Если в оптимальное решение должны входить и i–й и j–й варианты, то сумма переменных

δi + δj = 2.

(5.3)

Если в оптимальное решение может входить или не входить, каждый из двух (i и j) вариантов, то сумма переменных

δi + δj > 0.

(5.4)

Если при входе (не входе) в оптимальное решение i–го варианта в это решение должен войти (не войти) и j–й вариант, то

δi = δj.

(5.5)

Аналогичные условия можно записать для трех и более вариантов. Если из n возможных вариантов в оптимальное решение должны входить только m вариантов (m < n), то

δ1 + δ2 + … + δn = m.

(5.6)

Очевидно, что количество логических условий типа «если … , то …» не ограничено.

5.3.Задачи с дискретными переменными

Вряде практических оптимизационных задач заранее известен набор допустимых решений, из которых требуется выбрать оптимальное решение. Например, одно компенсирующее устройство

заданной мощности Qk можно разместить в узлах 1, 2, … n системы электроснабжения. Требуется выбрать оптимальный узел размещения компенсирующего устройства, соответствующий выбранному критерию.

Вряде других задач искомые переменные могут принимать не любые, а только определенные значения, из которых требуется выбрать значения переменных, отвечающие оптимальному решению. Например, в заданном узле системы электроснабжения нужно установить компенсирующее устройство, мощность которого может

быть равной значениям Qk1, Qk2, … Qkn. Из этого ряда требуется выбрать оптимальное значение мощности компенсирующего устройства, соответствующее выбранному критерию.

Указанные задачи относятся к задачам выбора вариантов из числа заданных и решаются методами дискретного программирования. В этих методах наряду с традиционными

79

переменными используются двоичные переменные, возможности которых по заданию логических условий рассмотрены в п. 5.2.

Математическая модель задач дискретного программирования аналогична рассмотренным выше моделям и содержит целевую функцию, систему ограничений и граничные условия. Зависимости между переменными в целевой функции и системе ограничений могут быть как линейными, так и нелинейными. Задаваемые значения дискретных переменных могут быть любыми, в том числе и целочисленными.

Пусть в оптимизационной задаче имеется n искомых переменных xi (i=1, 2, … n). Дискретные значения каждой переменной заданы. В оптимальное решение должны войти k переменных (k < n). Каждой переменной xi поставим в соответствие двоичную переменную δi. Если в процессе решения задачи δi=1, то переменная xi войдет в оптимальное решение; если δi=0, то переменная xi не войдет в оптимальное решение.

Целевая функция включает в себя и дискретные x1, x2, … xn и двоичные переменные δ1, δ2,…δn

Z(x1, x2, … xn, δ1, δ2,…δn) → extr.

(5.7)

В систему ограничений входят и дискретные и двоичные переменные

f1(x1, x2, ... xn, δ1, δ2,…δn, b1)=0,
f2(x1, x2, ... xn, δ1, δ2,…δn, b2)=0,	(5.8)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
fm(x1, x2, ... xn, δ1, δ2,…δn, bm)=0.
К этой системе добавляются ограничения вида
δ1 + δ2 + … + δn = k,	(5.9)
δi – двоичные, i =1, 2, … n.

Граничные условия, как таковые, не записываем, поскольку возможные значения дискретных переменных являются заданными, а значения двоичных переменных могут быть только 0 или 1.

Не вдаваясь в подробности методов дискретного программирования, отметим, что программное обеспечение Excel 7.0 позволяет решать оптимизационные задачи с дискретными переменными. Поэтому предоставим пользователю составление математической модели оптимизационной задачи и ввод исходной

80

информации в компьютер, а вычислительную процедуру предоставим компьютеру.

Пример 9. Составить математическую модель для определения в схеме электроснабжения (рис. 5.1) оптимального узла установки компенсирующего устройства, заданной мощности Qk. Критерий оптимальности - минимум потерь активной мощности в схеме.

Исходные данные:

напряжение схемы U= 10 кВ;

сопротивления линий R1=0,4, R2=0,5, R3=0,6 Ом;

реактивные нагрузки узлов 1, 2 и 3 Q1=600, Q2=500, Q3=400 квар; мощность компенсирующего устройства Qk =1000 квар

Рис. 5.1. Схема электроснабжения

Решение. В рассматриваемой схеме имеются три узла 1, 2 и 3, в каждом из которых можно установить компенсирующее устройство. Обозначим переменными Qk1, Qk2 и Qk3 мощности компенсирующих устройств, размещаемых соответственно в узлах 1, 2 и 3. Это дискретные переменные, каждая из которых может принимать два значения 0 или 1000 квар.

Каждой переменной Qk1, Qk2 и Qk3 поставим в соответствие двоичную переменную δ1, δ2 и δ3.

Целевая функция, представляющая собой потери мощности в схеме, будет иметь следующий вид:

∆Р= a1(Q1 + Q2 + Q3 - Qk1δ1- Qk2δ2 - Qk3δ3)2 + a2(Q2 + Q3 - Qk2δ2 -

- Qk3δ3)2 + a3(Q3 - Qk3δ3)2 → min,

где аi=Ri/U2 (i=1, 2, 3).

Выражение для потерь мощности предусматривает возможность установки компенсирующего устройства в каждом из трех узлов. Однако в зависимости от величины двоичной переменной

81

компенсирующее устройство в узле i должно быть установлено при δi =1 или не должно быть установлено при δi =0.

Перейдем к системе ограничений. Поскольку компенсирующее устройство может быть установлено только в одном узле, сумма двоичных переменных должна быть равна 1

δ1 + δ2 + δ3 = 1,

δ1, δ2 и δ3 – двоичные.

Величина дискретной переменной Qki будет зависеть от значения соответствующей двоичной переменной δi. Переменная Qki = Qk при δi=1 и Qki = 0 при δi=0. Запишем эти условия

Qk1 Qk2 Qk3

=Qkδ1,

=Qkδ2,

=Qkδ3.

Граничные условия не записываем, поскольку имеем только двоичные и дискретные переменные.

Результаты решения задачи с помощью программного обеспечения Excel приведены в приложении П5:

δ1=0, δ2 =1, δ3 = 0, Qk1 = 0, Qk2 = 1000 квар, Qk3 = 0, ∆Р = 2010 Вт.

Таким образом, для обеспечения минимальных потерь мощности компенсирующее устройство мощностью 1000 квар следует установить в узле 2 схемы электроснабжения.

Пример 10. Составить математическую модель для определения оптимальной мощности компенсирующего устройства в узле 2 схемы электроснабжения (рис. 5.1). Критерий оптимальности - минимум потерь активной мощности.

Исходные данные те же, что и в примере 9. Мощность компенсирующего устройства может принимать следующие дискретные значения: 1100, 1200 или 1300 квар.

Решение. В рассматриваемом примере имеем одну дискретную переменную – мощность компенсирующего устройства во 2-м узле. Эта переменная может принимать три дискретных значения Qk1=1100, Qk2=1200 и Qk3=1300 квар. Каждому значению дискретной переменной поставим в соответствие двоичную переменную δ1, δ2 и δ3.

82