между истинной ср и эксцентрической Е аномалиями точки на эллиптической орбите эксцентриситета е.

Ответ: t g T = 1/ v-j- tg -f-.

394

50.31. Выразить скорость в любой точке эллиптической орбиты через эксцентрическую аномалию.

г.т Г V- 1 /~l+ecosE

Ответ: v=y i | /

у^т^Г

50.32. Найти на эллиптической орбите такие точки, скорость движения в которых равна среднему геометрическому скоростей в перигее и апогее.

Ответ: Е=±-?г (точки расположены на концах малой оси

эллипса).

50.33. Зная выражения для радиус-вектора точки, совершающей эллиптическое движение вокруг притягивающего центра:

~ г

_

Р

с

1 + е cos ф

п

r=a{\

—ecosE)en

где ег—орт

радиус-вектора

г,

проведенного

из центра

притяжения,

ср— истинная, а Е—эксцентрическая аномалии, найти

выражения

для

вектора орбитальной

скорости

этой

точки,

записанные в орбиталь-

ной и инерциальной системах координат.

Ответ:

<о = 1/

— [е^

sin <р + е9

(1 -j-e cos if)];

— l A i Г _

V^b^sin g

,

(1— e2)cos£i

V

у

p L

6l

1—ecosfi

~Tez

\—ecosE

у

где ву — орт,

направленный

из полюса

в перигей, а е%—орт

перпен-

дикулярного к ех направления.

50.34. В какой точке эллиптической орбиты угол наклона траек-

тории к местному горизонту (плоскость, перпендикулярная к

радиус-

вектору) достигает наибольшего

значения?

Ответ:

Е==±-^.

50.35.

Спутник

движется

по

круговой

орбите

радиуса

г, де-

лая один оборот за время

Т. В результате получения радиаль-

ного импульса скорости величиной и он

переходит

на

эллип«

тическую орбиту. Определить

период

обращения

по

эллиптической

орбите.

Ответ: ^i=-p

iuT\*\4 '

50.36. Спутник движется

по

круговой орбите

радиуса

г,

делая

один оборот

за время Т.

В

результате получения

тангенциального

(касательного) импульса скорости величиной и он переходит на

	эллиптическую	орбиту. Определить период обращения по эллипти-
	ческой орбите	Tv	Т
	Ответ: Тх = -

395

Б0.37. Спутник	движется по круговой околоземной орбите ради-
уса г. Определить	величину радиального "импульса скорости, в резуль-

тате которого спутник перейдет наэллиптическую орбиту сперигеем гх.

50.38. Космический корабль движется со скоростью г> = 30 км/сек

по орбите Земли, имеющей радиус						r x = 150-106		км. Какой касатель-
ный импульс		скорости		и он должен		получить, чтобы в афелии своей
новой орбиты		он достиг орбиты			Марса (г2 = 228-106 км)?
Решить	такую же			задачу для случая			полета		к орбите		Венеры
( r s = 108- 10е км).				Марса: н= 2,95 км/сек;
Ответ: На орбиту
	на орбиту* Венеры: и= 2,55						км/сек.
50.39. Спутник			движется по эллиптической					околоземной			орбите
с радиусом	перигея		и апогея		соответственно			гх	и г2	. Определить
величину касательного				прироста	скорости и в перигее,					при котором
высота апогея		увеличится на Н.

И2\

50.40. Космический корабль, движущийся по круговой спутниковой орбите, должен стартовать с нее путем получения касательного импульса скорости и выйти на гиперболическую орбиту с заданным значением скорости на бесконечности Vx,-При каком радиусе г0 начальной круговой орбиты величина необходимого импульса и будет наименьшей?

Ответ: /•„ = -£-.

§51. Разные задачи

51.1.Две свободные точки, массы которых равны тх и тг, движутся под действием сил взаимного притяжения. Определить закон движения первой точки относительно второй.

Ответ: Относительное движение происходит по тем же законам, что и абсолютное с гравитационным параметром

51.2. Какой вид примет зависимость между периодами Tt обращения планет вокруг Солнца и большими полуосями at их эллиптических орбит, если учесть движение Солнца, вызванное притяжением соответствующей планеты?

Ответ: %: % = .. ,щ , где тъ тг, М —массы планет и Солнца соответственно (сравнить с ответом к задаче 50.26).

396

51.3.

Два

однородных

шара

радиусов

Rt

и R2

начали

двигаться

из состояния покоя под действием сил взаимного притяжения. Опре-

делить,

с какой

относительной скоростью

vr

столкнутся шары, если

первоначальное расстояние между их центрами равнялось L, а массы

шаров равны тх ит%.

Ответ: fr

= | /

2ц(/? 1 + / ? а — х*)'

г д е VL==

51.4. Две точки, массы которых равны ws

и т2, начали двигаться

из состояния покоя под действием сил взаимного притяжения. Опре-

делить

время

Т,

через

которое столкнутся точки, если первоначаль-

ное

расстояние между ними равнялось L.

Ответ: Т = ~ j

/ ^ ,

где

ц =/(/«i + Щ)-

61.5.

Две

свободные точки, массы

которых

равны m-i и /и2, дви-

жутся под

действием

сил взаимного притяжения. Определить закон

движения точек относительно их центра масс С.

Ответ:

Движение

по отношению к центру масс происходит по

тем

же

законам, что

и

абсолютное

движение

с

гравитационными

параметрами N = / ( - ^

| -

?

„

^

61.6.

Проекция

центральной

силы

на

радиус-вектор

равна

— (~4-7з)>

г д е

^ > 0

и

V—некоторые постоянные. Определить

траекторию

движущейся

точки.

Ответ:

1)

v < c *

г = т-.

%-.

г,

где

с — г2ф = const, p =

=

~

, k2=l—-pf

e

и е-произвольные постоянные;

2)

v = c2,

у

^

^

+ С^ + Съ

d

и

С8 —постоянные

интегрирования;

3)

v >

сг,

г = т*-,—Лг~,

г,

где р = — v~~

,

А* =

'

-^

'

1-f

ecn

k

(ф — е)'

г

ц

'

=

V

и е — произвольные постоянные.

-г — 1, е

с

51.7. Космический аппарат массы т приближается к планете по прямой, проходящей через ее центр. На какой высоте Н от поверхности планеты нужно включить двигатель, чтобы создаваемая им постоянная тормозящая сила, равная тТ, обеспечила мягкую посадку (посадку с нулевой скоростью)? Скорость космического аппарата в момент включения двигателя равна vOf гравитационный параметр планеты ц, ее радиус R; притяжением других небесных тел, сопротивлением атмосферы и изменением массы двигателя пренебречь.

Ответ: Н=± {%+TR + f				± / ( { - +77? +Hf)ш -^т} - R,
знак	плюс, если T^>ii/Ra,		и знак	минус, если	/
51.8. Определить полезную работу, которую					должен совершить
двигатель ракеты,		чтобы	поднять	космический аппарат на высоту Н
над	поверхностью	планеты и		сообщить ему	на этой высоте

397

круговую и параболическую космические скорости. Вескосмического аппарата на поверхности планеты равен G,радиус планеты R; сопротивлением атмосферы пренебречь.

Вычислить эту работу для второй космической скорости для Земли, если вес аппарата равен 5 т.

Ответ: Al = O

Л= 31850 т к.и = 31,85-109 кГм.

51.9.Космический аппарат вращается с угловой скоростью 20 . Определить, какую полную работу должен совершить двигатель ма-

ховика М, чтобы остановить вращение космического аппарата,

К задаче 51.9.

считая, что вращение последнего происходит вокруг поступательно перемещающейся оси,проходящей через его центр масс. Ось вращения маховика совпадает с осью вращения аппарата; J и Jo — моменты инерции маховика и аппарата (вместе с маховиком) относительно общей оси вращения.

Ответ: A = ^Jo(J°~J)Q\.

51.10. Считая, что статор электромотора системы, описанной в задаче 51.9, создает вращающий момент Мвр = Мо — ш, где 7И0 и у.—некоторые положительные постоянные, найти условие, необходимое для того, чтобы торможение вращения космического аппарата произошло за конечное время. Предполагая, что это условие выполнено, определить время Т торможения.

1	М
Ответ: Ж, > а(Л - J) 2» Т = - Inщ	_ д (у* _ J} ^ , где
пЬту

51.11. Определить угол <J),на который повернется космический аппарат за время торможения вращения, если оно осуществляется способами, описанными в задачах 51.9 и 51.10.

Ответ: ф= —2- —
a	a*(J0—J) "'M0 — a(J0 — J)Q0-

51.12. Для поворота корпуса космического аппарата используется электродвигатель-маховик, уравнение движения которого на вращающемся аппарате имеет вид се-J- ш/Г — и, где ш — относительная угловая

393

скорость маховика, Г —его постоянная времени, и — управляющее напряжение, принимающее значения.± и 0 .

Определить	длительность	tx	разгона (и = и0) и	торможения
U (а = ~ ио) маховика, если первоначально невращающийся корпус при
неподвижном	маховике требуется		повернуть на заданный угол q>
и остановить.	Ось вращения	маховика проходит через		центр масс

космического аппарата; движение считать плоским. Моменты инерции маховика и аппарата относительно общей оси вращения соответственно равны J и Jo.

Ответ: tx = т + Т In (1 + у 1-е-т/г).

-е-^), г д е т = А .

ГЛАВА ХШ

УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ, ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ, УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ

		§ 52. Определение условий равновесия системы.
				Устойчивость		равновесия
	52.1	(1162). Ось вращения АВ				прямоугольной пластины наклонена
под	углом а к вертикали.				Определить		момент	сил М относительно
оси	АВ,	который		нужно	приложить к пластине для ее				поворота на
угол Ь. Вес			пластины Р;		расстояние		от центра	тяжести	О пластины
до	оси	АВ	равно	а.

Ответ: М = Pa sin a sinЬ.

К задаче 52.1,

К задаче 52.2.

52.2 (1163). Шарнирный шестиугольник, состоящий из шести равных однородных стержней весом р каждый, расположен в вертикальной плоскости. Верхняя сторона шестиугольника АВ неподвижно закреплена в горизонтальном положении; остальные стороны расположены симметрично по отношению к вертикали, проходящей через середину АВ. Определить, какую вертикальную силу Q надо приложить в середине горизонтальной стороны, противоположной АВ, для того чтобы система находилась в безразличном равновесии.

Ответ: Q==3/?,

400