4. Свойства определенного интеграла.
1.
b b
ò f(x)dx = ò f(z)dz
a a
2.
a
ò f(x)dx = 0
a
a
ò f(x)dx = F(a) – F(a) = 0
a
3.
b a
ò f(x)dx = – ò f(x)dx
a b
b a
ò f(x)dx = F(a) – F(b) ò f(x)dx = F(b) – F(a) = – (F(a) – F(b))
a b
4. Если a, b и c любые точки промежутка I, на
котором непрерывная функция f(x) имеет первообразную, то
b c b
ò f(x)dx = ò f(x)dx + ò f(x)dx
a a c
F(b) – F(a) = F(c) – F(a) + F(b) – F(c) = F(b) – F(a)
(это свойство аддитивности определенного интеграла)
5. Если l и m постоянные величины, то
b b
b
ò (lf(x) +m j(x))dx = l ò f(x)dx + m òj(x))dx –
a a c
– это свойство линейности определенного интеграла.
6.
b b
b b
ò (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = ò f(x)dx+ ò g(x)dx+...+ ò h(x)dx
a a
a a
b
ò (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = (F(b) + G(b) +...+ H(b)) –
a
– (F(a) + G(a) +...+ H(a)) +C =
= F(b)–F(a)+C1 +G(b)–G(a)+C2+...+H(b)–H(a)+Cn=
b b b
= ò f(x)dx+ ò g(x)dx+...+ ò h(x)dx
a a a
Набор стандартных картинок
Т.к. f(x)<0, то формулу Ньютона-Лейбница составить нельзя, теорема верна только для f(x)³0. Надо: 1) рассмотреть симметрию функции относительно оси OX. ABCD®A’B’CD b 2) S(ABCD)=S(A’B’CD) = ò –f(x)dx a |
|
b b S= ò f(x)dx = ò g(x)dx a a |
c b S = ò (f(x)–g(x))dx+ò(g(x)–f(x))dx a c |
f(x)® f(x)+m g(x)®g(x)+m b S= ò (f(x)+m–g(x)–m)dx = a b = ò (f(x)– g(x))dx a Если на отрезке [a;b] f(x)³g(x), то площадь между этими графиками равна b ò ((f(x)–g(x))dx a |
Функции f(x) и g(x) произвольные и неотрицательные b b b S=ò f(x)dx – ò g(x)dx = ò (f(x)–g(x))dx a a a |
b b S=ò f(x)dx + ò g(x)dx aa |
5.Примеры.
Пример 1: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .
Это типовая формулировка задания. Первый и важнейший момент решения – построение чертежа. Причем, чертеж необходимо построить ПРАВИЛЬНО.
При построении чертежа я рекомендую следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потом – параболы, гиперболы, графики других функций. Графики функций выгоднее строить поточечно, с техникой поточечного построения можно ознакомиться в справочном материале Графики и свойства элементарных функций. Там же можно найти очень полезный применительно к нашему уроку материал – как быстро построить параболу.
В данной задаче решение может выглядеть так. Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнение задает ось ):
Штриховать криволинейную трапецию я не буду, здесь очевидно, о какой площади идет речь. Решение продолжается так:
На отрезке график функции расположен над осью , поэтому:
Ответ:
Пример 2: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , и координатными осями.
Решение: Выполним чертеж: Если криволинейная трапеция полностью расположена под осью , то её площадь можно найти по формуле: В данном случае:
Ответ:
Пример 3: Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями , .
Решение: Сначала нужно выполнить чертеж. Вообще говоря, при построении чертежа в задачах на площадь нас больше всего интересуют точки пересечения линий. Найдем точки пересечения параболы и прямой . Это можно сделать двумя способами. Первый способ – аналитический. Решаем уравнение:
Значит, нижний предел интегрирования , верхний предел интегрирования . Этим способом лучше, по возможности, не пользоваться.
Гораздо выгоднее и быстрее построить линии поточечно, при этом пределы интегрирования выясняются как бы «сами собой». Тем не менее, аналитический способ нахождения пределов все-таки приходится иногда применять, если, например, график достаточно большой, или поточенное построение не выявило пределов интегрирования (они могут быть дробными или иррациональными). И такой пример, мы тоже рассмотрим.
Возвращаемся к нашей задаче: рациональнее сначала построить прямую и только потом параболу. Выполним чертеж: Повторюсь, что при поточечном построении пределы интегрирования чаще всего выясняются «автоматом».
А теперь рабочая формула: Если на отрезке некоторая непрерывная функция больше либо равна некоторой непрерывной функции , то площадь соответствующей фигуры можно найти по формуле:
Здесь уже не надо думать, где расположена фигура – над осью или под осью, и, грубо говоря,важно, какой график ВЫШЕ (относительно другого графика), а какой – НИЖЕ.
В рассматриваемом примере очевидно, что на отрезке парабола располагается выше прямой, а поэтому из необходимо вычесть
Завершение решения может выглядеть так:
Искомая фигура ограничена параболой сверху и прямой снизу. На отрезке , по соответствующей формуле:
Ответ:
На самом деле школьная формула для площади криволинейной трапеции в нижней полуплоскости (см. простенький пример №3) – частный случай формулы . Поскольку ось задается уравнением , а график функции расположен ниже оси , то