Быстрай Г.П. Термодинамика открытых систем Часть 1 (2006)

Термодинамика открытых систем

W =T02 ∂∂σTe V .

В случае независимости источника от температуры из последнего выражения после интегрирования получаем равенство, связывающее введенное выше обозначение внешних потоков и источников тепла

σe = W .

T0

•

Для источников тепла составляющая W = δq/ T0 – положительна, для стоков отрицательна. Таким образом, в общем случае

источников и стоков имеем σe<>0 .

3.2. Термодинамика процессов переноса тепла

Знание пространственно распределенной температуры, которая находится из решения уравнения теплопроводности (3.1), позволяет вычислить скорость изменения энтропии, свободной энергии, производство энтропии, функцию Релея, которые также зависят от координат и времени. В некоторых задачах, особенно связанными с химическими превращениями, стоками и источниками тепла эти характеристики необходимо знать. Следует отметить, что дифференцированием по времени можно определить также требуемые характеристики вплоть до вторых производных.

1. Скорость изменения энтропии. Скорость изменения энтропии для параболического уравнения теплопроводности

(3.1) равна

dS	= σe + J q X q =	W	+	λ	( T )2 .	(3.5)
dt				T 2
		T0
				0

•

[ S ]=Дж/м3Kc. При этом производство энтропии является знакоположительной функцией. Функция источников в такой задаче также знакоопределена – она знакоположительна. Здесь темпе-

61

Термодинамика открытых систем ратура и скорость изменения энтропии в трехмерной задаче яв-

ляются функцией времени и координат	T =T( x, y,z,t ) ,
• •	энтропия, как это
S = S( x, y,z,t ) . В задачах с источниками W>0

следует из (3.5), растет. Если имеются не источники тепла, а стоки, то возможны случаи когда энтропия уменьшается в соответствии с уравнением:

	dS	= σe + J q X q = −	W	+	λ	( T )2 .
	dt		T0		T 2
				0

Дифференцирование по времени уравнения (3.5) позволяет определить вторую производную энтропии по времени.

Второй закон термодинамики применительно к уравнению теплопроводности (3.1) выражается неравенством для производства энтропии

σi = J q X q = Tλ02 ( T )2 ≥ 0 .

Выражение (3.5) может быть представлено в виде

•

dS = δq + λ ( T )2 , dt T0 T02

отсюда и следует, что приращение энтропии при теплопроводности больше, чем при равновесном на величину производства энтропии σi ≥ 0 :

		•
dS	≥	δq	, или	dS ≥	δq	.
dt		T
					T
		0			0

Это и позволяет подтвердить в данной конкретной задаче теплопереноса основное содержание классической термодинамики как

следствия теории при пренебрежимо малой диссипации σi →0 . Классическая термодинамика не в состоянии оценить погрешность последнего неравенства. Отсюда в классической термодинамике и возникает проблема термодинамических неравенств, которая как это видно, из данного примера, а в целом из таблицы 2, успешно может быть решена.

62

Термодинамика открытых систем

2. Скорость изменения свободной энергии. Скорость изменения свободной энергии для локального объема при существующем градиенте температуры для уравнения теплопроводности равна

dF

= −T ( σe

+ J

q

X

q

) ,

dt

0

или

dF

= −T

W

+

λ

(

T )2

,

dt

0

2

T0

T0

здесь температура в трехмерной задаче является функцией времени и координат T =T( x, y,z,t ) , от координат также зависит

• •

скорость изменение свободной энергииF = F( x, y,z,t ) .

3.Теорема Пригожина. Производство энтропии

σi = Jq Xq = Tλ02 ( T )2

при постоянной мощности теплового источника (W = const ) стремится убывать

dσ

i

λ

2

∂T

СV ρ

∂T W

∂T

dt

=

T

2

T ∂t

=

T

2

∂t

−

C

ρ

∂t

≤ 0 ,

V

0

0

принимая минимальное положительное значение в стационарном состоянии в соответствии с уравнением

dσi

= −

1 ∂W

−

1 ∂2 F

,

1 ∂2 F

≥ 0 .

(3.6)

dt

T0 ∂t

T0 ∂t 2

T0 ∂t 2

[σi]=Вт/м3K. В стационарном состоянии, например, при W=0 имеют место равенства

•i		∂T		W		2
σ	= 0 ,	∂t	=		= 0 ,	T =0.	(3.7)
				C ρ
				V

4. Функция Релея (мера рассеивания полной энергии).

При теплопроводности для уравнения (1.21)

63

Термодинамика открытых систем
	dΛ			= −2Φ, Λ = ΛF + Λe ,			(3.8)
	dt
функция Релея (1.22) примет вид
Φ =		T0		J q X q =	λ	( T )2 .
2					2T0

Здесь Λe термодинамический потенциал внутренних источников

•		•	ΛF = F − F - термодинамический потен-
Tσe ≡ Λ	e	, Λe =W а
			0

циал (свободная энергия) неравновесного состояния.

4. Вариационный принцип. Несложно показать, что уравнение (3.8), на котором по сути и основан вывод уравнения теплопроводности, тождественно некоторому термодинамическому вариационному принципу

δ Λ• + 2Φ Jq = 0 .

Задача.3.1. В	Задачи к главе 3
	параболическом уравнении теплопровод-
ности с нелинейным тепловым источником
∂T	= a 2T +βT - αT 3 ,	(3.14)
∂t

определите скорость изменения энтропии и производство энтропии, скорость изменения свободной энергии, функцию Релея. Найдите также вторые производные указанных термодинамических параметров, а также запишите вариационный принцип для этого уравнения.

64