Граничные условия в практических оптимизационных задачах, как правило, не содержат случайных величин и записываются без изменения.

Итак, математическая модель задачи стохастического программирования имеет следующий вид:

М[Z] → extr;
P(aj1x1+aj2x2+...+ajnxn < bj) > Рзад j, j =1, 2, … m;	(6.9)
di < хi < Di, i = 1, 2, ... n.

6.3. Детерминированный эквивалент стохастической задачи

Стохастические задачи, математические модели которых представлены в виде (6.9), непосредственно решены быть не могут. Как правило, задачи со случайной исходной информацией сводят к их детерминированному эквиваленту. Для этого случайные величины заменяются их характеристиками (математическим ожиданием, стандартным отклонением) и считается, что случайная величина имеет нормальный закон распределения.

Если случайными величинами являются коэффициенты zi целевой функции, эти коэффициенты заменяются их математическими ожиданиями. В результате такой замены получим детерминированный эквивалент целевой функции

М[Z] = M[z1]x1+M[z2]x2+…M[zn]xn → extr.

(6.10)

Для каждого j-го ограничения задается вероятность Рзад j, с которой должно выполняться это ограничение. По значению Рзад j находится значение стандартной случайной величины η. С учетом соотношения (6.5) осуществляется переход от стандартной случайной величины η к случайным величинам оптимизационной задачи аij и bj.

Если случайной величиной являются коэффициенты bj, то детерминированный эквивалент j-го ограничения будет иметь вид

aj1x1+aj2x2+...+ajn < M[bj] + ησ[bj],

j=1,2,…m.

(6.11)

Если случайной величиной являются коэффициенты аij, то детерминированный эквивалент j-го ограничения будет иметь вид

М[aj1]x1+M[aj2]x2+...+M[ajn]xn+η(σ[aj1]x1+σ[aj2]x2+…+σ[ajn]xn) < bj,

j =1,2,…m.

(6.12)

87

Граничные условия остаются без изменения в виде

di < хi < Di, i = 1, 2, ... n.

Таким образом, математическая модель стохастической задачи сводится к детерминированному эквиваленту (6.10), (6.11) и (6.12).

Следует отметить, что в основной массе стохастических задач далеко не все коэффициенты zi, aji и bj (i=1,2,…n; j=1,2,…m) могут быть случайными величинами. Часто такими величинами могут быть один или несколько коэффициентов.

Пример 11. Составить математическую модель задачи распределения ресурсов (примеры 1 и 2) для случая, когда количество сырьевого ресурса на предприятии является случайной величиной. Известна поставка сырья за некоторый предыдущий период.

Решение. В примерах 1 и 2 была получена следующая детерминированная математическая модель задачи:

Z = 8x1+11x2+12x3 → max;

2х1+ 2х2 + 3х3 < 50, 6х1+ 5,5х2 +4х3 < 100, 4х1+ 6х2 + 8х3 < 150,

х1+ х2+ х3 > 15; xi > 0, i = 1, 2, 3.

В п. 5.1. к этой модели было добавлено условие целочисленности переменных:

xi – целое, i = 1, 2, 3.

В поставленной задаче коэффициент b3 (количество сырьевого ресурса) является случайной величиной.

Поставка сырья за некоторый предыдущий период представлена в виде табл. 6.1.

					5	Т а б л и ц а			6.1
День	1	2	3	4		6	M[b3]		σ[b3]
Поставка	180	150	125	120	170	155	150		23,9
сырья, е.с.

Вэтой же таблице приведены рассчитанные по выражениям (6.1)

и(6.2) значения математического ожидания M[b3] и стандартного

отклонения σ[b3] сырьевого ресурса. Отметим, что математическое

88

ожидание сырьевого ресурса равно его детерминированному значению (150 е.с.).

Поскольку в 3-м ограничении b3 является случайной величиной, перепишем это ограничение в соответствии с выражением (6.11):

a31 x1+a32 x2+a33x3 < M[b3] + ησ[b3]

или

4 x1+ 6 x2+8 x3 < 150 +η23,9.

Зададимся вероятностями выполнения 3-го ограничения Рзад 3 = 0,4; 0,5 и 0,6.

Тогда в соответствии с рис. 6.1 стандартная случайная величина будет соответственно равна η = - 0,25; 0 и 0,25. Рассматриваемое 3-е ограничение будет иметь вид

4 x1+ 6 x2+8 x3 < 150 - 0,25.23,9

или

4 x1+ 6 x2+8 x3 < 150

или

4 x1+ 6 x2+8 x3 < 150 + 0,25.23,9.

Видно, что при вероятностных исходных данных в ограничении появляется дополнительный сырьевой ресурс. Величина и знак этого дополнительного ресурса зависят от Рзад 3 задаваемой вероятности выполнения ограничения.

Полученный детерминированный эквивалент рассматриваемой стохастической задачи имеет следующий вид:

целевая функция

Z = 8x1+11x2+12x3 → max;

ограничения

2х1+ 2х2 + 3х3 < 50, 6х1+ 5,5х2 +4х3 < 100,

4 x1+ 6 x2+8 x3 < 150 + η23,9;

х1+ х2+ х3 > 15;

условие целочисленности

xi – целое;

89